역설적이게도, 전체 이익과 시대정신을 앞세우면 그것을...

역설적이게도, 전체 이익과 시대정신을 앞세우면 그것을 독점하고자 하는 흥분과 열정이 과도해지면서 적대와 증오의 정치가 심화된다. 하나의 옳은 가치를 추구하는 일이 정치의 모든 것이 되면 전체주의는 피할 수 없다. - P138

언제든 그들은 눈앞의 이익을 좇는 집단 이기주의자들로 매도되거나, 국익 내지 경제성장을 저해하는 특수 이익집단으로 공격받기쉽다. - P138

사회는 어느 하나만이 옳을 수 없는 여러 가치들의 경합체제이고, 공동체는 이를 구성하는 복수의 집단 이익들이 경쟁과타협, 조정을 통해 배워 가야 하는 ‘시민의 학교‘이기 때문이다. - P138

통치자와 피통치자 사이의 ‘신뢰‘를 강조했던 영국의 정치철학자 존 로크의 관점에서 보아도 마찬가지다. 그에 따르면, 근본적으로 신뢰는 통치자와 피통치자 모두가 한 사회의 공동 구성원이라는 일체감을 갖는 데서 비롯된다. 그러나 한국 민주주의에서 이 근접성과 신뢰의 원칙은 깨진 지 오래다. - P139

이명박 정부 시기에 공개된 고위 공직자 신망 자료릉 통해 그 특성을 살펴보자. (중략) 자녀 중 외국 국적을 가진 비율은 보통 사람들의 경우 1만 명 가운데6명이 안 되는 반면 이들은 5명의 1명꼴이다. 병역면제 처분을 받은 비율 역시 일반 시민의 6배나 많다. 국내외제차 점유율은 갓 5퍼센트를 넘었는데 이들이 보유한 외제차 비율은 30퍼센트를 훌쩍 넘는다. - P140

그러나 더 중요한 특징이 있다. 그것은 이들 통치 엘리트의 삶의 경험과 가치 지향이 우리 사회 공동체 안에 뿌리를 두고 있지않다는 사실이다. - P140

 우리 사회 절대다수의 구성원들을 크게 실망하고 분노하게 만들었던 영어 몰입 교육 정책이나 대책 없는 미국산 소고기 수입 결정이 가능했던 것은 그 때문이었다.
재미있는 사실은 이들이 시민들의 반응을 이해하지 못했다는것이다. - P140

시민과 달라도 너무 다른 한국의 통치엘리트들은 누구를 위해존재하는가? 통치 엘리트와 일반 시민이 공유하는 공동체적 일체감 같은 것은 있는가? - P141

실제적 대표와 가상적 대표

민주주의에 관한 경제학적 설명을 개척한 조지프 슘페터 Joseph Schumpeter가 강조했듯이, 시장에서 이루어지는 소비자의 결정과는 달리 민주주의 정치에서는 공급 측면 (정당 후보)과 무관하게 독립된 수요측면(시민 여론)이 존재하지 않기 때문이다. - P141

여론조사를 신봉하는 사람들은 대개 ‘민심론‘을 좋아한다. - P141

 소비자의 선호를 독립적으로 ‘주어진 것‘으로 가정하는 경제학에서라면 말이 될지 모른다. 그러나 적어도 정치에 있어서는, 선택의 조건이나 대안이 어떠냐 하는 문제와 무관하게 객관적으로 존재하는 민심은 없다. - P142

 이를 통해 미래의 정부나 의회가 어떤 역할을 할 것인지에 대한 지식과 정보가 상당 정도 알려져 있어야 한다. 이 과정에서 ‘유권자의 선호가 정당과 후보 대안을 매개로 구조화될 수 있을 때 비로소 선거는 민주주의의 제도로서 작동 한다.  - P142

