하버드 논리학 수업

하버드 논리학 수업 - 논리적 사고와 추리논증의 기초
윌러드 밴 오먼 콰인 지음, 성소희 옮김 / 유엑스리뷰 / 2020년 1월

투병생활과 함께 리트 시험을 함께 준비했다. 리트에는 언어이해와 추리논증이 있는데 두 과목 다 이름만 다르지 내용은 거의 비슷하다. 추리논증공부에 도움된다고 해서 보고 싶었다. 저자 윌러드 밴 오먼 콰인은 40년 이상 하버드대학교 교수로 재직했다.

이 책을 1930년대책인데 왜 봐야하냐고 하는 사람을 봤는데 그때 논리학이 정립된 걸 공부하니까 상관이 없는 것이다. 차례를 보면 1장 명제의 구성, 2장 진리 함수적 변형, 3장 양화, 4장 양화 추론이다. 논리학은 만약~라면, 그렇다면~이다, 그리고 또는 ~가 아니다, ~하지 않는 한, 어떤 , 전부, 모든, 무엇이든, 그것등을 포함하는 특정한 기본 표현을 논리적이라고 부를 수 있다. 명제가 오로지 논리 구조 때문에 참이라면 그 명제는 논리적으로 참이다.

논리적으로 참인 명제와 똑같은 구조를 지니는 명제는 주제와 상관없이 모두 똑같이 참이다. 두 명제가 오로지 논리 구조 때문에 참 또는 거짓이라는 점에서 일치한다면 그 두 명제는 논리적으로 동치다. 두 명제를 구성하는 성분 중 논리 외적 성분을 동일하게 수정해서 명제 중 하나는 참으로 다른 하나는 거짓으로 만들 수 없다면 두 명제는 논리적으로 동치다.

논리적 동치란 두 명제가 논리적으로 같다는 뜻이다. 한 명제가 참이면 다른 명제도 참이고 한 명제가 거짓이면 다른 명제도 거짓이 된다. 두 명제가 모든 경우에서 진릿값이 같을 때 논리적 동치라고 한다.

양화 이론은 연결사 모든, 무엇이든, 어떤, 아무것도 같은 일반화 용어와 혼합되는 더 복잡한 구조를 연구한다. 진리 함수는 어떤 명제가 복수의 명제로 구성된 복합명제일 때 이 복합명제의 진릿값은 각 요소명제가 지니는 진릿값의 함수관계로 결정된다.

명제는 문장이지만 모든 문장이 명제인 것은 아니다. 참인 문장과 거짓인 문장만이 명제이다. 참과 거짓이라는 문장의 속성을 명제의 진릿값이라고 한다. 명제가 참이냐 거짓이냐에 따라서 그 명제의 진릿값은 참 또는 거짓이 된다.

연결사 그리고 또는 ~라면 ~이다. ~도 아니고 ~도 아니다등을 사용해서 단순명제를 연결하여 복합명제를 만들수 있다. 논리곱은 연언이다. 논리곱은 그 논리곱을 구성하는 요소명제들이 각각 참일 경우에만 참이다. 어떤 명제가 주어지든 우리는 그 명제를 부정해서 다른 명제를 만들 수 있다. 명제가 참이냐 거짓이냐에 따라서 그 명제의 부정명제는 거짓이거나 참이 된다.

언어적 부분을 기호로 결합한 논리곱으로 바꿔 쓸 때 해당 부분이 ~바로 다음에 온다면 그 부분 전체를 괄호로 묶는다. 복합명제를 구성하는 단순명제가 진리 함수적 연결사로 결합되는 유형을 쉽게 말해 복합명제의 진리 함수적 구조라고 할 수 있다.

진리 함수적 구조 때문에 참인 명제는 진리 함수적으로 참이라고 할 수 있다. 치환이라는 삽입은 보조 개념을 사용해서 분명하게 표현할 수 있다. 두 개 이상의 도식에서 문자를 명제나 도식으로 동시치환하는 것은 여러 규칙에 따라 한다. 여러 도식을 동시 치환해서 얻을 수 있는 똑같은 수의 명제들은 각 도식의 대응 실례라고 한다.

