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리만 가설 - 베른하르트 리만과 소수의 비밀
존 더비셔 지음, 박병철 옮김 / 승산 / 2006년 10월
평점 :
천재적인 수학자 리만에 대한 이야기이다. 특히 리만이 제기한 가설에 대한 이야기다. 그러면서 따라 나오는 제타함수에 대한 이야기다. 조금은 어렵다. 현대수학에 괄목할 만한 족적을 남긴 리만의 많은 업적 중에서도 리만가설은 아직도 풀리지 않은 과제로 남아 있다.
수학사에 관련된 많은 일화 중에는 지금까지 풀리지 않은 과제들이 남아 있다. 그 중에서 많이 들어본 내용으로는 최근들어 풀린 「페르마의 마지막정리」가 있다. 그 밖에도 여러 가지 난제들이 있다고 하는데 그에 대한 내용은 별도로 찾아 봐야 할 것이고, 이 책에 서술된 「리만가설」은 그런 난제들 중에 하나라고 한다. 그 내용의 실체가 무엇인가 궁금증이 인다.
『페르마의 마지막 정리』라는 책은 「리만가설」과 같은 난제에 대한 풀이 역사를 엮어낸 책이다. 무척 재미나게 읽었다는 기억이 난다. 이와 같이 이 책 『리만가설』 또한 그런 부류의 책이다. 리만하면 페르마와는 달리 많이 알려져 있지 않은 듯 하다. 조금 대중적이지 않다는 뜻이다. 어느 수학학원의 이름을 봐도 페르마는 많이 들어 봤지만 리만은 아직은 우리들의 기억 속에 생소한 느낌이 든다. 어찌 보면 역사가 짧아서 그런지도 모르겠다. 현대 수학 태동기의 시점에 있어서 인지도 모르겠다. 이는 「페르마의 마지막정리」가 수학사에 있어서 더 많은 관심과 흥미가 많았다고 하겠다. 자체적인 수학사적 의미로 볼 때 「페르마의 마지막정리」는 자체적인 의미 보다는 증명하기 위한 방법상에서 여러 가지 수학적인 기법과 논리에 대한 발전의 원동력이 되었다는 의미가 크다고 하겠다. 반면에 「리만가설」은 잘은 모르겠지만 현대물리와 접목되어 수학적 해석의 기본틀이 되지 않을까 생각된다.
리만에 대한 이야기를 하면서 나오는 얘기로 오일러와 가우스가 등장한다. 위대한 수학자의 반열에 올라 있는 인물들 하면 손꼽히는 인물들이다. 그런 천재적인 수학자들의 이야기 속에 리만의 이야기가 등장한다. 이야기의 시작은 소수에 대한 이야기다. 소수라고 하면 1과 자신 이외에는 어떤 자연수로도 나누어 떨어지지 않는 수를 뜻한다. 즉 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …… 이렇게 한없이 이어지는 소수에 관련된 이야기는 너무도 흥미롭고 호기심을 자극하는 숫자들이다.
정수론에 대한 내용을 보다 보면 숫자에 관련된 재미난 이야기꺼리들이 많다. 그래서 정수에 대한 재미난 이야기를 엮어 각종 수학책들이 나오는데 그런 책들은 초기에는 흥미가 있다가도 어느 한계에 도달하면 더 이상 흥미가 없고 그 책이 그 책인 것 아닌가 하는 생각이 든다. 헌데 이런 정수론의 이야기가 여기에서 멈추는 것이 아니라 소수라는 특수한 성질의 숫자에 대한 이야기로 넘어가면서 명석한 두뇌가 필요하다는 생각이 든다. 천부적인 계산능력이 필요하다고 할까? 요즘은 컴퓨터라는 도구가 대신하고 있지만 이런 복잡한 계산은 순식간에 해치우는 천재들—가우스나 리만 같은—이 있기에 리만가설로 이어지는 수학사가 만들어지지 않았나 생각된다.
이런 소수에 대한 이야기 중에는 책에서 본「소수정리」에 대한 이야기가 생각난다. 어떤 자연수를 넘지 않는 소수가 몇 개일까라는 질문은 쉽게 10이나 20이라는 숫자 내에서는 간단하게 계산된다. 허나 이런 숫자가 거의 무한과 같은 숫자로 커진다고 하면 과연 그 특정수가 소수인지 아닌지도 구분하기 어렵고, 그 어려운 작업 속에서 그 수 안에 있는 소수의 개수는 과연 어떤 방법으로 셀 수 있을까 하는 생각이 든다. 이런 얘기들이 「리만가설」을 시작하는 첫 얘기이다. 너무나 흥미롭지만 그 내용을 파고들기에는 어마어마한 이야기다. 이 부분을 읽으면서 영화 『큐브』가 생각난다. 정육면체의 방 속에 갇히면서 빠져나갈 방법을 찾는 중에 살벌한 장면과 스릴러의 잔인한 장면들이 많이 나오지만 몇 번의 시행착오 속에 죽지 않고 빠져나가는 방법을 찾아갈 수 있는 방법이 방의 고유번호가 소수인지 아닌지를 계산하는 것이다. 그런데 숫자가 3자리로 쉽게 계산할 수 있는 숫자는 아닌 듯 하다. 3자리 숫자를 보고 이 숫자가 소수인지 아닌지가 생명과 직결되는 내용은 긴장감을 주지만 숫자를 보면서 바로 소수인지 아닌지를 계산하기는 쉽지는 않은 내용이다. 이런 소수에 대한 이야기가 「리만가설」의 시작에 해당되는 내용이다.
「리만가설」에 등장하는 내용에는 제타함수가 등장한다. 그 제타함수가 무엇인가에 대해서는 좀더 심층적인 공부를 더 해야 그 본질을 알고 해석이 될 내용이다. 수학을 전공으로 공부해야 겨우 이해 할 수 있는 내용으로 느껴진다. 하지만 책에서 보여주는 제타함수의 해(解)에 대한 이야기는 이 책을 읽기 전에 봤던 『숨겨진 우주』(리사 랜들 지음, 김연중, 이민재 옮김 | 사이언스북스, 2008년)에서 봤던 내용과 접목되는 것이 아닌가 생각된다. 이론물리학에서 추론하는 기본물질의 세계에서 다루는 숫자와 내용은 이 책에 나오는 제타함수의 해에 대한 이야기가 현대물리학의 연구 내용과 연관이 있는 것이 아닌가 상상된다. 자연세계의 현상들과 수학에서 소수의 내용이 뭔가 관련이 있는 것은 아닌가 하는 생각도 든다.
어찌 되었든 책 속에 등장하는 이야기는 수학사적인 읽는 재미와 「리만가설」을 추론해 내는 과정과 그 증명을 시도하는 여러 가지 천재들의 아이디어에 대한 이야기는 정말 흥미롭다. 고리타분한 수학의 이야기가 아니라 현재 첨단의 수학과제를 흥미롭게 다루면서 「리만가설」의 의미를 재 조명해 주고 있다. 수학을 전공하지 않은 사람도 쉽게 이해 할 수 있도록 설명해 주는 저자의 능력이 대단해 보인다. 수학적인 기호와 설명을 간결한 수식으로 대체하면서 보여주는 각종 함수와 방정식의 이야기도 흥미롭기는 마챤가지이다.