정작 문제가 되는 것은, 시민사회의 다양한 이해와 요구가 정당과 언론을 통해 실체적으로 표출되고 대표될 수 있는 조직적 조건이랄까 집단적 채널이 아무리 찾아봐도 찾을 수 없다는 사실이다. - P142

정치학에서는 그런 것을 ‘실제적인 대표성" actual representation과는 거리가 먼 ‘가상적인 대표성‘virtual rep-resentation 만 있는 상황이라고 말한다. - P143

프레임에 갇힌 모조품 정치

한국정치를 나쁘게 만드는 데 기여한 유행어들이 여럿 있는데, 그 가운데 하나가 ‘프레임‘frame이라는 말이 아닌가 한다.  - P143

오래전 이탈리아의 마르크스주의 이론가였던 안토니오 그람시 AntonioGramsci도 말했지만, 인간에게는 이데올로기를 통해 사실을 인식하는 측면이 분명 있다. 따라서 프레임 이론에서 말하듯이 개념과 용어의 선택이 미치는 영향을 잘 생각해 보는 것은 중요하다. - P143

프레임이라는 개념 역시 적절하게 사용하는 것이 중요한데, 그것이 정치의 모든 것인 양 이해하기 시작하면 긍정적인측면 못지않게 부정적인 효과를 낳을 수 있다. - P144

 그러면서 사회의 다양한 이해관계, 때로 모순적이기도 한 요구들을 통합할 수 있는 실력을 다져야 한다. - P144

사회로부터의 소리를 듣는 것이 아니라 자신들의 프레임, 자신사들의 개념 틀을 사람들에게 제공해야 한다고 믿게 되면 민주주의의 언어와는 거리가 있는, 광고와 마케팅의 언어가 지배하게 된다. - P144

이제 한국의 선거는 정치 마케팅 전문가들과 계약을 하고, 보고서를 받고, 그에따라 선거를 기획하고, 캠페인을 전개하는 과정을 따른다. - P145

 문제는 그것이 선거에서 너무 많은 부분을 지배하고 있다는 점이다. 그결과 정당 조직과 당원들의 역할이 무시되는 경향이 심화되었다.
당원을 필요로 하지 않는 정당, 당원의 열정과 노력에 의존하지 않는 정당, 그들의 기대와 참여를 조직하려 하지 않는 정당이 민주주의를 말할 수 있을까? - P145

선거가 아무리 지지표를 동원하는 데 그 목적이 있다 해도, 사람들의 생각을 작위적으로 이끌려는 노력이 꼭 좋은 성과를 내는 유일한 방법도 아니며, 좋은 접근인 것도 아니다. - P145

민주주의자는 인간이 사는 사회 속에 실존하는 다양한 삶의 현실을 존중하고, 현실에서 해결할 수 없는 수많은 딜레마 앞에서 고민하고 대화하고 협력의 방법을 찾으려고 노력하는 사람이다. - P146

그럴수록 전략적 사고에 이끌리게 되고 현란한 말을 사용하게 된다. 그러면서 보통 사람들의 언어가 사라지고 전문가다운 분위기를 풍기는 외국어 용어들을 동원하는 경우가 많은데, 그것 역시 좋은 일이 아니다. - P146

(전략). 이른바 납세자들만이 시민이었던 것이다.
그때 영국 자유주의를 대표하는 사상가였던 존 스튜어트 밀JohnStuart Mill도, 직업과 교육 수준을 고려해 뛰어난 시민에게는 투표권을 더 주자고 주장했을 정도이다. (중략), 공동체의 중대 결정에 대한 판단 능력은 교육이나재산의 많고 적음과 큰 상관이 없다는 것은 이제 상식이 되었다. - P146

 오래전 영국을 대표하는 소설가 조지 오웰GeorgeOrwell이 말했듯이 "(우리가) 연합해야 할 사람은, 사장에게 굽실거려야 하고 집세 낼 생각을 하면 몸서리쳐지는 모든 이들"이지 특정의 프레임을 공유한, 자격 있는 개념 시민들만이 아니라는 말이다. - P147

자유라는 개념은 소외를 포괄하는 것이었나? 아님 포괄...

