수학의 눈으로 세상 바라보기

수학이 필요한 순간 - 인간은 얼마나 깊게 생각할 수 있는가
김민형 지음 / 인플루엔셜(주) / 2018년 8월

사랑하는 딸과 아들에게 보내는 독서편지

0. 

아빠는 과학과 수학에 관련된 교양서적을 좋아하는 편이야. 학창 시절 때도 수학과 과학이라는 과목에 흥미가 있었어. 수포자라는 말이 있을 정도로 수학을 싫어하는 사람들도 많지만, 아빠는 수학이 나쁘지 않았어. 대학에 들어갈 때 수학과를 고려하기도 했지만, 좀더 현실적인 선택을 했단다. 학창 시절 나쁘지 않은 기억 때문인지, 수학에 대한 교양 서적이 있으면 눈길이 가더구나. 그래서 김민형이라는 분의 <수학이 필요한 순간>이라는 책을 읽은 거야.

김민형님의 책은 이번이 처음인데, 약자 소개를 보니 대단한 사람이더구나. 옥스퍼드대학교 머튼 칼리지 교수이면서, 서울고등과학원의 석학교수더구나. 저자 소개란에, “김민형 교수는 ‘페르마의 마지막 정리’에서 유래된 산술대수 기하학의 고전적인 난제를 위상수학의 혁신적인 방식으로 해결하여 세계적 수학자의 반열에 올랐다. 오일러 도서상을 수상한 수학자 조던 엘렌버그는 그를 두고 “약 3천 년간이나 수와 수체계의 이론을 연구해왔지만 실제 탄생한 이론은 많지 않다. 누군가 진짜 새로운 방식으로 그 작업을 해낼 때마다 큰 사건이 된다. 김민형이 그 일을 실제로 해냈다”고 평했다.”라는 말이 있더구나. 이 말들을 정확하게 이해하지는 못했지만, 그 유명한 페르마의 마지막 정리를 위상수학 방식으로 해결했다는 것은 대단해 보이는구나. 예전에 읽은 <페르마의 마지막 정리>라는 책을 통해 그 문제가 얼마나 어려웠는지 알고 있거든. 책들도 많이 적으셨네.

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1.

이 책에 대한 내용을 간단히 이야기하면, ;수학이란 무엇인가’와 ‘수학이란 왜 필요한가’를 쉽게 알려주려고 노력한 책이라고 이야기할 수 있을 것 같구나. 먼저 역사를 바꾼 수학적 발견 세 가지로 이야기를 시작했단다.

그 첫번째가 수학자 페르마의 이름을 딴 페르마의 원리라는 것이야. 이것은 예전에 다른 책에서 이미 본 적이 있었어. 빛은 시간을 최소화하는 경로로 진행한다는 뜻… 빛이 직진한다는 말이 틀린 말은 아니지만, 빛이 하나의 물질에서 다른 물질로 통과할 때 다른 물질을 만나게 되면 굴절을 되거든. 왜 빛이 하나의 물질에서 다른 물질로 통과하게 될 때 굴절을 하게 될까. 빛이 최단 거리를 가야 한다면 굴절을 하면 안되거든. 빛이 굴절하는 이유는 최소의 시간을 이용해서 통과하기 때문이라는 거야. 최단 거리가 아니고, 최소의 시간이 소요되는 거리… 마치 바닷가에 물에 빠진 사람을 구하기 위해 해안구조대원이 달려갈 때 최단거리가 아닌, 가장 빨리 도착하기 위해, 즉, 바다에서 헤엄치는 거리를 짧게 가기 위해 달려가는 것과 비슷한 원리.. 그 전까지 빛은 최단거리로 이동한다고 했는데, 그럴 경우 굴절의 경우 설명이 안 되었는데, 페르마는 빛이 최소 시간의 경로로 움직인다는 것을 정리한 것이야. 생각의 전환이 대단한 발견을 한 것 같구나.

두번째 수학적 발견은 뉴턴의 운동의 법칙과 중력이란다. 그러면서 뉴턴의 위대한 책 <프린키피아>의 책이 여러 번 소개되었어. 세월이 흐르면서 그 책의 내용들의 오류가 조심씩 생겼지만, 당대에는 놀라운 책이었단다. 자연계에서 일어나고 있는 모든 운동들을 설명하고 있었어. 수학적인 공식을 이용한 과학으로 말이야.

