수학책도 감동받을 수 있다...

수학으로 배우는 파동의 법칙 - 삼각함수와 미적분을 마스터하다 ㅣ 법칙 시리즈 1
Transnational College of Lex 지음, 이경민 옮김 / Gbrain(지브레인) / 2010년 5월

Transnational College of Lex 

이 책은 도서정가제 확대가 시행되기 전 할인 행사할 때, 충동구매로 산 책이다.

예전에 학교에서 배운 미분, 적분, 파동의 법칙 등을 쉽게 설명했다는 평가도 책을 구입하게 했다.

지은이는 Transnational College of Lex ? 무슨 단체 이름인가? 지은이 소개를 봤다.

일본에 Hippo라는 프로그램이 있는데,

Hippo는 스페인어, 한국어, 영어, 일본어, 독일어, 중국어, 프랑스어 7개 국어를 기본으로 

여러 나라의 말을 동시에 자연 습득하는 다언어 활동 프로그램이라고 한다.

그리고 여기에 참여하는 사람들 사이에 '언어와 인간'을 자연과학적으로 탐구하는 교육 기관이 있는데,

그 교육기관이 바로 Transnational College of Lex, 줄여서 TCL라고 한다.

이 모임의 연구 결과로 나온 것 중에 하나가 바로 이 책 <수학으로 배우는 파동의 법칙>이다.

이 책의 원제목은 <푸리에의 모험>.

인터넷 서점에서 지은이를 Transnational College of Lex 로 검색을 해보면 세 권의 책이 검색이 되는데,

이 책 이외에 <양자역학의 법칙>과 <DNA의 법칙>이 있다. 모두 읽어봐야겠다.

<수학으로 배우는 파동의 법칙>은 그 어렵다는 푸리에 변환, 미분, 적분을 쉽게 잘 설명해 놓았다.

페이지가 500페이지가 넘지만, 그림과 큰 글씨들로 이루어져 있고, 쉽게 쓰여져서 부담스럽지는 않다.

이미 내용을 알고 있는 부분은 더 빨리 읽을 수 있었고,

물론 이해 가지 않는 부분들에서는 넘기는 속도가 느려졌다.

푸리에 급수

이 책의 시작은 "인간이란 어떤 식으로 언어를 이해하는가?"에 대한 호기심에서 시작되었다.

TCL의 멤버들은 이 호기심을 풀기 위해 먼저 모음에 대한 파장을 알아보았고,

그 파장들은 제각각 일정한 패턴을 가진 파동의 모양이었고,

그래서 그 파동을 분석하면 그들의 호기심을 풀 수 있지 않을까 생각했다고 한다.

목소리를 FFT(Fast Fourier Transform) 분석기를 이용하여 파동 형태로 변환해 보면,

'아', '이', '우' 등 패턴이 다르기는 하지만 명확하게 구분이 쉽지는 않다.

그러면 이것을 구분할 수 있는 방법은, 바로 푸리에 변환이다.

푸리에 변환을 하면, 각각의 음을 구별할 수 있다.

푸리에 변환은 사람 이름에서 나온 것이다.

푸리에(1768년~1830년)는 프랑스 사람으로,

반복하는 주기를 가진 파동(복합파동)은 단순한 파동들이 잔뜩 결합되어 있다는 것을 발견했다.

여기서 단순한 파동들이란 삼각함수를 이야기를 하는데, sin(싸인)과 cos(코싸인)을 이야기하는 것이다.

자, 그래서 책은 먼저 sin이 무엇인지? cos이 무엇인지 설명을 해주고 있다.

만화와 그림을 이용해서, 아주 쉽게….

…

파동을 이루는 요소는 주기(T), 주파수(f), 각속도(w)가 있어...

주기는 파동 한번 이루어지는 걸리는 시간이고,

주파수는 1초에 파동이 몇번 만들어냐고, 

각속도는 1초에 몇도 움직이냐를 나타내는 것이다.

하나를 알고 있으면 나머지 값들을 구할 수가 있는데, 그 정의만 잘 생각하면 쉽게 구할 수 있다.

자, 그러면 다시... 푸리에 변환의 정의를 살펴보면…

복합파동은 단순한 삼각함수들의 합으로 이루어진다고 했다.

그런데, 조건이 있다. 기본 주파수와 반드시 정수배인 주파수를 가진 파동들의 합이다.

즉, 먼저 sin 함수를 이용하면 아래 수식처럼 나타낼 수 있다.

 f(t)=asin wt + asin 2wt + asin 3wt + ... + asin nwt

앞서 이야기한 기본 주파수의 정수배라는 말은, 각속도 w의 정수배인 2w, 3w, .... 의 파동들의 합으로 이루어졌다는 의미이다.