자유라는 개념은 소외를 포괄하는 것이었나? 아님 포괄할 수 있는?

즉 법인으로서 조직의 재산과 개인의 재산은 구분되어야 하고, 조직은 개인이 아닌 조직의목적을 수행해야 한다. 그런데 많은 조직에서 개인 소유와 조직소유가 불분명하고 이로 인해 법적 정당화는 물론 많은 탈세나 횡령 등의 비리가 발생하고 있다. - P275

민주주의는 자유주의를 바탕으로 한다. 자유주의에는 역사적으로 사유재산을 바탕으로 자신의 자유권을 행사하는 경제적 자유가 포함되어 있다. - P275

이 논리에는 사회복지도 정의의 실현도 존재하지않는다. 자유주의는 국가가 경제에 최소로 관여하는 경제체제를 요구하고, 이는 자본주의에서 공황을 초래하고 불평등 문제를 심화시켰다. 민주주의는 자유주의를 바탕으로 하되, 다른 사람들에게 해를 끼치거나 사회 갈등을 유발하는 자유를 경계해야 한다. - P275

인간이 고등사고력을 바탕으로 한 사회생활을 하면서, 역사와 더불어 사회는 크고 복잡한 형태로 변화하였다. 근대사회에 들어 분업과 전문화의 영향으로 인간의 일은 분업화되어 인간은분업적 생활에서 일부의 일을 하고 그 소득으로 생활을 영위하고 있다. 그리고 과학과 기술은 급속하게 발달하고 있다. - P276

인간은 20세기에 들어 과학과 기술의 발달로 양차 세계대전, 유대인 대량학살, 핵전쟁 등과 같은갈등으로 상상을 초월하는 인명피해를 경험하였다. 그리고 지구온난화로 인한 환경문제의 대재앙을 예상하면서도 경쟁하고 있다. - P276

복지사회는 모든 인간이 인권을 지키면서 살 수 있는 지속가능한 사회의 실현을 말한다. 과학과 기술의 발달은 인간사회를 세계 공동체로 만들고 있으나, 국가 간 산업화와 복지정책 실천의 정도에는 큰 차이가 존재한다. - P277

(전략) 독일의 비스마르크는 자본주의 발달로 인한 사회주의운동을 억제하는 방편으로 사회보험법을 만들었고, 이는 사회보험제도의 근간이 되었다.  - P277

경제 대공황은 자유경제에 기초한 자본주의를 뉴딜정책이나 케인스주의와 같이국가가 적극적으로 개입하는 수정자본주의와 복지국가의 형태로 바꾸었다. - P277

윌리엄 템플(Wiliam Temple)의 복지국가에서 비롯된 복지사회는 인권 보장과 자아실현, 최저 생활과 완전고용의 보장, 소득분배의 공정성과 깨끗한 환경을 보장하는 사회를 의미하는 개념으로 사용되고 있다. - P278

사회 성원의 자유가 보장되는 사회는 자본주의가 아닌 복지사회이다. 권력이나 부의 불평등에 기초한 자유가 아니라 평등에 기초한 자유이어야 한다. - P278

사회 성원의 자유가 보장되는 사회는 자본주의가 아닌 복지사회이다. 권력이나 부의 불평등에 기초한 자유가 아니라 평등에 기초한 자유이어야 한다. - P278

19세기 후반 자본주의에서 노동자의 지위를 보장받기 위한 단체행동들의 부분적 결실로 사회주의운동과노동자 중심의 정당들이 나타났고, 노동자의 선거권과 사회복지 등에 관한 관심도 형성되었다. 20세기 들어 공산주의 국가들이 탄생하였으나, 20세기 말 공산주의는 자본주의와의 경쟁에서 패배하였다. - P278

그리고 오늘날 자본주의의 대안적형태로 다양한 사회상이 제시되나 아직 민주주의에 기초한 복지사회와 다문화사회의 정착이 설득력이 있다. - P278

 오늘날 화석에너지의 사용과 핵에너지의 사용에 의한 환경문제는 인간이 사는 환경을 오염시킬 뿐만 아니라 지구온난화현상으로 전 지구의 환경변화를 유발하고 있다. 자본주의 사회에서 상품을 팔기 위한 포장과 과소비는 수많은 배출물을 만들어내고 있다. - P279

다시 읽고, 다시 읽고. 기록을 하면서 읽으면 좀 ...

