티보 다무르 (Thibault Damour) 프랑스...

티보 다무르 (Thibault Damour)

프랑스 고등과학연구소
앨버트 아인슈타인 메달
파웰 메달 - P57

화자(話)가 잃어버린 시간을 되찾은 기쁨을 맛본 것은 게르망트 호텔 마당의 울퉁불퉁한 포석을밟는 순간이었다. 나도 그와 비슷한 경험을 한 적이 있다. 1989년 어느 화창한 가을날, 이제 막 전임교수가 된 나는 샤르트르가 35번지의 포석을 밟았다. 건물 입구 대리석에는 ‘고등과학연구소‘라는금색 글자가 번쩍이고 있었다. - P57

 나는 존 A. 휠러 (JohnArchibald Wheeler)의 세미나에 참석하려던 참이었다. 세미나가 열렸던 음악관의 유리벽 너머로 봄날의 정원이 다시 펼쳐진다. 휠러가 커다란 종이를한 장씩 넘기는 소리도 들린다. 그 종이에는 그가여러 색깔의 사인펜을 사용해 정성껏 쓰고 그려 준비한 발표 내용이 들어 있었다. - P57

 스물셋 청년이었던내게 그 세미나는 여러 가지 이유로 중요했다. 우선 위대한 물리학자의 생각과 그 인물 자체를 만날 수 있다는 것은 놀라운 경험이었다. - P57

마지막 이유는 프랑스 고등사범학교를 졸업하고 프린스턴대학의 제인 엘리자록터 박사후과정 장학금을 받게 된 내가 휠러에게 1974~1975학년도에 중력과 상대성이론을 연구하는 그의 연구팀에 받아달라고 요청했기 때문이다. - P58

두 번째 오버랩. 다시 15년 앞으로 전임교수로 임용된 뒤 고등과학연구소 구내식당에서 하는 첫 점심식사. 그렇지 않아도 수학에 문외한인데, 내로라하는 학자들 사이에 앉아 있으려니 영 생뚱맞다. - P58

‘존스다항식‘에 대해서는 아무것도 모른다고 고백해야 할까? 정신적으로나 신체적으로나 모난 데라곤 없는 본 존스는 나를 편안하게 대해주며 이해할수 있도록 설명해줄까 물었다.  - P59

그때 내가 깨달은 것은 두 가지였다. 첫째, 다양한 분야의 최고 전문가들이 자유롭고 화기애애한 분위기에서 밥을 먹으며, 차를 마시며, 그림을 감상하며 등등) 교류를 나누게 하는 고등과학연구소의 매우 독특한 구조는 글을 통해 매우 북편하고 비효울적인 - P59

폴 올리비에 드에 (Paul-Olivier Dehaye)
옥스퍼드 머튼 대학 - P46

"연구 주제가 뭡니까?"
"어떻게 거기에 관심을 가지게 됐나요?"
"그걸 어디에 써먹죠?"
"그 러시아 사람은 왜 상을 거부했답니까?" - P46

수학자라면 속사포처럼 쏟아지는 이런 질문에 자주 부딪힐 것이다. 그것은 일반 사람들이 수학자의 연구에 보이는 호기심 반 존경심 반의 증거라고할 수 있다. - P46

어쩌면 독특한 수학자들이 많아서 그러는지도모른다. 아니면 수학자들이 쓰는 이국적 언어 때문일지도, 혹은 수학을 학문의 최고봉에 앉히는 시각때문일지도 모르겠다. - P46

수학은 두 사람이 하는 게임이다. 한 사람은 열광하고 나머지 한 사람은 주저한다. 열광적인 사람이 흥분하는 이유는 그가 안다는 것을 알기 때문이다. 주저하는 사람은 이의를 제기할 방법을 모두 동원할 때까지 망설일 것이다. - P50

그러나 수학은 두 사람의 대결이 아니다. 그것은 하나의 목표를 향한 공동의 노력이다. 그 목표를 달성하기 어렵기 때문에 흠잡을 데 없는 철저함이 있어야만 그곳에 닿을 수 있다. - P51

알리 샴세딘(Ali Chamseddine)
베이루트아메리칸 대학 - P115

빈곤과 보건 문제로 골머리를 앓는 개발도상국정부는 연구를 할 여유도 없고 투자를 해야겠다는생각도 없다. 가난한 나라에서 태어나서 능력을 발휘하지 못하는 천재들이 얼마나 많으며, 그로 인한손실은 또 얼마나 될까 하는 생각이 들지 않을 수 없다. - P115

연구소를 지원해야 한다는 생각은 고대 사회로 거슬러 올라가는데, 그것은 수학과 그 밖에 다른 과학의 발전에 매우 중요한 역할을 했다.  - P115

수학자들은 그리스 수학을 번역했을 뿐만 아니라 대수학과 같이 그들이 발견한 것도 첨가했다. - P115

또 재능이란 키워주지 않으면 꽃필 수 없는 것이라는 점도 충분히 증명되었다. 따라서 풍요를 누리는 사회는 개발도상국을 도와 재능 있는 인재를가려내고 양성하며 그들에게 문명의 발전에 기여할 수 있는 수단을 제공해야 할 도덕적 의무가 있다. - P116

정부가 기초연구에 투자하고 거둬들이는 비용이 천문학적이라는 것은 간단한 계산으로도 알 수있다. 과학적 발견으로 얻을 수 있는 이익에서 아주 적은 부분이라도 투자를 한다면 오랜 기간 동안수학자들과 그 밖에 다른 분야의 연구자들이 연구에 몰두할 수 있을 것이다. - P116

혹시 ‘우리가 살고 있는 세상이 컴퓨터 시뮬레이션은 ...