중간에 sin 0.5wt 이런 파동은 없다.

하지만, sin으로 이루어진 파동들의 합은 무조건 처음 시작은 0이 된다...

그렇기 때문에 그 복합파동에는 sin 파동 뿐만 아니라 cos 파동도 들어있다.

그래서 이것까지 써 넣으면...

 f(t)=acos wt + acos 2wt + acos 3wt + ... + acos nwt

       + bsin wt + bsin 2wt + bsin 3wt + ... + bsin nwt

로 적을 수 있다. 그런데, 파동이 위 아래로 치우칠 수 있으므로 그 값도 표현해 준다.

그래서 만들어진 복합파동은 아래와 같다.

  f(t)= a + acos wt + acos 2wt + acos 3wt + ... + acos nwt

       + bsin wt + bsin 2wt + bsin 3wt + ... + bsin nwt

복합파동을 아주 정확하게 일치하는 파동을 구하려면, 

단순 파동의 합이 유한하면 되는 것이 아니라 무한히 더해야 한다.

그래서 만들어진 식은...

 f(t)= a + acos wt + acos 2wt + acos 3wt + ... + acos nwt + …

       + bsin wt + bsin 2wt + bsin 3wt + ... + bsin nwt + …

점점 수식이 복잡해진다.

그래서 생각해낸 것이 sigma(∑)를 이용하여 나타내는 것이다.

이렇게 sigma(∑)로 나타낸 푸리에 변환식을 푸리에 급수라고도 한다.

자, 파동의 일반식을 구했으니까,,,

sin과 cos 앞에 있는 a, a, a, b, b, ... 들의 값을 구하면 된다.

이것을 구하는 것은 어려울 것 같다는 생각이 들었는데, 의외로 쉽다.

필터라는 것을 사용해서 구하면 된다.

복합파동 f(t)에 적당한 싸인함수나 코사인 함수를 곱하게 해서 면적을 구하면

한 개의 항목만 남고 나머지는 모두 영이 된다.

그렇게 되면, 생각만큼 어렵지 않게 푸리에 계수들의 값을 구하는 공식을 얻게 된다.

그래서, a, a, b을 구하는 일반식을 유도하게 된다.

…

이제 푸리에 계수를 직접 구해본다..

위에서 이야기한 것처럼 푸리에 계수를 구하려면 적당한 삼각함수를 곱한 후 면적을 구해야 한다고 했다.

그런데 삼각함수는 곡선이기 때문에 면적 구하기가 만만치 않다.

정확히는 아니더라도 일단 근사치로는 구할 수 있다.

곡선을 몇몇 점으로 구분해서 그 점을 기준으로 막대 모양의 긴 직사각형을 그리고

그 직사각형들의 면적을 모두 더하면 그 곡선의 면적의 근사치가 된다.

이런 방법을 불연속 푸리에 전개라고 한다.

실제로 이렇게 해서도 푸리에 계수를 구할 수 있다.

그런데, 또 하나의 문제가 있다. 파동의 시작을 어디로 정하냐 하는 문제다.

계속 반복하는 파동은 시작점을 어디다 두어도 어색하지 않다.

그래 맞다. 반복하는 파동의 시작점은 어디다 두어도 상관이 없다.

그렇게 되면 푸리에 계수가 변하게 된다.

어? 그러면 같은 복합파동이라도 시작점에 따라서 푸리에 계수가 다르다? 그리 기분은 좋지 않다.

그래서 푸리에 계수들을 제곱해서 더한 후 제곱근(√)을 씌운 값인 스펙트럼으로 표시하기도 한다.

그렇게 되면 모두 동일한 값, 즉 동일한 스펙트럼을 갖게 된다.

이 스펙트럼은 복잡한 파동을 간단한 그래프로 나타낼 수도 있어 유용하다.

그래서 모음들을 스펙트럼으로 나타내 보면…

'이'를 중심으로 다른 모음들은 대칭을 이룬다고 한다.

이것은 다른 언어들에서도 마찬가지로 나타나는 현상이라고 한다.

미분과 적분

자, 이제 미분과 적분이다.

푸리에 급수를 하다가 갑자기 왜 미분과 적분이지?

아까 이야기한 것처럼 푸리에 계수를 구하기 위해서는 면적을 구해야 한다고 했다.

위에서는 불연속 푸리에 전개를 통해 면적을 구하긴 했지만,

정확한 면적을 구하기 위해서는 적분을 알아야 한다.

그리고 적분을 알기 위해서는 미분을 알아야 한다..

최대한 간단하게 정리해 보았다. 어차피 수식없이 글로 미분과 적분을 설명하는 것은 어려우니까 말이다.

