수학 최상위권들은 이런 원리를 본능적으로 꿰뚫어보고 있습니다. 그래서 수학 공부를 할 때 이과정을 실제 시험에서잘할 수 있도록 평소에 접근합니다. 이렇게 수학 시험의 본질을 파악하고, 딱 맞춘 방법으로 대비하기 때문에 시험을 잘 볼 수밖에 없습니다.
이것을 개념 공부의 목표로 두지 마세요. 대신 개념을 공부할 때부터 문제를 같이 보는 것이 중요합니다. 개념을 공부할때부터 문제에 집중하는 것이 중요합니다. 왜냐하면 시험장에서 마주하는 시험 문제 중에 개념의 유도과정이나 성질을있는 그대로 쭉 적으라는 문제는 없기 때문입니다!
결국 문제를 풀어낼 수 있느냐가 핵심입니다. 공부한 개념을 적재적소에 이용해 다양한 문제의 조건에서 원의 넓이를 구할 수 있냐는 것입니다. 이런 원리를 깨우친 최상위권들은 낯선 개념 공부를 하며 어려움을 겪어도, 개념은 결국 문제를 풀기 위해 존재한다는 뚜렷한 관점을 가지고 쓰임새에 집중하여 효율적으로 접근합니다.
개념은 문제를 풀기 위한 수단일 뿐이니 굳이 이해할 필요 없이 그냥 넘어갈까요? 아닙니다. 이 말을 오해해서는 안 됩니다. 물론 개념을 이용해 어떤 문제를 풀 수 있는지 그 쓰임새를 아는 것이 가장 중요하지만 개념 설명 자체를 깊게 이해하는 것만으로도 그 쓰임새를 더 정확히 알 수 있습니다. 개념을 이해하면, 많은 문제를 풀지 않고도 언제 이 개념을 더 잘 사용할 수 있는지 알아차릴 수 있어 적재적소에 적용해 다양한 문제를 풀어낼 수있습니다. 그러니 개념 설명이 이해되지 않으면 일단은 이해하려고 최대한 고민해야 합니다.
사실 개념서의 예제는 문제라기보다는 개념 설명의 연장선입니다. 개념이 실제 문제를 푸는 과정 속에서 어떻게 사용이 되는지를 설명하고 싶은 것입니다. 그래서 풀이과정을 모두 보여주면서 중간중간 빈칸만 뚫어 놓은 형태를 취하거나, 편하게 볼 수 있도록 바로 밑에 그냥 적어 놓은 것입니다. 개념설명을 읽었듯이 예제의 풀이도 꼼꼼히 읽으면서 배운 개념으로 어떤 문제를 어떻게 풀 수 있는지 제발 함께 봐달라는것입니다.
그런데 대부분 학생들은 오로지 빈칸을 채워 넣는 데 혈안이 되어 전반적인 풀이과정은 건성으로 읽거나 아예 읽지도않고 건너뜁니다. 중·고등학생들은 예제 밑 풀이과정을 손이나 노트로 억지로 가리고 풀면서 절대 보지 않고 넘어가기도 합니다. 지금은 문제 풀이를 하는 게 아니라 개념 공부를 하는 중입니다. 문제를 푸는 행위 자체가 중요한 게 아닙니다. 개념을 활용해 어떤 문제를 해결할 수 있는지를 파악해가는 단계이기 때문에 개념 설명의 연장선인 예제의 풀이를 꼼꼼히 읽어야 합니다. 그래야만 개념 설명만으로는 이해되지 않았던 부분이 실제 문제에 활용되어 풀어지는 구체적인 과정 속에서 역으로 이해될 수 있습니다.
똑같은 내용의 수업을 들었지만 오디에 초점을 두고, 무엇을 얻으려고 했느냐에 따라 달라진 결과입니다. 결국 개념 수업을 듣는 ‘태도‘가 중요하다는 뜻입니다. 개념 수업을 듣는 궁극적인 목표는 앞서 말한 수학 개념서를 볼 때와 마찬가지입니다. 이 ‘열쇠 (개념)‘로 어떤 ‘자물쇠(문제)‘를 풀 수 있는지를 파악하고 머리에 남기는 것입니다.
어떤 수업이든 예제를 풀면서 개념이 어떻게 활용되는지 직접 보여주는 단계를 거칩니다. 이때 그전까지는 자신의 집중력을 70%만 썼다면, 지금부터는 100%까지 끌어올려야 합니다. 예제의 풀이 속에서 개념을 사용해 어떤 문제를 왜 풀수 있는지, 그래서 어떻게 푸는지를 반드시 파악해야 합니다.
개념을 문제에 연결해 쓰임새를 파악하는 단계에서는 그 어떤 타협도 없습니다. 최상위권들은 이것을 하려고 개념 수업을 듣는 것이고 무서우리만큼 철저하게 해내고 맙니다.
저학년일 때의 개념은 비교적 간단하고 푸는 문제만 어려웠다면, 학년이 올라가면 갈수록 그냥 개념부터 어렵습니다.
예를 들어 중등 과정의 방정식은 개념은 쉬운데 이를 활용하는 소금물 농도 문제가 어려웠다면, 고등과정 미적분은 그냥개념 자체부터 어렵습니다. 그러니 미적분의 정의 자체도 이해가 안 되는데 문제를 함께 푼다는 건 말도 안 된다고 생각할 수 있습니다. 그렇지만 그럴수록 문제로 넘어가서 풀이 속 개념을 확인해야 합니다.
개념이 어려울수록 문제를 꼭 풀어봐야 하는 이유가 하나 더 있습니다. 어려운 개념들 중에는 배울 당시에는 애초에 이해가 불가능한 것들이 존재합니다. 상위 학년에 가서 제대로 배우거나 어쩌면 대학 과정에 가서야 완벽히 이해할 수 있는것도 있습니다. 그런 개념들은 사실 필요한 문제에 적절히 쓸줄만 알면 됩니다.
개념을 이해하려고 노력도 하지 않고 넘어가서는 절대 안됩니다. 개념을 이해하기 위해 이렇게 저렇게 고민해보는 것만으로도 개념을 더 깊게 알게 되고 문제에 적용하는 데 엄청난 도움이 되기 때문입니다. 그렇다고 ‘난 이해가 안 되면 절대 못 넘어가 하면서 그곳에 멈춰 있으라는 건 아닙니다.
개념의 쓰임을 단순히 암기하면 되는 것 아니냐고 한다면, 절대 아니라고 답하겠습니다. 절대 아닙니다! 문제를 푸는데 그 개념을 왜 쓸 수 있는지 정확한 이유를 반드시 이해해야만 합니다. 이 개념을 왜 쓸 수 있는지에 대한 이유도 모른 채 단순히 상황만 암기한다면 그 ‘열쇠‘는 만들다만 어설픈 열쇠입니다. 이런 열쇠는 살짝만 변형되어 복잡해지면 절대로 사용할 수 없게 됩니다.
개념을 쓸 수 있는 이유를 정확히 알고 있어야만 어떤 새로운 문제를 봐도 정확한 개념을 떠올려 사용할 수 있는 것입니다.
|