혹시 ‘우리가 살고 있는 세상이 컴퓨터 시뮬레이션은 아닐까?‘ 혹은
‘우리가 살고 있는 이 현실 자체가 이미 다른 사람의 상상은 아닐까? 하는 생각을 해본 경험이 있으신가요?  - P87

이 질문의 답을 찾기 위해서는 가장 먼저 ‘산다는 것은 무엇일까?‘라는 또 다른 질문을 던져야 합니다. - P87

출생은 우리가 선택할 수도 바꿀 수도 없는 우연의 결과인 것입니다. 결국 우리가 알고 있는 현실은 ‘과학적 현실이 있고 ‘인간이 느끼는 현실‘이 있고 우리 ‘인간의 삶이라는 현실‘이 있습니다. - P88

과연 이렇게 규정된 현실이 전부일까요? - P88

 그리고 이런 의문을 떠올립니다. ‘도대체 저것은 무엇일까? 어떻게 떨어지지 않고 하늘에 있을까?‘ 하늘이 늘 궁금했던 인간은 오래전부터 하늘이 무엇인지 파악하기 위해 노력해 왔습니다. - P88

 지금의 시각에서는 말도 안 되는 상상이지만 수천 년 전의 사람들은 이렇게 해서라도 자신들의호기심을 풀고 싶어 했습니다. 이처럼 우리가 살아온 세상은 다양한 문명만큼 다양한 생각과 호기심을 가지고 있습니다. - P90

 그런데 현대 과학은 조금 다른 식으로 접근합니다. 우주라는 것은 누군가의 의도로 만들어진 것이 아니라 138억 년 전에 갑자기 무에서 만들어졌다는 것입니다. 그리고138억 년 전 우주가 창조되었을 때 우주 대폭발인 빅뱅의 근접을 여전히 볼 수 있다는 것입니다. - P90

우리가 바라보는 별은 우주 공간의 가스나 먼지가 뭉친 성운에서 만들어지는데 우연히별들이 탄생하는 장면을 현대과학이 촬영했습니다. 그리고 우리는 별이라는 것이 성운에서 뾰족뾰족하게 튀어나오듯이 만들어진다는 새로운 사실을 알게 되었습니다. - P91

 즉 수천억개의 은하계 중 하나인 우리의 ‘은하수‘, 그 안에 있는 수천억 개의별 중 하나인 ‘태양, 그 태양계에서 세번째 행성인 ‘지구‘, 지구의한구석인 ‘대한민국, 대한민국의 한구석인 ‘어딘가에서 우리는 각자의 삶을 살고 있는 것입니다. 이것이 팩트입니다. - P92

즉 인간은 우주에 비해 아주 미미한 존재이지만 동시에 위대한 존재이기도 한 것입니다. - P92

미국의 천문학자 칼 세이건Carl Sagan이 쓴 <코스모스>에는 재미있는 그림이 하나 나옵니다. ‘창백한 푸른 점 Pale Blue Dot‘이라 이름 붙인 그것은 바로 우리가 살고 있는 지구입니다. - P92

우리가 알고 있는 현실이 전부가 아닐 수도 있음을 경험할 수 있는 것이 바로 꿈입니다. 인간은 매일 밤 평균 5~6번의 꿈을 꿉니다. 그렇다면 꿈과 현실의 차이는 무엇일까요? 가장 핵심적인 차이는 현실은 연결이 되지만 꿈은 연결되지 않는다는 것입니다. - P94

인과관계가 없기 때문입니다. 내가 어떻게 서울에서 뉴욕까지 갔는지, 공항에 가서 비행기를 타는 장면 장면을 연결해주는 인과관계가 존재하지 않는다면 현실일 가능성은 극히 낮습니다. - P95

그런 의미에서 과학적이고 철학적으로 꿈과 현실에 관해질문하기 시작한 사람이 바로 플라톤Plato입니다. 그의 ‘동굴의 비유는 매우 유명합니다. 어두운 동굴 속에서 묶인 채 평생을 살아온 죄수들이 볼 수 있는 것은 진짜 현실이 아니라 바깥세상에 존재하는 물체들의 그림자라는 것입니다. - P95

그리스 철학에서 중요하게 다룬 문제 중 하나가 보편성입니다.
보편성이라는 것은 무엇일까요? 우리는 분명히 ‘고양이‘라는 보편적인 단어를 가지고 있습니다. 그런데 고양이들은 저마다 다르게 생겼습니다. 이렇게 다르게 생긴 녀석들인데 왜 우리는 통틀어 고양이라고 부르는 걸까요? - P96

‘고양이는 털이 짧다고 정의하기엔 페르시안 고양이처럼 털이 긴종류가 존재합니다. ‘고양이는 털이 길 수도 있다‘라고 정의하면 아예털이 없는 스핑크스 고양이가 방해를 합니다. - P96