그리고 마지막 세번째 수학적 발견은 데카르트의 좌표의 발견이란다. 철학자로도 유명하지만 수학자로서도 많은 업적을 남긴 데카르트. 그 중에 어떤 위치를 x축과 y축으로 표기할 수 있는 좌표의 발견이 가장 중요한 업적이라고 할 수 있어. 많은 과학과 수학의 설명이 좌표 위에서 이루어지는 것을 생각하면 정말 위대한 발견이 아닐 수 없구나.

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2.

수학적으로 사고한다는 의미는 무엇일까? 지은이는 이렇게 이야기하고 있어.

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(107)

수학적으로 사고한다는 것은 우리가 무엇을 모르는지 정확하게 질문을 던지고, 우리가 어떤 종류의 해결점을 원하고 있는지 파악하고, 그에 필요한 정확한 프레임워크와 개념적 도구를 만들어가는 과정이라고 할 수 있을 것입니다.

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이것은 숫자로 하는 것만이 아니란다. 이런 수학적 사고가 사회에 적용할 수도 있어. 정답이 없다고 좋아. 비슷한 답을 찾아가는 과정, 그것이 학문이라고 했단다.

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수학적인 사고가 사회에 어떻게 적용되느냐는 질문에 답할 때, 수라는 개념 안에서만 생각한다면 굉장히 제한적인 관점이 될 수밖에 없습니다. 제 생각에 건전한 과학적 시각이란 ‘근사(approximation)’해가는 과정이라는 걸 처음부터 받아들이는 것입니다. 완벽하게 할 수 없다고 해서 포기하기 보다는, 제한적인 조건 속에서 이해할 수 있는 현상이 있다는 것을 받아들이는 겁니다. 나중에 뒤집어지더라도 현재의 조건 안에서 이해해나가는 것이죠. 애로의 경우도, 뉴턴의 경우도 그렇다고 생각합니다. 근사해가는 과정, 항상 바꿀 수 있는 것, 그리고 섬세하게 만들어가는 과정 자체를 학문이라고 생각해볼 수도 있을 겁니다.

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민주주의와 선거제도에도 수학적 사고가 적용될 수 있어. 우리나라 선거제도는 1등만 유효한 선거인데, 그것이 모든 이들의 대표성을 띨 수 없다는 것을 수학적으로 설명을 해주는데, 재미있더구나. 그 글을 읽으면서 우리나라 선거 제도는 반드시 개혁되어야 한다고 생각했어. 한 표 차이여도, 그것이 50퍼센트도 지지를 받지 못해도, 일등만 되면 당선되는 선거 제도는 민의를 제대로 반영하지 못하고 있단다. 수학적인 방법으로 조금만 생각하면 좀더 민의를 정확히 반영할 수 있는 방법이 있다는 것을 이 책에서 설명해 주었어.

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짝짓기에 대한 내용도 재미있었단다. 어떻게 하면 헤어지지 않는 사람들이 많게끔, 즉 안정적으로 짝을 지을 수 있을까. 이것을 연구한 사람들이 있대. 수학자인 데이비드 게일과 경제학자인 로이드 섀플리란 사람들이 만든 방법인데, 아무리 많은 사람들이 있다고 해도, 안정적인 짝짓기의 답을 찾을 수 있는 방법을 찾아냈다고 했어. 게일-섀플리 알고리즘이라고도 하는데, 이것은 컴퓨터 알고리즘에도 이용이 되었고, 이것으로 2012년에 노벨 경제학상을 받았다고 하는구나. 게일-섀일러 알고리즘은 아빠가 다시 설명하는 것보다 너희들이 나중에 책에서 직접 보는 것이 더 이해하기 쉬울 거야.

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3.

수학에 관한 책을 읽을 때 자주 등장하는 수학자가 오일러라는 과학자가 아닐까 싶구나. 이번에도 오일러의 수를 설명하면서 오일러가 나왔어. 다각형의 도형이나 입체 도형이 있다고 해보자. 그럼, 그 도형에서…  면의 수에서 선의 수를 빼고 다시 점의 수를 더한 값을 오일러의 수라고 하는데, 같은 위상인 경우는 늘 같은 수를 가진다고 하는구나. 도대체 이런 발견은 어떻게 하는지 신기하구나.