다시 읽고, 다시 읽고.
기록을 하면서 읽으면 좀 더 진도가 나갈까.

일러두기


이 소논문은 내 능력을 제대로 알지도 못하고 시도했다가 오래전에 포기한 보다 방대한 저작에서 발췌한 것이다. 포기한 그저작에서 골라낼 수 있었던 여러 단편(斷片) 가운데 이 논문이가장 주목할 만하며, 사람들 앞에 내놓기에도 괜찮아 보였다. 이것 외의 것들은 이미 남아 있지 않다. - P31

나는, 인간을 있는 그대로 받아들이고 법을 있을 수 있는 그대로 받아들이면서 정당하고도 믿을 만한 통치의 법칙이 정치사회 속에 있을 수 있는지를 알아보고자 한다. - P33

 이렇게 정치에 관한 글을 쓰는 것을 보고 "당신은 군주냐, 아니면 입법자냐." 하고 물어볼 사람이 있을지도 모르겠다. 대답하건대, 나는 군주도 아니고 입법자도 아니다. 오히려 그렇기에 정치에 관해 글을 쓴다. - P33

행동으로 옮겨야 할 일은 행동으로 옮길일이다. 그러지 않을 경우 차라리 입 다물고 가만히 있을 일이다. - P33

1장
1부의 주제에 관하여

인간은 태어날 때는 자유로웠는데, 어디서나 노예가 되어 있다. 자신을 다른 사람들의 주인으로 생각하는 자들은 기실 그들보다 훨씬 더 노예가 되어 있다. 어떻게 이런 변화가 일어났는가? 나도 잘 모르겠다. - P34

즉, 한 인민이 복종하지 않을 수 없어 복종하는 것은 잘하는 일이다. 그런데 그 속박에서 벗어날 수 있을때 벗어나는 것은 훨씬 더 잘하는 일이다. 왜냐하면 자신에게서빼앗아 간 것과 똑같은 권리로 자기의 자유를 되찾는 것이기에,
그가 자유를 되찾을 충분한 근거가 있거나 아니면 타인이 그에게서 그것을 빼앗아 갈 충분한 근거가 없었기 때문이다. - P34

2장
초기 사회에 관하여

모든 사회 가운데 가장 오래되고 또 유일하게 자연적인 것은가족 사회다. 하지만 자식은 자신의 생명 보존에 필요한 만큼만 아버지에게 매여 있다. - P35

만일 그들이 계속해서 결합되어 남아있다면, 그것은 더 이상 자연적인 게 아니라 자발적인 것이다.
그러므로 가정 그 자체는 오로지 계약에 의해서만 유지된다. - P35

그러므로 가정은 아마도 정치사회의 최초 모델일 것이다. 국가의 우두머리는 아버지와 흡사하고 인민은 자식들과 흡사하다.
하지만 그들 모두는 평등하고 자유롭게 태어났기에 자신의 이익을 위해서만 자신의 자유를 양도할 뿐이다. - P35

흐로티위스(Hugo Grotius)는 인간의 모든 권력이 피지배자들에게 유리하게 확립되어 있다는 점을 인정하지 않는데, 그 예로 노예제도를 든다.² - P36

책을 읽는다, 하지만 귀찮다.

책을 읽는다, 하지만 귀찮다.