우리가 다르게 생긴 강아지들과 다르게 생긴 고양이들을 각자같은 물체라고 이해할 수 있는 것은 우리 눈에 보이는 것들이 진짜 물체가 아니고 ‘이데아 세상‘이라는 완벽한 세상에 존재하는 완벽한 그림자라는 것입니다. 그의 말을 들은 많은 사람들은 우리가 현실과 그림자를 구별하지 못할 리 없다며 비판했습니다. 그때 플라톤이 동굴의 비유를 들면서 태어나면서부터 그림자만 보고 살면 그것이 그림자인지 진짜 물체인지 모를 수 있다고 답합니다. - P96

동굴 예제가 재미있는 것은 동굴 안에 잡혀 있던 죄수가 우연히 족쇄를 풀고 밖으로 나와 처음 태양을 보게 되면서부터 입니다. 그가 볼 때는 태양이 진실입니다. 이때 두 가지 상황이 벌어질 수 있습니다. 첫번째는 진실을 보여줘도 햇살이 너무 눈부셔서 진짜 세상을 보지 못하는 것입니다. 
(중략)
두 번째는 시간이 지나서 세상의 진실, 현실을 알아보고다시 동굴 속 죄수들에게 내려와 동굴 밖 진짜 세상에 관해 설명하는 것입니다. - P97

결국 우리가 왜곡된 세상에서 태어나서 자라다가 현실을 알아볼 기회를 맞이해도 그것이 현실이란 것을 못 알아보거나, 나 자신이 현실을 깨달아도 타인이 나를 이해하지 못한다는 것입니다. - P97

진짜 세상이 어떻게 생겼는지 알 수 없는 이유 중 하나는 저마다 느끼는 세상이 완전히 다르기 때문입니다. 
(중략)
개와 고양이는 가까운 것은 매우 선명하게, 멀리 있는 것은 흐리게 인식합니다. 쥐의 눈에 보이는 세상은 온통 흑백입니다. - P98

이렇듯 각자 다른것을 보고 자란 인간의 뇌는 현실을 절대적으로 보지 않고 상대적으로 봅니다. 주변에 큰 것이 있으면 다른 것이 작게 보이고, 주변에 작은 것이 있으면 다른 것이 크게 보입니다. - P99

 기술이 발달하고 경제가 발전하면서 우리 모두가 더 잘살 수는 있지만 행복이라는 단어 자체가 상대성을 갖고 있는 이상 모두가 행복할 수는 없습니다. - P99

행복도 마찬가지입니다. 결국 우리는어쩔 수 없이 나의 행복을 위해서는 나보다 잘난 사람과의 비교를멈춰야 합니다. 그들과 비교하면 내가 아무리 잘나가더라도 불행할수밖에 없습니다. - P99

현대사회의 가장 큰 문제 중 하나는 인터넷의 발달로 전 세계에서 일어나는 모든 일을 알 수 있다는 것입니다. 그만큼 비교할 대상이 많아지고 우리는 불행으로 가는 지름길에 빠집니다. - P99

내가 알고 있는 것들

우리의 뇌는 눈에 들어오는 정보를 그대로 처리하지 않고 차이값만을 계산에 있습니다. 우리 현실은 모든 정보를 읽어야 할 만큼 빠르게 변하지 않습니다. 또한 모든 정보를 다 받아들이면 뇌의 용량은 금세 다 차버립니다. - P100

아침에 일어나 씻고, 출근해서 일한 뒤, 집에 와서 잠자리에 듭니다. 아침, 점심, 저녁을 먹긴 했지만 무엇을 먹었는지 자세히 기억하지 않습니다. 똑같은 일이 반복되기 때문에 뇌의 입장에선 입력할 가치가 없는 정보라고 해석한 것입니다. - P100

같은 일만 반복하면 기억에 남는 것이 없습니다. 올해 2월에 무슨 일을 했을까요? 3년 전에는 무슨 일이 있었을까요? 바로 기억해내지 못합니다. 절대적인 시간보다 기억에 남을 만한 일이 없다면뇌가 봤을 때는 가치 없는 시간을 보낸 것입니다.  - P101

노벨물리학상을 받은 물리학자 리처드 파인만은 1974년 캘리포니야 대학 졸업연설에서 화물숭배(carge cult)에 관해 이야기했습니다.
(중략)
 섬에 살던 원주민들은 하루에도 수차례씩 오가는 비행기를 보고 숲속으로 도망쳤습니다. - P102

 새롭고 신기한 물건을 얻고 싶었던 원주민들은 비슷하게 활주로를 만들고 나무로 비행기를 만들고 오두막을 만들어 관제탑을세웠으며, 대나무로 안테나를 만드는 등 자신들이 보았던 비행장의 모든 것을 흉내 냈습니다. - P102

파이만은 이 같은 원주민들의 행동을 가리켜 자신이 하는 행위의 진전한 의미를 모르는 채 행동한다면 흉내에 불과하다고 말했습나다.  - P102

그러면서 학생들에게 겉아로 보기에는 과학연구 방식을 따르는 것처럼 보여도 과학적 탐구 원칙을 제대로 갖추지 못하거나 스스로를 속이는 연구를 하고 있다면 그것은 과학적으로 아무런 의미도 갖지 못한다고 했습니다. 스스로를 속이지 않고 성실하게 과학적 탐구를 이어나가는 과학자의 의무를 지킬 것을 당부한 것입니다. - P103

