플럭서스 예술가들은 어떤 것에 대해 결코 의견의 일치...

플럭서스 예술가들은 어떤 것에 대해 결코 의견의 일치를 보이지 않기때문에, 플럭서스는 보티에(Ben Vautier)의 말에 의하면 "예술계의 골칫거리"가 되었다. 양식이나 물질 혹은 의미는 그 어느 것도 예술가들 가운데서 의견 일치를 만들어내지 못한다. - P11

사학자인 스미스(Owen Smith)가 말하고 있듯이, "플럭서스의 역사적인 속성과 그 개념적 틀에 대해 배우고자 하는 사람에게, 그것은 급진적이라기보다는 그저 평범한 좌절간으로 보일 수 있다."¹ - P11

머리말

1)오언 스미스, 서문(Introduction)」, 「플럭서스: 태도의 역사』(San Diego SanDiego State University Press, 1998), 1쪽. - P287

『플럭서스 경험』은 본질적으로 경험적 성격의 플럭서스 형태에 대해 부분적인 입장을 취하고 있다는 점은 인정한다. 이 책은 미국의 철학자인 듀이가 "세계와의 활동적이고 경계심이 있는 교류, 자아에 대한 완전한 해석, 그리고 사물과 이벤트의 세계"³로 묘사한 것처럼 몇 점의 핵심적인 플럭서스 작품들이 세상과 상호작용하는 방식을 한 개인이 서술한 것이다. - P12

3) Art as Experience) (New York: Capricorn, 1934),
25쪽. - P287

다음에서 나는 하나의 주어진 경험자에게 궁극적으로 속박되는 개인 작품들이나 일련의 작품들에 대한 여러 해석의 제공에 대한 반대로 플럭서스경험 그 자체의 정보적인 구조를 강조했다. 그러므로 이 연구는 특별한 플럭서스 경험보다는 오히려 그 경험의 역학과 관계가 있다.⁵ 그럼에도 불구하고 나는 플럭서스 운동에 대한 이해가 발전함에 따라 개별 플럭서스 경험에 대한 주제별 분석이 이뤄지기를 바란다. - P13

5)특정한 콘서트와 페스티벌에서 퍼포먼스를 했던 장소, 참가자와 작품에 대한세세한 것은 스미스, 「서문」 참고. - P287

예술 운동에 대한 나 자신의 경험적인 지식은 플럭서스가 본질상 경험적이라는 나의 확신에서 일부분 확실하게 작용한다. 아직도 나는 나 자신을 매번 점검한다. 플럭서스 경험은 플럭서스 예술가들의 용어와 저작뿐만 아니라 사물들과 퍼포먼스 자체에도 뿌리를 두고 있다. 그러므로 앞으로 진행될 설명은 주관적일 뿐만 아니라 집단적인 본능과 직관으로부터도 나온다. 여태까지 모든 지적인 노력이 엄밀하게 행해졌기 때문에, 이 특별한 프로젝트는 평범하다. - P14

작곡 수업이 공식적으로 끝난 후에도 플럭서스(뿐만 아니라 해프닝, 팝 아트, 실험 영화와 연극, 무용)와 관련된 예술가들은 비공식적으로 실험을 계속했다. 플럭서스에 중요한 영향을 미친 것은 1959~1960년에 한센과 히긴스가 뉴욕 오디오비주얼 그룹(New York Audiovisual Group)을 창설한것과 맥로와 영이 웨스트 코스트의 실험적인 악보 잡지 《비티튜드 웨스트(Beatitude West)》를 확장한 《비티튜드 이스트(Beatitude East)》를 출간하기 시작한 일이다. - P24

유럽에서의 플럭서스도 유사하게 출발했다. 1950년대 초부터 독일의 음렬주의 작곡가인 슈토크하우젠(Karlheinz Stockhausen)은 독일에서 전위 음악의 중심에 있었다. 플럭서스 예술가 영(1958년)과 백남준(1957~1958년)이 참석한 다름슈타트에서의 그의 작곡 과정은 1950년대 후반 플럭서스예술가인 윌리엄스를 포함한 실험적인 다름슈타트 시 · 연극회와 궤도를.
공유했다. - P24