미분은 속도가 계속 변하고 있을 때 순간속도를 구하는 방법이라고 생각하면 된다.

아주 짧은 시간 동안의 변화량을 구하는 것으로 정의한다. 

아주 짧은 시간이라고 함은 0초에 아주 아주 근접한 시간...

그것을 표현하기 위해 무한함수 lim가 등장한다.

이런 미분의 정의를 이용하면 여러 가지 다양한 함수의 미분공식을 유도할 수 있다.

함수가 나올 때마다 미분의 정의를 이용하여 미분의 결과를 구할 수도 있지만,

각각의 함수마다 일정한 패턴을 가지기 때문에 미분 공식으로 만들어 외운다.

푸리에 급수는 삼각함수들의 합이니까, sin과 cos의 미분도 해야한다.

sin을 미분하면 cos이고, cos을 미분하면 -sin이 되는데,

이렇게 되는 이유도 책에서 미분의 정의를 이용하여 유도해준다..

그 밖에 고등학교 때 어렵게 외웠던

삼각함수들 간의 상관관계식들을 인내심을 가지고 모두 유도해준다..

책을 보고 있노라니,

고등학교 때 삼각함수 공식을 열심히 외우던 그 시절이 문득 생각난다.

....

자, 그럼 이제 적분이다.

아까 위에서 이야기한 불연속 푸리에 전개를 이용해서 면적을 구했다.

보다 정확한 곡선의 면적을 구하기 위해서는 어떤 방법이 있었까?

면적을 구하기 위해 찍었던 곡선 위의 점들을 많이 찍으면 더 정확해진다.

그래도 오차는 있을 테고...

정확히 재려면 그 점들을 무한대 개만큼 찍으면 된다....

이런 생각을 가지고 수식을 유도해 나가는 것이 바로 적분이다.

미분과 마찬가지로 많은 함수들에 대해 적분공식을 유도해 주었다.

그랬더니 놀라운 결과...

어떤 함수를 적분했더니 그것은 바로 미분의 원래식이 된다.

즉 f(t)를 미분했더니 g(t)가 되었다면,

g(t)를 적분하면 f(t)가 된다는 이야기다. (물론 상수가 추가된다.)

이렇듯 미분과 적분은 그런 밀접한 관계를 갖고 있다..

그리고, 적분을 이용해서 푸리에 계수들을 직접 구할 수 있다.

벡터

자, 이번에는 뜬금없이 벡터가 나왔다.

지금 이 책에서 다루고 있는 미분, 적분, 삼각함수, 벡터 등은

고등학교 이과 수학에서 가장 어렵다고 하는 부분에 해당하는 것들이다.

그런데 그 어렵다고 하는 부분들을 과감하게 들쳐내서,

쉽게 공식을 유도하고 설명을 해주니 이 책은 참 친절한 책이구나. 하는 생각이 들었다.

주변에 이 부분을 어렵다고 생각하는 고등학생이 있다면 진심으로 추천해 주고 싶다..

암튼, 벡터 이야기를 다시 해보면…

벡터란?

방향과 크기를 동시에 가지고 있는 물리량으로

크기만 가지고 있는 스칼라와 대비되는 값이다.

그렇게 때문에 벡터를 더할 때는 그냥 숫자를 더하는 것이 아니라, 방향과 같이 더해야 한다.

그리고 이런 방향성 때문에 벡터들의 더하기와 빼기는 할 수 있지만,

곱하기와 나누기는 불가능하다.

그대신 벡터의 내적이란 것이 있단다. 

벡터의 내적이 "0"이면 두 벡터는 직교한다고 이야기한다. 

그런데, 이런 벡터를 3차원에서 이야기해보면 또 달라진다.

좀더 차원을 확장하여 n차원에서 이야기할 수도 있다.

어떤 벡터가 있다고 하자..

그런데 그 벡터가 n차원 공간 속에 있다고 하자.

n차원 공간이 머릿속으로 상상하기 어렵겠지만, 그것에 대한 설명은 잠시 접어두자. 물리시간이 아니니까.

그 벡터는 각 차원에 정사영시킬 수가 있을 것이고,

결국 그 어떤 벡터는 n차원들에 정사영된 벡터들의 합으로 표시할 수 있다.

이 문장...

어디서 많이 들어본 문장이다.

그래 푸리에 급수와 비슷하다.

복합파동은 단순함수들의 합으로 나타낼 수 있다.

맞다, 그래서 푸리에 급수는 벡터로도 표현할 수 있다고 한다.

그것에 대한 유도 과정도 책에 자세히 나와 있다.

주기없는 파동은?