안타깝게도 화물 숭배는 대한민국 교육의 현실이기도 합니다. 학생들은 문제의 의미를 이해하기보다 수식만 외워서 남들보다 더 빨리 문제를 푸는 모방에만 반복하고 있습니다. - P103

결국 우리는 이 세상을 세 가지로 나눠볼 수 있습니다 알고 있는 것, 모른다는 사실을 아는 것, 그리고 무엇을 모르는지도 모르는 것입니다. - P103

이 생각은 꼬리를 물고 ‘그렇다면 내가 알고 있는 것 중 진실은 무엇일까?‘라는 의문으로 이어졌습니다. 그러고는 상상 속에서 실힘을 합니다. 나를 둘러싼 수많은 악마가 왜곡된 거짓을 내 머릿속에 집어넣어서 내가 지금 믿고 있는 것들이 모두 거짓일지도 모른다고 생각했습니다. - P104

이건 어떻게 된 거지?

이건 어떻게 된 거지?

소학교 시절 읽던 책. 그땐 아무 생각 없이 읽었지...

소학교 시절 읽던 책.
그땐 아무 생각 없이 읽었지만, 지금은 조소만 나온다. 입문서 혹은 교양서적과 거리가 먼 책이지만, 수학에 담을 쌓은 사람들에게 좋은 책이란 생각도 든다.

 그들은 모두 나쁜 범죄를 저질러 사형을당하게 되었다. 그러나 사형수의 마지막 소원을 들어 주는 관습에 따라서 살려 달라는 소원을 제외하고는 그들의 소원을 한 가지씩 들어주기로 하였다. - P13

먼저, 수학 교수에게 소원이 무엇인지 물었다. 그러자

"나의 마지막 소원은 제자인 저 학생에게 마지막으로 수학을 강의하는 것입니다."

라고 했고, 사형 집행자들은 그 소원을 들어 주기로 했다. - P14

 학생은 잠시 생각에 빠지더니

"나의 마지막 소원은 저 교수님이 수학을 강의하기 전에 나를 사형시켜 주는 것이오."

라고 했다. 그 소원도 들어 주어야만 했으므로 사형 집행자들은 고민에 빠졌다.  - P14

호머 시대의 전설 <율리시스>에는 수를 세는 방법에 관한 다음과 같은 이야기가 전해진다.

"율리시스가 여행 중에 외눈박이 거인 폴리페모스를 장님으로 만들고 키클로프스의 땅을 떠났다. 그 뒤 이 불쌍한 거인은 아침마다 자신의 동굴 입구에 앉아서 양들이 한 마리씩 동굴에서 나올 때마다 조약돌을 한 개씩 동굴 밖에 놓았고, 저녁에 양들이 돌아오면 한 개씩 동굴 안으로 들여 놓았다."

사실, 이 이야기는 수를 세는 방법으로 일대일 대응 원리의 개념을 이용하고 있다는 최초의 기록이다. - P16

또한, 영어 단어에 ‘to chalk one up‘이란 것이 있다. 이것은 ‘기록하다‘라는 뜻으로 옛날 술집 주인이 손님들이 마시는 술잔의 수를 석판 위에 분필로 표시한 데서 유래한 것이다. - P17

‘노아의 방주‘ 이야기에서 노아는어떻게 49일이 지났다는 것을 알 수 있었을까? 그것은 하루가지날 때마다 그의 아내가 긴 끈으로 한 개씩 매듭 지음으로써 날짜를 정확하게 계산한 덕분이었다. - P18

따라서 <성경>에 나오는 대홍수는 무려 350,000배 이상이나 과장된 것이다. 왜냐하면 40일 동안 비가 25mm 내렸으므로 하룻동안에 내린 비의 양은 평균 0.625mm이고, 이 양은 내려도 별로 표가 나지 않는 양이다.  - P20

어쨌든 일대일 대응의 개념은 아주 옛날부터 수를 세는 기초 개념으로 인식되어 왔으며, 지금도 아이들이 자기의 생일을달력에 표시해 놓고 생일이 될 때까지 하루하루를 지워가는 것을 볼 수 있는데, 이것이 바로 일대일 대응의 원리인 것이다. - P21

러셀(Bertrand Russell)은 ‘수‘에 관하여 다음과 같은 말을 하였다.

"인류가 닭 두 마리의 ‘2‘와 이틀의 ‘2‘를 같은 것으로 이해하기까지는 수천 년이 걸렸다."

이 말은 사실이다. - P22

소리로써 수를 나타내고 셈을 했던 예로 오스트레일리아와뉴기니아 사이에 사는 파푸아(Papua) 원주민들의 수를 들 수있는데, 그들이 사용한 수사는 이렇다.