 공리가 어디서 왔는가와는 상관없이 그 공리의 진술에서 수학은 시작한다. 경험은 19세기까지 공리의 유일한 원천이었다. 그러나 비유클리드 기하학 연구는 유클리드의 공리와는 다른 평행선 공리를 사용하고자 하는 욕망에서 시작된 것이었다. - P620

비록 비유클리드 기하학의 공리들이 보통의 인간 경험과는 상반되는 것처럼 보이기는 하지만, 이들도 물리적 세계에 적용되는 정리들을산출해내었다. 이러한 사실에 비추어보면, 공리들을 선택하는 데에는 상당한 자유가 있는 것처럼 보인다. - P620

일관성이라는 요구 조건은 최근 들어서 엄청난 중요성을 띠기 시작하였다. 수학자들이 자신들의 공리와 정리들이 절대적 진리라고 여겨오는 동안에는 논리에 실수가 있는 경우가 아니라면, 모순이 일어날 수도 있다는 생각을 꿈에도 가지지 않았다. - P621

공리들의 집합을 직접 검토하여 그것 중의 어느 하나라도 서로 모순되지 않는다는 것을 확인할 수 있어야 한다. 그러나 어떻게 그 공리들로부터 연역될 수 있는 수백 가지의 정리 중에서 어느 하나라도 다른 것과 모순되지 않는다는 것을 확신할 수 있겠는가? - P621

수학의 최근 연구대부분은 그 많은 수학 분야들의 일관성을 정립하는 방향으로 이루어지고 있다. 그러나 수학자들은 적어도 지금까지는 실수 체계에 대한 공리와 정리를 이루고 있는 수학적 체계가 일관된다는 것을 입증하려는노력을 피해왔다. 상황은 극도로 당혹스럽다. - P621

공리는 증거 없이 받아들이는 것이기 때문에 우리는 먼저 우리가 동의하고 있는 것을 정확히 인식하고 있어야 한다. 단순성은 이러한 이해를 보장해준다. 필수적이지는 않지만 수학 체계의공리들은 서로 독립적인 것이 더 좋다. 다시 말하여 하나의 공리, 혹은 다른 여러 개의 공리들 중에서 하나의 공리를 연역하는 것이 불가능해야 한다는 것이다. - P622

모든 필연적이며 바람직한 조건을 갖춘 공리 체계를 선택하였다고하였을 때, 수학자들은 어떤 정리를 증명해야 하는지를 어떻게 아는가? 그리고 어떻게 그것을 증명해 나가는가? - P622

정리들의 원천은 많다. 그 많은 원천 중에서도 경험은 가장 비옥한것이다. 물리적으로 실재하는 삼각형을 경험하게 되면, 수학적 삼각형에 대하여 있을 법한 많은 결론이 떠오른다. 그러고 나서 공리들로부터 연역을 하여 이들 결론을 수학의 정리로 정립하든가 아니면 폐기하든가 결정한다. - P622

실험실과 관측소 속에서 발생하는 과학적 문제와 평평한 표면 위에서 깊이를 묘사해야 하는 그런 예술적 문제가 정밀한 정리를 생각나게 하기도 한다. - P622

 처음 n개의 홀수의 합은 n이 양의 정수이면 n의 제곱이 된다. 물론 이 가능한 정리는 위의 연산을 통해서 증명되지 못한다. 아니그 진술은 그런 연산으로 증명될 수 없다. 왜냐하면 어떤 사람도 죽을 수밖에 없기 때문에, 모든 n에 해당하는 결론을 정립하는 데에 필요한 연산을 무한대로 할 수 없다. 그러나 그러한 연산이 수학자들에게 무언가 연구할 거리를 제공해주는 것은 사실이다. - P623

우리는 이미 유클리드 평행선공리에 포함된 주장을 더 납득 가능한 공리들로부터 연역할 수 있는가라는 순수하게 논리적인 문제로부터 비유클리드 기하학이 탄생하게 되었다는 것을 알고 있다. 일단 그러한 기하학의 아이디어를 파악하게 되면, 유클리드 기하학에서 주장하였던 정리와 유사한 것을 찾음으로써 수많은 정리를 얻을 수 있다. - P623