수학을 좀 깊이 공부하면 위상수학이라는 용어를 접하게 되는데, 위상수학이란, 모양을 공부하는 수학의 분야 중에서 가장 근본이 되는 학문으로, 점, 선, 삼각면 등 간단한 형태들을 이어 붙여서 만들 수 있는 모양들을 기호화하는 것이라고 했어. 같은 위상이라는 것은 선을 끊거나, 면을 자르거나, 구멍의 개수를 변화시키지 않고 변형을 시킬 수 있는 것을 이야기해. 좀 말이 어렵지? 쉽게 이야기하면 찰흙 반죽을 이용하여 모양을 바꾸되, 표면을 터뜨리거나 구멍을 내지 않게 바꿔서 만들 수 있다면 같은 위상이라고 하는 거야. 즉, 구, 정육면체, 삼각뿔, 원통 등은 같은 위상이지만, 도넛 모양은 위상이 다른 것이 되는 거야. 구멍 뚫린 손잡이가 있는 컵이 도넛과 같은 위상이 되는 것이고 말이야. 이런 위상수학도 과학, 경제학 등에서 많이 이용되고 있다고 하는구나.

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너희들도 이제 수학이라는 것을 공부하잖아. 두 자리 수 곱하기도 하고, 셈뿐만 아니라 도형도 공부를 하는데, 앞으로 다양한 수학의 분야를 공부하게 될 거야. 수학이 힘들 때도 있지만, 수수께끼를 풀어나가는 것처럼 문제를 하나하나 풀어나갈 때의 쾌감을 너희들도 좋아했으면 좋겠구나. 너희들이 원한다면 아빠도 너희들의 교과서를 보면서 함께 다시 연필을 긁적였으면 좋겠구나.

PS:

책의 첫 문장: 수학은 발전했습니다.

책의 끝 문장: 수학자들에게 매우 중요한 과제가 생긴 거죠.

그렇게 보면 추상적인 개념적 도구를 사용해 세상을 체계적으로, 또 정밀하게 설명하려는 의도가 바로 수학이라고 할 수도 있겠습니다. - P39

이 ‘공리’라는 단어를 기억하시길 바랍니다. ‘하나의 사실에 대해 증명하지 않고 기정사실로 받아들일 때, 이를 기초로 다른 이야기를 진행할 수 있다. 공리를 받아들이지 않는다면 앞으로 전개될 내용도 전혀 받아들일 이유가 없으며, 이 공리가 맞다고 상정하면 앞으로 나올 결론들도 맞다고 여길 수 있다.’ 바로 이것이 공리적인 사고체계입니다. 유클리드는 <기하학 원론>이라는 책을 통해 기하학에 대한 5개 공리를 만들고, 그다음에 그 공리만 이용해서 여러 가지 증명을 전개했습니다. 가정과 공리만 사용해서 결론을 이끌어낸 이 책은 당시 서구세계에 굉장히 강력한 영향을 미치고 있던 것으로 보입니다. - P77

수학은 정답을 찾는 게 아니라, 인간이 답을 찾아가는 데 필요한 명료한 과정을 만드는 일이라고 생각합니다. 우리가 맨 처음에 했던 질문이 기억나나요? ‘수학이란 무엇인가’라는 질문이었습니다. 이제 그 질문을 다시 하고 싶은 생각이 들지는 않을 겁니다. 여전히 답을 말하기 어렵습니다. 그럼에도 불구하고 우리는 수학에 대해, 수학적으로 사고한다는 것에 대해 느끼고 있습니다. 더 탐구하게 되고, 생각게 되겠지요. 무엇보다 수학이 이제 특정한 논리학이나 기호학과 같은 학문이 아니라, 우리가 세상을 이해하고 설명하는 방식이라는 것을 이해했을 겁니다. - P265

알파벳 다섯 글자로 만들 수 있는 단어는 과연 몇 개일까요? 아무 제약 조건도 주지 않고 의미를 고려하지 않으면 26^5개, 약 1200만 개를 만들 수 있습니다. 그런데 사전을 찾아보면 의미 있는 다섯 글자 영어 단어는 희한한 것들까지 포함해서 약 1만 5,000개밖에 없습니다. 애초에 알파벳 3개 글자를 효율적으로 써서 26^3=17,576개의 단어를 만들면 될 것을, 5개의 글자로 왜 1만 5,000개 단어밖에 만들지 않은 것일까요? 다섯 글자 영어 단어에 들어 있는 정보율은 약 5분의 3입니다. 의미 있는 단어는 1만 5,000개밖에 안 되는데, 다섯 글자나 쓰는 낭비를 ‘정보율’로 표현한 것입니다. 그럼에도 단어의 길이를 늘려서 쓰게 된 데는 인간의 언어가 자연적으로 정보 처리 문제를 해결하면서 진화한 것이 중요한 했을 것입니다. 다시 말해 언어 자체도 방금 이야기한 오류의 관측과 정정이 가능하게 만들어졌다는 의미입니다. - P291