우라편 (Urapun) : 1 오코사(Okosa) : 2

그들은 이 두 수사를 사용하여
3 : 오코사 우라편
4: 오코사 오코사
5: 오코사 오코사 우라펀
 6: 오코사 오코사 오코사

와 같이 수를 세고 셈을 하였다. - P23

이런 과정을 거쳐 발전한 수 체계 가운데 고대의 것이 아직도 사용되는 것들로는 12를 기본으로 하는 시간의 계산과 1년을 열두 달로 나누는 12진법, 각도와 시간에서 1시간을 60분으로, 또 1분을 60초로 나누는 60진법, 독일 농부들의 농사 달력에 쓰였던 5 진법 등이 있다. - P26

사실 60진법은 고대 바빌로니아에서 쓰였는데, 유럽에서는17세기까지만 해도 흔히 쓰였다. 그런데 그들은 왜 간편하고자연스러운 10진법을 외면하고 까다롭고 부자연스러운 60진법을 사용하였을까?  - P27

현실에서는 어떤 수를 2, 3, 4, 5 등의 수로 나눌 필요가 많이 발생한다.
지금도 4로 나누는 것을 쿼터(quarter)라 하여 많이 사용하고 있다. 4는 10을 나눌 수 없으나 60을 나눌 수는 있으므로 10진법보다는 60진법이 소수의 복잡한 계산을 피하는 데 유용하다. - P27

오늘날 우리가 사용하는 수의 단위는 중국네서 비롯된 것이다.

(중략)

이 가운데 항하사에서 항하란 인도의 갠지스 강을 한자로 표현한 것이며 항하사는 ‘항하 강의 모래알의 수‘를 나타낸다. - P29

불가사의는 ‘상식으로는 도저히 생각할 수 없는 것‘ 또는 ‘이상한 것‘을 의미한다. - P30

한편, 잗은 수의 명칭은 어떻게 썼는지를 보자.

(중략)

이 가운데 대부분은 불경에서 비롯된 것들이다. 진과 애는둘 다 먼지를 뜻하는 말로 인도에서는 가장 적은 양을 나타낸다고 한다. - P30

10진법에 의한 오늘날의 수 표현 방법은 세 자리씩 한묶음으로 하여 콤마(,)를 찍어 표시한다. 사실 이 방법은 서양인들의 명수법이며 천 단위마다 새로운 수사를 사용하는 ‘천진법‘을 사용하고 있어 우리에게는 여간 불편한 게 아니다. - P31

12,345,678,912

수에 관한 전문가가 아닌 이상, 이 수를 읽으려면 일 단위부터 거꾸로 단위를 계산한 다음에 다시 처음부터 읽어야 할 것이다. - P32

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‘일백이십삼억 사천오백육십칠만 팔천구백십이‘


어떤가! 네 자리씩 콤마를 찍어 수를 표현하는 것이 우리의 정서에는 더 맞고 편리한 것이다. - P32

"자네 때문에 수업에 지장이 많으니 이 시간 이후부터 자네에게 는 한 시간에 단지 두 가지 질문만을 허락하겠네."

그러자 그 학생은

"단지 두 가지 질문밖에는 할 수 없습니까?"

하고 물었고, 선생님은 대답했다.

"이제 한 가지 질문만 남았네." - P34

이러한 사실들을 기록하고 보관하는 방법으로 초기 중국과 인도에서는 나무껍질과 대나무 등을 썼는데 이것들은 모두 부패하기 쉬운 것들이었다. 반면 건조한 바빌로니아와 이집트에서는 구운 점토판이나 파피루스(papyrus)에 기록했기 때문에 이지역의 유물은 현재까지도 상당히 많은 양이 남아 있다. 이러한 사실 때문에 고대 수학사 연구의 대부분이 바빌로니아와 이집트에 치우쳐 있다. - P35

기하학은 첫번째 단계인 잠재적 기하학에서 두 번째 단계인 ‘실험적 기하학‘(experimental geometry)으로 발전하였는데,
실험적 기하학은 구체적인 기하학적 관계들의 모임으로부터 일반적이고 추상적인 관계를 추측했던 기하학이다. - P36

앞에서 말했던 것과 같이 그로부터 수학에 소위 ‘왜‘라고 하는 논증수학이 시작되었기 때문이다. 논증수학을 한마디로 표현하면 수학적으로
‘다툴 여지가 없이 명백한 결론‘만이 수학의 결론이라는 것이다. - P39

 따라서 이 결과의 가치를 그것들의내용으로 평가하기보다는 탈레스가 직관이나 실험 대신에 엄격한 논리적 추론으로 입증했다는 사실에 두어야 할 것이다. 여기서 네 번째 결과인

"반원에 내접하는 각은 직각이다."

를 증명해 보겠다.  - P40

피타고라스의 가장 큰 업적은 아마도 앞에서 이야기한 피타고라스의 정리일 것이다. 피타고라스는 이 정리를 발견하고는아주 자랑스럽게 여겨 이것이 신의 축복 속에서 태어났다고 생각하여 신에게 소 100마리를 바쳤다고 전해지고 있다. - P43

피타고라스 시대 이래로 피타고라스 정리에 대한 수많은증명이 나왔으며, 루미스(E.S. Loomis)는 <피타고라스의 정리>라는 책의 제 2판에서 이 정리에 대한 370개의 증명을 모아 분류한 바 있다. - P43

직각 삼각형에 대한 피타고라스의정리가 ‘만물의 근원은정수‘라는 피타고라스 학파의 중심 사상을 무너뜨렸는데, 그것은 이 정리를 이용하여 소위 ‘무리수‘(irrational number)를 찾았기 때문이다. - P44