수학자들이 정리에 대한 암시를 어떻게 확보하는지에 대한 몇 가지예를 들어보았지만, 이것이 전부는 아니다. 하나의 정리가 발견될 때까지 작용하는 순수한 우연, 추측, 실수와 같은, 많은 뜻밖의 원천들을 더한다고 하더라도 여전히 만들어낼 수 있는 정리의 가장 귀중한 원천은아직 언급하지 않았다. 가장 중요한 원천은 바로 상상력과 직관, 그리고 창조적인 천재의 통찰력이다. - P624

무엇을 증명해야 하는가를 아는 것은 어떻게 증명해야 하는가를 아는 것과 필연적인 관련을 맺고 있다. 수학자는 어떤 상황 속에서 자신이 알고 있는 모든 사실을 검토함으로써 특정한 정리를 증명하는 것이가능한가 아닌가를 확신할 수 있다. 그러나 이 정리를 연역적으로 증명하기 전에는 그것을 주장하거나 적용할 수 없다. - P625

모든 짝수는 두 소수의 합이라는 진술은 추측을 통하여 그 진리성이 명백하다고 판단한 훌륭한 사례이다. 소수라는 것은 단지 자기 자신과 1로만 나누어지는 정수라는 것을 상기하자. 그러므로 13은 소수가되지만 9 는 아니다.  - P625

수학자들은 글자 그대로 수천 년 동안 그런 증명을 얻고자 연구하였다. ‘수학적 정확성‘과 ‘수학적 정밀함‘이라는 어구를 일상적으로 사용할 때에, 우리는 이 가차 없는 확실성에 대한 추구에 경의를 표하는 것이다. - P626

 무엇을 증명해야 하는가를 찾을 때와 마찬가지로 증명방법을 찾기 위해서수학자는 상상력과 통찰력, 그리고 창의력을 사용해야 한다. 그는 다른사람이 하지 않는 다른 가능한 공격점을 찾아내야 하고, 해결책을 찾을때까지 한 가지 문제를 가지고 씨름할 정신적 끈기를 가지고 있어야 한다. - P626

 하나의 정리를 예견하고 그것을 정립하였다면, 수학자는 정말 새로운 무언가를 알게 된 것인가? 그는 그 공리로부터 단지 자신이 공리 속에 포함시킨 것을 도출했을뿐이다. - P626

 수학자들은 공리를 선택하고, 실상 공리가 말하고 있는 것을 정교화한 것과 다름없는 정리들을 연역하느라 수세기를 보낸다. 철학자 비트겐슈타인의말로 표현하면, 수학이란 단지 장엄한 동어반복인 것이다.
그러나 얼마나 장엄한가! 글자 그대로 수학의 논리적 구조는 동어반복이라고 말하는 것이 옳다. - P627

운동에 대한 이러한 수학적 개념이 운동이라는 물리적 ...

운동에 대한 이러한 수학적 개념이 운동이라는 물리적 현상 개념을 만족시키는가? 우리의 직관으로 볼 때, 운동이란, 물체가 매번 다른 순간에 다른 지점에 있는 것 이상의 그 무엇이 아닌가? 여기서도 우리는 직관을 신뢰해도 좋다. - P553

초한수의 대수 또한 또 놀랄 만한 특징을 가지고 있다. 이러한 특징들 때문에 우리는 시간과 공간 개념에 존재하는 다른 어려움을 해결할 수가 있다. 먼저 (a)와 (b)라는 두 집합을 생각해보자.

(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
(b) 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,...

집합 (a)에 있는 각각의 수는 그 아래에 있는 집합 (b)의 수와 일대일로 대응하며, 그 역도 성립함이 분명하다. - P553

 다시 말하여 다음이 성립한다.