똑같은 도식과 동치인 도식들은 서로 동치다. 동치인 진리 함수적 도식의 대응 실례가 되는 명제를 진리함수적 동치라고 한다. 진리 함수적 동치 명제는 오로지 진리 함수적 논리 구조 때문에 진릿값이 서로 일치한다. 진리 함수적 동치 명제를 구성하는 단순명제를 무엇으로 바꾸든지 진리 함수적 동치 명제는 진릿값이 서로 같다.

단순명제는 부정명제나 논리곱은 단순명제가 될 수 없다. 대체 원칙은 주어진 도식 일부를 그와 동치인 단순 도식으로 대체한다면 그 결과로 생기는 새로운 도식은 원래 도식과 동치다. 대체 일반 원칙을 증명하기에 두 가지를 먼저 증명하면 된다 동치 도식 한 쌍의 부정 도식 한 쌍도 서로 동치다. 동치 도식 각각에 도식을 한 더 결합하면 그 결과로 생기는 도식 한 쌍도 서로 동치다.

선언은 논리합이다. 쌍대는 서로 짝이 되거나 맞서는 관계로 어떤 수학적 구조를 뒤집어서 구성한 것이다. 논리학에서 복수의 단순명제가 결합한 논리곱을 논리합으로 바꾸어서 복수의 단순명제가 결합한 논리합을 논리곱으로 바꾸어서 쌍대를 만들 수 있다. 서로 쌍대인 명제는 한쪽이 성립하면 다른 쪽도 성립한다.

쌍대성 개념은 명제 문자로 구성된 논리곱이나 논리합으로 구성된 아무 도식을 선택하고 살펴보면 된다. 도식의 진리표를 확인한다. 타당한 도식을 치환해서 얻은 도식은 타당하다. 동치 도식 한 쌍 중 하나가 타당하면 그런 경우에만 다른 하나도 타당하다. 도식 두개 이상이 결합한 논리곱은 그 논리곱을 구성하는 도식 각각이 모두 타당한 경우에만 타당하다.

논리곱 정규 도식은 문자항을 부정하는 논리합 도식이거나 그런 논리합으로 구성된 논리곱 도식인 경우에만 타당하다. 도식은 그 도식의 부정이 타당하다면 그런 경우에만 모순이다. 도식은 그 도식의 쌍대가 타당하다면 모순이다.

한 도식와 다른 도식의 부정으로 구성된 논리곱이 모순일 경우에만 그 도식은 다른 도식을 함의한다. 동치 도식은 서로 함의한다. 한 도식이 다른 도식을 함의하는 진리 함수적 도식 한 쌍의 대응 실례 한쌍에서 한 명제는 다른 명제를 진리 함수적으로 함의한다. 명제 구성과 관련된 명제 형식은 명제 문자로 구성된 도식만으로도 충분히 나타낼 수 있다. 양화를 다루려면 명제 문자를 더 정교하게 다듬어야 한다. 복합명제를 구성하는 명제뿐만 아니라 열린 문장을 표기할 수단이 필요하다.

열린 문장을 표기할 때는 문맥에 맞는 관련 양화사를 가리키는 열린 문항 내부 변항을 계속 기록해야 한다. 변항은 본질적으로 명제 전체의 논리 구조에 기여한다. 같은 도식 내부에서 같은 술어 문자가 수반하는 변항의 개수는 서로 달라서는 안 된다. 변항이 양화사 내부에 놓일 때 구속되었다고 표현한다. 양화사가 적용되는 문장이나 도식에 놓인 변항도 모두 구속되었다고 표현한다.

구속되지 않은 변항은 자유롭다고 한다. 어느 술어 문자 자리 한 군데에 술어 또는 술어 도식을 삽입한다면 해당 술어 문자에 수반된 변항들 중 어떤 것도 양화사에서 다시 나타날 수 없다. 이 책으로 논리학을 처음 부터 끝까지 정리를 해봤는데 내가 보는 다른 논리학책보다는 쉽고 보기 편했다. 연습문제 답이 없는 건 에러이다.

출판사로부터 도서를 제공받아 작성한 리뷰입니다