아이러니칼한 것은 무리수의 존재를 숨기려했던 피타고라스 학파가 무리수인 황금비를 그들의 상징으로 썼다는 것이다. - P46

만물의 근원은 정수라는 피타고라스 학파의 주장에서 알수 있듯이 그들은 ‘수‘를 매우 신성시했다. 따라서 산술에서도그들은 여러가지 종류의 수들을 발견하였다. 그것에는 ‘친화수‘ ‘완전수‘ ‘부족수‘ ‘과잉수‘ ‘형상수‘ 등이 있다.  - P47

수학의 역사를 연구하는 사람 중에는 친화수와 완전수가피타고라스 학파에 의하여 만들어졌다고 주장하는 쪽과 그렇지않다고 주장하는 쪽으로 나뉘지만 형상수의 경우는 피타고라스 학파에 의하여 만들어졌다는데 모두 동의한다. - P48

공학자, 물리학자, 수학자 이렇게 셋이서 여행을 하다가 호텔에 머물기 되었다.
(중략)
그때 길 건거편 건물에 불이 났다.
(중략)
수학자도 또 한 불이 난 것을 보았는데 그는 한참을 생각하더니, 사람들에게 다음과 같이 말하고 자기의 침대로 돌아갔다.
"걱정하지 마십시오 저 불은 반드시 끌 수 있는 방법이 있습니다." - P51

그리스인들이 정치와 학문에 전념하게 됨에 따라서, ‘소피스트‘(Sophist)라고 부르는 직업적인 교직자들의 부류가 나타났다. 이들은 처음에는 ‘현명한 사람들‘이라고 부르다가, 차차 변론술을 주로 따지게 되면서 ‘궤변가‘로 바뀌었다. - P52

 지금도 미국이나 유럽에서 박사학위를 했을 때 ‘Doctor of Philosophy‘(Ph.D.)를 주는 것은 이와 같은 까닭에서이다. - P53

‘3대 작도 문제‘는 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 가지고 임의의 각을 삼등분하는 것, 원과 같은 넓이의 정사각형을 작도하는 것, 정육면체의 부피의 두 배를 갖는 정육면체를 작도하는 것을 말한다. - P53

그렇다면 정확한 논리학 또는 논증학과 궤변론의 차이점은 무엇일까?
먼저, 논리학이란 한마디로 ‘사유(思惟)의 형식과 법칙을 연구하는 과학‘이라고 정의할 수 있다. 
(중략)
 반면에 궤변론은 여러 가지 방법으로 무의식적으로 범하는 논리적 오류가 아닌 고의적으로 범하는 논리적오류를 이용하여 자신의 잘못된 결론을 주장하는 것이라 할수 있으며 
(중략) - P56

우리 일상 생활에서도 궤변은 많이 존재한다. 이러한 궤변에 대응하는 가장 좋은 방법은 ‘실천을 통한 진리의 검증‘이다. - P57

물론 이 세 가지는 모두 작도 불가능이라는 것이이미 증명되어 있다. 소위 3대 작도 문제는 다음과 같다.

1. 임의의 각을 삼등분하라.
2. 주어진 원과 같은 넓이의 정사각형을 작도하라.
3. 주어진 정육면체의 부피의 두 배가 되는 부피를 갖는 정육면체를 작도하라. - P58

사람들은 아폴로 신에게 영험을 얻기 위하여 열심히 기도하였다. 아폴로 신은 그들의 정성에 감복하여 다음과 같은 계시를 내렸다.

"나의 신전 앞에 놓여 있는 정육면체의 제단은 그 모양은 좋으나 크기가 조화롭지 못하다. 따라서 이 제단의 모양은 그대로 두고 부피가 정확하게 두 배인 정육면체로 바꾸어라. 그러면 재앙은 사라지고 영원한 조화가 있으리라." - P59

"당신들은 참으로 어리석군요. 각 변의 길이를 두 배로 하면 부피는 여덟 배가 되어 신의 노여움이 증가할 뿐이오" - P59

그러면 부피를 두 배로 하려면 실제로 각 변의 길이를 얼마만큼 늘려야 할까? 바로 이것이 ‘델피의 문제‘라고 불리는 장육면체의 배적에 관한 문제이다. - P59

3대 작도문제를 알아보기 위하여 먼저 "자와 컴퍼스만을사용하여 작도하라"는 의미를 살펴보자.
자와 컴퍼스만으로 작도하여 얻어지는 점의 위치는 원과원, 원과 직선, 직선과 직선의 교차점밖에는 나타나지 않는다.
또 선분의 길이는 위와 같은 방법으로 얻어지는 점끼리의 최단거리이다. - P60

임의의 각을 삼등분하는 작도가 불가능하다고 해서 어떠한 각도 삼등분하는 작도가 불가능하다는 것은 아니다. 가령,
직각을 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 삼등분하는 것은 아주 간단하다. - P63

그래서 사람들이 동시에 소리를 질렀다.

"도와주세요. 우리는 길을 잃었습니다."

약 30분이 지나자 그 사람의 말대로 멀리서 누군가의 목소리가들려왔다.

"여보세요. 당신들은 길을 잃었습니다."

그리고는 아무런 대답이 없었다. 그러자 길을 잃은 사람 중 한 사람이 말했다.

"저 사람은 분명히 수학자입니다."