Ň_0-5=Ň_0(1)

식 (1) 이 제시하고 있는 재미있는 사실은 우리가 무한의 양에서 유한한 수를 빼도 여전히 동일하게 무한한 양을 가지게 된다는 점이다. - P554

우리는 무한하지 않은 유한수에 적용되는 논리에 비추어 사고하는 데에 익숙하기 때문이다. 그러나 이 식에 비논리적인 것은 전혀 없다. 유한수에 적용이 되는 성질이초한수에 적용될 필요가 없으며, 그 반대도 마찬가지이다. - P555

무한이라는 양에 대한 연구에 있어서 기본 개념은 집합, 즉 원소들의 집합이라는 개념이었다. 예를 들어 수들의 집합, 한 직선 위에 있는점들의 집합, 시간상의 순간들의 집합 등. 그러나 불행하게도 겉보기에이렇게 간단하고 기본적인 개념에는 우리가 아직까지 살펴보지 못한 어려움이 놓여 있었다. - P555

첫 번째 예는 고전적인 예이다. (중략) 바울은 티투스에게 쓴 편지에서 크레타 사람들에 대하여 다음과 같이 말한다. ‘그들 중 하나가 아니 심지어 그들의 예언자도, 크레타인들은 모두 거짓말쟁이이고, 사악한 짐승들이며 탐욕스럽다고 말한다. 이러한 관찰은 사실이다. 크레타인들에 대한 이러한 비방은 다음과 같이 좀더 흔한 방식으로 표현되기도 한다. ‘크레타인린 에피메니데스는 크세타인글이 모두 거짓말쟁이라고 말한다.‘ - P556

다음에는 정직한 마을 이발사의 딜레마를 살펴보자. 그 이발사는스스로 면도하는 사람들을 면도하지는 않지만, 자기 혼자 면도를 하지못하는 모든 사람을 번도해주었다고 자랑스럽게 광고하였다. 하루는그의 얼굴에 비누거품을 칠하다가 갑자기 자기가 스스로를 면도하는사람들 중 하나가 아닌가라는 질문이 떠올랐다. - P556

이제 1음절과 같은 모든 단어들, 그러니까 스스로를 표현하는 데에는 적용되지 않는 단어들을 이중구조적이라고 부르자. 그러면 어떤 단어든지 간에 x가 그 자체로 x 가 아닌 경우에 그 단어를 이중구조적이라고 부르게 될 것이다. 그러나 x가 바로 이중구조적이라는 단어일 경우를 생각해보자. 그렇다면, 우리는 만일 이중구조적이 그 자체적으토 이중구조적이 아닌 경우에 단어 ‘이중구조적‘이 ‘이중구조적‘이라고 말하게 될 것이다. - P557

이 모든 역설 중에는 명백한 집합들이 포함되어 있다. 크레타인들의 집합, 면도해야 할 사람들의 집합, 그리고 마지막 예에서 본 것처럼이중구조적인 단어들의 집합. 이들을 분석해보면 이들 집합에 관한 진술들은 모두 자기 모순적이다. - P557

 미적분학을 계속 사용하면서 그것이올바른 것인가에 대하여 논쟁을 하였던 것과 마찬가지로, 오늘날도 논쟁이 되고 있는 정리들이 계속 적용되고, 아주 유용한 것으로 입증되고있다. 미적분학의 역사는 또한, 마침내 그 어려움이 해결되었듯이, 현대의 것들도 해결되리라는 믿음을 준다는 점에서 수학자들에게 큰 격려가 된다. - P558

각 시대마다 바로 그 시대가 만든 것을 엄격히해야 할 어려움을 가지게 된다는 사실을 인정하게 되면서, 탁월한 미국수학자인 무어 (E.H. Moore)는 ‘어떤 이론이든 그 이론이 발표된 그 날까지만 진리이다‘ 라고 말하였다. 다른 수학자들은 이를 좀더 냉소적으로 표현하기도 하였다. - P558

