공리가 어디서 왔는가와는 상관없이 그 공리의 진술에서 수학은 시작한다. 경험은 19세기까지 공리의 유일한 원천이었다. 그러나 비유클리드 기하학 연구는 유클리드의 공리와는 다른 평행선 공리를 사용하고자 하는 욕망에서 시작된 것이었다. - P620
비록 비유클리드 기하학의 공리들이 보통의 인간 경험과는 상반되는 것처럼 보이기는 하지만, 이들도 물리적 세계에 적용되는 정리들을산출해내었다. 이러한 사실에 비추어보면, 공리들을 선택하는 데에는 상당한 자유가 있는 것처럼 보인다. - P620
일관성이라는 요구 조건은 최근 들어서 엄청난 중요성을 띠기 시작하였다. 수학자들이 자신들의 공리와 정리들이 절대적 진리라고 여겨오는 동안에는 논리에 실수가 있는 경우가 아니라면, 모순이 일어날 수도 있다는 생각을 꿈에도 가지지 않았다. - P621
공리들의 집합을 직접 검토하여 그것 중의 어느 하나라도 서로 모순되지 않는다는 것을 확인할 수 있어야 한다. 그러나 어떻게 그 공리들로부터 연역될 수 있는 수백 가지의 정리 중에서 어느 하나라도 다른 것과 모순되지 않는다는 것을 확신할 수 있겠는가? - P621
수학의 최근 연구대부분은 그 많은 수학 분야들의 일관성을 정립하는 방향으로 이루어지고 있다. 그러나 수학자들은 적어도 지금까지는 실수 체계에 대한 공리와 정리를 이루고 있는 수학적 체계가 일관된다는 것을 입증하려는노력을 피해왔다. 상황은 극도로 당혹스럽다. - P621
공리는 증거 없이 받아들이는 것이기 때문에 우리는 먼저 우리가 동의하고 있는 것을 정확히 인식하고 있어야 한다. 단순성은 이러한 이해를 보장해준다. 필수적이지는 않지만 수학 체계의공리들은 서로 독립적인 것이 더 좋다. 다시 말하여 하나의 공리, 혹은 다른 여러 개의 공리들 중에서 하나의 공리를 연역하는 것이 불가능해야 한다는 것이다. - P622
모든 필연적이며 바람직한 조건을 갖춘 공리 체계를 선택하였다고하였을 때, 수학자들은 어떤 정리를 증명해야 하는지를 어떻게 아는가? 그리고 어떻게 그것을 증명해 나가는가? - P622
정리들의 원천은 많다. 그 많은 원천 중에서도 경험은 가장 비옥한것이다. 물리적으로 실재하는 삼각형을 경험하게 되면, 수학적 삼각형에 대하여 있을 법한 많은 결론이 떠오른다. 그러고 나서 공리들로부터 연역을 하여 이들 결론을 수학의 정리로 정립하든가 아니면 폐기하든가 결정한다. - P622
실험실과 관측소 속에서 발생하는 과학적 문제와 평평한 표면 위에서 깊이를 묘사해야 하는 그런 예술적 문제가 정밀한 정리를 생각나게 하기도 한다. - P622
처음 n개의 홀수의 합은 n이 양의 정수이면 n의 제곱이 된다. 물론 이 가능한 정리는 위의 연산을 통해서 증명되지 못한다. 아니그 진술은 그런 연산으로 증명될 수 없다. 왜냐하면 어떤 사람도 죽을 수밖에 없기 때문에, 모든 n에 해당하는 결론을 정립하는 데에 필요한 연산을 무한대로 할 수 없다. 그러나 그러한 연산이 수학자들에게 무언가 연구할 거리를 제공해주는 것은 사실이다. - P623
우리는 이미 유클리드 평행선공리에 포함된 주장을 더 납득 가능한 공리들로부터 연역할 수 있는가라는 순수하게 논리적인 문제로부터 비유클리드 기하학이 탄생하게 되었다는 것을 알고 있다. 일단 그러한 기하학의 아이디어를 파악하게 되면, 유클리드 기하학에서 주장하였던 정리와 유사한 것을 찾음으로써 수많은 정리를 얻을 수 있다. - P623
수학자들이 정리에 대한 암시를 어떻게 확보하는지에 대한 몇 가지예를 들어보았지만, 이것이 전부는 아니다. 하나의 정리가 발견될 때까지 작용하는 순수한 우연, 추측, 실수와 같은, 많은 뜻밖의 원천들을 더한다고 하더라도 여전히 만들어낼 수 있는 정리의 가장 귀중한 원천은아직 언급하지 않았다. 가장 중요한 원천은 바로 상상력과 직관, 그리고 창조적인 천재의 통찰력이다. - P624
무엇을 증명해야 하는가를 아는 것은 어떻게 증명해야 하는가를 아는 것과 필연적인 관련을 맺고 있다. 수학자는 어떤 상황 속에서 자신이 알고 있는 모든 사실을 검토함으로써 특정한 정리를 증명하는 것이가능한가 아닌가를 확신할 수 있다. 그러나 이 정리를 연역적으로 증명하기 전에는 그것을 주장하거나 적용할 수 없다. - P625
모든 짝수는 두 소수의 합이라는 진술은 추측을 통하여 그 진리성이 명백하다고 판단한 훌륭한 사례이다. 소수라는 것은 단지 자기 자신과 1로만 나누어지는 정수라는 것을 상기하자. 그러므로 13은 소수가되지만 9 는 아니다. - P625
수학자들은 글자 그대로 수천 년 동안 그런 증명을 얻고자 연구하였다. ‘수학적 정확성‘과 ‘수학적 정밀함‘이라는 어구를 일상적으로 사용할 때에, 우리는 이 가차 없는 확실성에 대한 추구에 경의를 표하는 것이다. - P626
무엇을 증명해야 하는가를 찾을 때와 마찬가지로 증명방법을 찾기 위해서수학자는 상상력과 통찰력, 그리고 창의력을 사용해야 한다. 그는 다른사람이 하지 않는 다른 가능한 공격점을 찾아내야 하고, 해결책을 찾을때까지 한 가지 문제를 가지고 씨름할 정신적 끈기를 가지고 있어야 한다. - P626
하나의 정리를 예견하고 그것을 정립하였다면, 수학자는 정말 새로운 무언가를 알게 된 것인가? 그는 그 공리로부터 단지 자신이 공리 속에 포함시킨 것을 도출했을뿐이다. - P626
수학자들은 공리를 선택하고, 실상 공리가 말하고 있는 것을 정교화한 것과 다름없는 정리들을 연역하느라 수세기를 보낸다. 철학자 비트겐슈타인의말로 표현하면, 수학이란 단지 장엄한 동어반복인 것이다.
그러나 얼마나 장엄한가! 글자 그대로 수학의 논리적 구조는 동어반복이라고 말하는 것이 옳다. - P627
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