다른 사람들이 어떻게 그가 수학자인지 알 수 있느냐 묻자, 그는

"그것은 세 가지 이유 때문입니다. 첫째, 그는 우리가 질문한 것을 한참 동안 생각한 후에 대답했습니다. 둘째 그의 대답은 맞습니다. 셋째 그의 대답은 지금 우리에게 전혀 필요없는 답입니다." - P66

읽다가 말다가 읽다가 말다가. 안 좋은 습관인데, ...

읽다가 말다가 읽다가 말다가.
안 좋은 습관인데, 안 고쳐진다.

피고인1. 박재호. 특수공무집행방해치사 적용법조 형법144조2항.

피고인2. 김수만. 폭행치사. 적용법조 형법 262조. - P45

나는 법원에 제출할 의견서의 초안을 잡아보기 위해 워드프로세서를 열었다가 다시 공소장을 보았고, 다시 워드프로세서로 돌아왔다. 커서는 계속 깜빡였고 자리를 뜨지 않았다. 박재호는 물었다. 정말로 그게 답니까? 나는 그 말을 의견서 첫 줄에 적을 뻔했다. - P46

 이준형, 어감과는 달리 여자였고, 목소리가 젊고 또랑또랑했다. 마음에 들었다. 그사실은 내가 마침 점심시간이니 사무실 앞 식당에서 식사를하면서 대화하자고 제안하는 데 영향을 줬다. 나는 법원 근처의 ‘올리브 퀼트‘라는 양식당에서 그녀를 만났고, 늘 그렇게 먹는 척 미디엄 굽기의 등심 스테이크를 주문하고 후식으로는 커피를 골랐다. 그녀는 평범한 토마토소스 파스타를 시켰다. - P46

종업원이 그릇들을 가져가자 그녀는 A4용지 묶음을 꺼냈다.
"제가 지금까지 조사한 바를 정리한 거예요. 대부분 아는내용이겠지만 한번 읽어보세요. 이 사건에는 문제가 있어요."
나는 그녀의 서류를 받았다.
"사람이 두 명이나 죽었다면 ‘문제‘라는 표현으론 부족하지요."
"피해자는 경찰이 자기 아들을 죽였다고 주장하고 있죠?" - P47

"네. 박재호를 피고인이라 부르는 게 입에 붙지 않네요. 그게 이 사건에서 이상한 점이고요. 전 지금까지 강제철거를 세건 취재했어요. 경찰정보가 이렇게 폐쇄적인 건 처음이에요.
물론 사람이 죽은 것도 처음이지만, 철거당일 진압에 관계한그 누구와도 인터뷰를 할 수 없었어요. 언론과의 접촉을 철저히 막고 있거든요. 기자가 사건에 접근하기 곤란하다면 그건 많은 걸 뜻해요. 보통은 심각한 문제가 있단 걸 뜻하죠." - P47

"철거 당일에 한 시민이 현장을 녹화한 VCR 봤나요?"
난 그 질문에 당황했다. 그런 게 있냐고 대답하고 그녀에게그 VCR을 요구하는 게 옳았지만, 나는 아직 안봤다고 말했다.
"사건에 대해 잘 모르시는군요."
"저는 어제 사건을 수임했습니다." - P48

"하지만 박재호 씨 아들 박신우가 의학적으로 사망한 곳은현장이 아니라 인근 병원인 걸로 압니다. 이 기자님의 의심은합리적이지만 경찰이 박신우를 타살했다는 주장에 법률적인 증거가 되기엔 무리가 있어요. 더 조사해봐야겠지만 제 생각은 그렇습니다." - P48

그녀는 잠시 침묵하고는 짧게 덧붙였다.
"VCR을 보세요. 꼭이요."
종업원이 다가와 커피를 더 마시겠냐고 물었고, 나는 사양했다. 그녀는 손목시계를 봤다. 수수한 메탈시계였다. 식사가끝난 것이다. - P49

기하여 나를 불안하게 만들었다. 대석이 맥주를 마시자고 했지만 거절하고 집으로 왔다. 9시가 넘어 있었다. 침대에 누워 오늘 낮 준형에게 받은 사건자료를 펼쳐보았을 때는 한 시간이 더 지나 있었다. - P49

취재자료라기보다는 수사자료에 가까운 글이었다. 전부 읽었을 때, 나는 지금 읽은 것이 이 사건과 관련하여 내가 얻을 수있는 최상의 보고서란 걸 깨달았다. 나는 부엌으로 가서 라면끓일 물을 냄비에 받아 불 위에 올렸다. 거실로 나와 그녀가 보내준 VCR을 2배속으로 훑어보고 나서 보고서가 지적한 의문지점으로 돌려 다시 자세히 살펴봤다.  - P50

초췌한 남자와 어린 아들. 천장 왼쪽 끝을 철거용역 직원들이 비집고 들어와 망루로 진입한다. 실내에서는공성과 수성의 실랑이가 벌어진다. 15분이 지났다. 지금이다.
천장 오른쪽 끝에서 진압경찰들이 쏟아져 들어오고 있다. 하나, 둘, 꽤 많다. 그들이 망루로 진입한다. 경찰 몇 명이 아들에게 다가간다. 아버지가 절규한다. 경찰이 아들 머리 위로 높이 곤봉을 쳐든다.
- P50