그러나 많은 수학자들은 인간이 할 수 있는 유일하게 진정한 발전을 이루었음을 이해하게 되었다. 수학자는 통찰력과 직관이라는 행위로 창조한다. 그리고 논리는 직관이 정복한 것을 승인하는 것이다. 그것은 수학이 자신의 아이디어를 건강하고 강력하게 유지하기 위하여 실행하는 스스로의 건강법이기도 하다. - P558

 그러나 이 기둥은 좀더 깊은 곳에 있는, 아마도 좀 분명하지 않은 직관에 기반하고 있다. 비록 직관을 정밀한 사고로 대체하는 과정에서 수학이 궁극적으로 놓여 있는그 지반의 성질 자체를 변화시키지는 못하지만, 그 구조에 힘과 높이를 더해주는 것은 사실이다. - P559

우리는 오히려 가장 모호하고도 가장 해결되기 어려운 직관의 어둠을 해결하고자, 얼마나 정확한 사고가 적용되었는가에 초점을 맞추어야 할 것이다. 무한 집합에 적용된 것과 같이, 양의 개념을 정밀하게 만듦으로써, 칸토어는 아리스토텔레스 시대부터 근대에 이르기까지 일어났던 엄청난 양의 철학적 논쟁을 처리하여 주었던 것이다. - P559

무한수에 대한 이론은 19세기 비판적 사상가들이 창조한 것 중 하나에 불과하다. 그 내용이 이상하기는 하지만, 그 이론은 논리적이고도 유용한 것이다. - P559

28장, 방법론이면서 동시에 예술인 수학


근대적 발전을 이룩하면서, 순수수학이라는 학문은 이제 인간 정신 중에서 가장 독창적인 창조물임을 주장해도 될 듯하다.
-알프레드 노스 화이트헤드 - P618

 근대로 접어들면서 수학적 아이디어는 아주 놀라운 속도로 증가하였다. 그에 따라 수학의 영향력도그 수량과 깊이 그리고 복잡성이라는 측면에서 모두 엄청나게 증가하였다. 우리가 이제까지 살펴본 수학 분야 중 어느 하나를 선택해 아주 면밀히 연구하여 그 흔적을 찾아보면, 오늘날까지도 그 관련성이 계속이어져 있다는 사실과 그것이 확장되어 있음을 알 수 있을 것이다.  - P618

다만 이책의 주제를 뒷받침하기 위하여, 수학이 근대 문화 형성에 주도적 역할을 수행하였다는 것을 지적하는 것으로 대신했으면 한다. - P618

 그 옛날 그리스인들의 업적만 보더라도 근대 수학의 성격을 다소나마 예상할 수 있긴 하였지만, 그 이후의 세월과 특히 비유클리드 기하학의 탄생은 수학의 역할과 성격을 근본적으로 바꾸어놓았다. - P619

. 불행하게도 끝없이 연속되는정의들로부터 시작하지 않으면, 어떤 용어나 개념도 정의될 수 없다.
물론 무정의 용어들의 의미를 물리적 사례에 의해 암시할 수도 있다. - P619

 그러나 물리적 설명은 결코 수학의 일부가 아니다.
왜냐하면, 수학이란 논리적으로 독립적이며 자기충족적이기 때문이다. 물론 어떤 개념은 정의되지 않은 개념을 기초로 정의되기도 한다.
가령 원은 주어진 한 점으로부터 정해진 거리만큼 떨어져 있는 평면상의 모든 점들의 집합으로 정의하는데, 이는 점과 평면, 그리고 거리라는 용어를 사용하여 정의한 것이다. - P619

만일 어떤 용어들이 정의되지 않고, 우리가 습관적으로 이들 용어와함께 연상하는 물리적 그림이나 과정이 순수수학의 일부가 아니라면, 우리는 그것들에 대한 어떤 사실을 추론에 사용할 수 있을까? 그 답은 공리에서 찾을 수 있다. - P620