푸리에 변환을 설명하면 전제조건이 하나 있었다.

그것은 반복하는 파동, 즉 주기가 있는 파동들에 대해서 푸리에 변환을 할 수 있다는 것이다.

만약 주기가 없는, 일정한 패턴을 보이지 않는 파동은 어떻게 해야 하는가?

이것도 방법이 있다고 한다.

이렇게 주기가 없는 파동인 경우는

주기는 무한대이고, 주파수는 0에 가까운 파동이라고 생각해서 구하면 된다고 한다.

그것을 위해서는 사전 지식이 몇몇 필요하다..

앞서 푸리에 계수를 구할 때 미분, 적분을 알아야 하는 것처럼 말이다.

그래서 알아야 할 것이 우선 지수란 것이 있다.

지수 함수는 a 의 형태를 이야기한다.

이 a도 함수이기 때문에 미분을 할 수 있다.

미분의 정의에 의해서 미분을 해보면 그 결과도 지수함수형태로 나온다.

그래서 그래프를 그려보면…

y=2를 미분한 결과의 그래프는 원래 그래프인 2보다 아랫쪽에 그려지고,

y=3를 미분한 결과의 그래프는 원래 그래프인 3보다 윗쪽에 그려진다.

그렇다면, 미분한 결과가 바로 자신이 되는 그런 그래프도 있다고 추측할 수 있다.

그렇게 찾은 값이 바로 2.71828182.... 로 무한히 나가는 무리수다.

보통 e로 표시를 한다.

지수와 함께 다니는 로그 함수에 대해서 이야기하였다.

...

한가지 더 복소수 i.

4는 2와 -2를 제곱하면 나오는 수다

이때 2와 -2를 4의 제곱근이라고 한다.

어떤 수를 제곱하게 되면 무조건 양의 수가 나올 수 밖에 없다..

그러면 어떤수를 제곱하면 -1이 될까? 그런 수는 없다. 정확히 이야기하면 그런 실수는 없다.

그런데, 수학에서는 그런 수를 만들어냈다.

i라는 허수다. 실수에 대비해서 허수라고 이야기하는i를 제곱하면 -1이 되는 것으로 정의했다.

그리고 실수와 허수의 결합된 형태를 복소수라고 했고, a+bi로 표현한다.

그리고 x축을 실수축, y축을 허수축으로 하는 복소수 평면으로도 그린다.

그러면 신비한 마법이 만들어진다.

우리가 알고 있는 원을 복소수 평면에서 sin과 cos함수로 표현할 수 있다.

반지름인 1인 원의 방정식을 실수평면에서 그리려면 그 수식은 x+y=1이 된다.

그런데 같은 원을 복소수 평면에서 그리려면 그 수식은 아래와 같다.

c(x)=cosx + i sinx

매클로린 전개라는 것이 있다.

모든 함수를 아래와 같이 계수와 x의 차수들로 만으로 표현할 수 있다는 것이다.

f(x)=a+ax+ax+ax+...

그리고 위 계수는 미분을 계속해나가면 하나씩 구할 수 있다.

그리고 무한히 더하는 식은 푸리에 급수처럼 sigma(∑)로 표현할 수 있다.

매클로린 전개 정의에 의해서 sin(x)와 cos(x)도 매클로린 전개가 가능하다.

그래서 위해서 원을 나타내는 cosx+isinx를 매클로린 전개를 하면, 초간단한 식이 하나 만들어진다.

바로 e=cosx+isinx 가 된다. 이 식이 그 유명한 오일러 공식이다.

이 식에 sinx=-sin(-x), cosx = cos(-x)를 이용하면 sinx와 cosx를 e 로 표현할 수 있다.

그러면 푸리에 급수의 sinx와 cosx를  e의 항으로 표현할 수 있는데, 훨씬 간단해진다.

수학은 같은 식이라도 간단하면 간단할수록 수학에서는 아름답다고 한다.

구해야할 계수도 확 줄어든다. 

이렇게 간단하게 변한 푸리에 급수 공식에서

주기가 -∞부터 ∞까지이고, 주파수가 1/∞를 이용하게 되면,

바로 주기가 없는 파동에 대한 푸리에 급수 변환이 만들어진다.

...

마지막으로 책에서는 음성에 대해 푸리에 변환을 해보고,

FFT 분석기의 원리에 대한 설명을 해주면서 끝을 맺었다.

...

나중에 내 아이들이 크면, 이 책을 가지고 같이 공부해봤으면 좋겠다는 생각을 했는데,

그것은 나만의 로망일 수도 있겠다는 생각도 했다.

애들이 수학을 싫어한다면,,, 뭐 어쩔 수 없지 않는가.