만약에 진압경찰이 박재호의 아들을 죽였다면 법정에선 뭐가 달라지지? 일단 정당방위의 성립을 주장할 수 있다. 하지만이 사건에서 정당방위를 주장하기 위해서는 경찰과 검찰이 제시한 사실관계를 전면적으로 부정해야 한다. - P51

도대체 어디서부터 시작해야 할까. 나는 가스레인지의 불을끄고 물이 다 증발한 후 바닥이 까맣게 타버린 냄비를 설거지통에 아무렇게나 처박아 넣었다. 시계는 새벽 1시50분을 가리키고 있었다. 누군가의 도움이 필요했다. 절실히. - P51

염만수는 느린 걸음으로 책상 쪽으로 걸어갔다. 전자식 커피포트를 꺼내 물을 끓였고, 물이 끓는 동안 나에게서 등을 보이고 서 있었다. 그의 풍채는 여전히 압도적이었고, 상상력을자극했다. 법대 강단에 선 늙은 교수의 모습. 개강 첫날 강의시간에 출석을 부른 후 300명의 이름을 몽땅 외워 학생들의 기를 죽여 놓는다.  - P52

"그거 아나? 내 강의를 들은 연수원생이 졸업을 하고 인사하겠다고 학교로 찾아온 건 처음이네. 처음이야."
"정말입니까? 그럴 것 같지 않은데요."
"법대생들은 날 좋아하지. 난 그 이유를 알아. 같은 이유로그 아이들이 변호사가 되면 날 싫어하게 돼. 하지만 적어도 내가 그치들을 싫어하는 만큼은 아니지. 반갑네, 윤 변호사." - P53

"국선전담변호사라고. 자네는 언제나 참 어렵게 사는군. 일은 어떤가?"
"얼마 전에 철거민 사건을 하나 맡았습니다. 철거 진압 도중에 경찰 한 명과 학생 한 명이 폭력 사태로 사망했어요. 제 피고인이 경찰을 죽였는데, 사망한 학생의 아버지이기도 하고요. 흥미로운 사건이죠." - P53

"교수님은 제가 아는 최고의 법률가입니다. 이 말은 진심입니다." - P53

"피고인을 상담하면 시간당 얼마를 받나?"
"국선변호사는 상담비용을 안 받습니다."
"그렇군. 난 변호사를 상담해줄 때 시간당 100만 원을 받네."
"저에겐 큰돈입니다. 그냥 이야기를 드리고 싶었는데요."
"난 농담을 자주 하지 않아. 그런데 자네는 농담을 아예 이해하지 못하는군." - P54

"그게 어떻게 진담이 되겠나. 변호사한테 낭비한 내 시간을어떻게 돈으로 환산하겠어. 식사나 하면서 얘기하세."
염만수는 책상에 앉아 전화를 걸어 누군가를 식당으로 불렀다. 우리는 서울대 경영대학의 교수식당으로 걸어갔다. - P54

"철거민 문제라면 딱 어울릴 친구를 알지.공법분야의 모든문제에 미쳐 있는 내 제자야. 지금은 형법학 교수일세. 같이 식사하면서 아까 그 이야기를 해보게 좋아서 달려들걸."
식당으로 들어가 우리는 별실로 인도받았다. - P54

이주민, 서른네 살이었고, 스물아홉 살에 서울대 법과대학의 형법학 조교수가 됐다. 그가 염만수의 눈에 든 건 대학교 2학년 채권각론 중간고사 때였다고 한다. 염만수는 답안에 적는 법률 개념에 독일어를 병기하는 사람에게 보너스 10점을 주겠다고 했는데, 일곱 장 전체의 절반을 독일어로 써낸 매끈한 논리의 시험지가 나타났다. 시험이 끝난 후 염만수는 이주민을 집으로 초대해서 저녁식사를 함께했다. - P55

이주민이 미닫이문을 열고 들어왔다. 키가 매우 컸고 체크무늬 더플코트와 구겨진 청바지를 입었다. 기껏해야 대학원생으로 보였다. 잘생긴 얼굴, 패기 넘치는 눈빛. - P55

식사가 나왔다. 젊은 교수는 스승과는 전혀 다른 사람이었다. 그는 나와 대화하는 동안 젓가락을 들지 않았다. 겸손과 조심성이 몸에 냈고, 자신의 손이 닿지 않는 세상에 관심을 기울였다. 그는 많은 질문을 던졌다. 그리고 고려해볼 만한 어떤전략에 대해서도 불가능하다고 말하지 않았다. - P56

"나중에 저 친구가 쓴 불복종 운동에 관한 논문을 읽어보게 가관이야."
제자가 웃었다. 그 웃음에서 나는 수줍음을 읽었다.
"다른 기회에 더 자세히 이야기해보고 싶군요. 윤 변호사님이 괜찮다면요."
"저야 영광이지요." - P56

주민은 학부생들로 구성된 공법학회를 지도하는데, 그 학회의 아이들은 미군범죄부터 철거민 문제까지 다양한 주제를 연구하며 현장 시위에까지 참여한다고 했다. 그는 법학의 미래라는 표현을 썼다.
염만수는 기름진 참치뱃살을 씹으며 그 아이들은 하나같이 성적이 형편없다고 말했다. 우리 쪽늘 쳐다보지 않았다. 혼잣말이었다. - P56