비록 보이는 것이 물리적인 대상이 아닐지라도 <플리커>에서처럼 분명히 보이지 않는 것이 보일 수 있다. 비록 (귀신, 꿈, 모든 종류의 환각 눈의 고장, 신기루, 마술, 비전 게임으로 야기되는 이미지들과 같은) 비가시적인 비전들을 만들어내는 다른 요인들이 있기는 하지만 그것은 오히려 시각적인 피로가 만들어내는 이미지이다. - P37

다시 말해, 이 경험은 주관적이거나 객관적이지 않다. 자극(필름)은 보이는 바(부분)가 아니며, 보이는 것과무관하지도 않다. 오히려 보이는 것은 "저쪽에 있는" 세계와 "이쪽에 있는" 자아와 결합한다. - P37

그것이 객관적인 것과 주관적인 것 사이에서 일어나기 때문에 <플리커>는 경험이 분명하게 구별되는 정보의 발신자들(객체)과 수신자들(주체들)에 의해 중재된다는 믿음과는 반대로 작용하는데, 그것은 서구의 철학적인 전통의 핵심인 이중성이다. - P37

즉 눈은 외부 스크린에 비치는 필름을 보는 사람의 유기적인 경계를 이룬다. 필름을 보는 경험은 요소들을 한 영역 또는 다른 영역에 배타적으로 위치시키기 위해 쉽사리 해부될 수 없다. 두 영역 모두에서동일하게 발생한다. 그러므로 <플리커>의 경험은 "자아, 그리고 사물들과상황들의 세계에 대한 완전한 상호 침투를 나타내는 것"³이라고 보는 심미적 경험에 대한 듀이의 개념과 부합된다. - P38

제 1장 정보와 경험

3)존 듀이, 『경험으로서의 예술』, 25쪽. - P289

<플리커>와는 속도 면에서 정반대인 같은 플럭스필름과 프로그램에 포함된 오노(Yoko Ono)의 필름 <아이블링크(Eyeblink)>(1966)가 있는데, 그것은 플럭서스 촬영 기사인 무어(Peter Moore)의 고속 카메라로 초당 2000개의 프레임으로 찍은 깜빡거리는 눈으로 이루어져 있다. 규칙적인 속도로 보이는 그 필름은 깜빡거림의 극단적으로 느린 동작의 이미지를 보여준다. - P38

눈을 깜빡이는 동안에는 눈이 완전히 열리지 않기 때문에, <아이블링크>의 대부분은 보고 있지 않는 동안, 적어도 가시적인 사물들을 보고 있지 않는 동안의 눈을 보여준다. 오히려 스크린 위의 이미지는 규범적인 시각 경험 사이의 연장된 공간이나 틈을 보여준다.  - P39

두 필름에서 비전은 신체 내에 확고하게 위치를 잡았다. <플리커>에서의 구현은 관람자의 시신경과 눈 근육에 미친 피로의 효과를 통해 일어나며,
<아이블링크>에서는 하나의 시각적 틈의 지연된 재현을 통해 일어난다. 비객관적인(하지만 시각적인 요소들의 이러한 구현을 통해 <플리커>와 <아이블링크>는 상업용 필름과 연합된 연속적이고 객관적인 비전의 영역이나범위상 통일성에 대한 대안들을 제공한다.⁵ - P39

5)멀베이의 획기적인 「시각적 쾌와 서술적 영화(Visual Pleasure and NarrativeCinema)는 예술사 분야에서 특히 영향력이 있었다. 그것은 콘스턴스 펜리(Constance Penley) 편, 「페미니즘과 필름 이론(Feminism and Film Theory)」(New York: Routledge, 1988)에서 발견될 수 있다. - P289

현대 예술사 용어에서는 눈을 그 시각적인 능력(<플리커>)의 한계까지 강요함으로써, 그리고 깜빡거림(<아이블링크>)으로 특징지어지는 시각성에서 휴식에 접근함으로써 이 필름들은 신체에서 떠난 응시의 권한을 약화한다.⁷ - P39

7) 미술사 내에서 응시의 변하는 기능을 조망하기 위해서는 로버트 넬슨(Robert S.Nelson) · 리처드 슈리프(Richard Schriff) 편, 미술사를 위한 비평적인 용어들(Critical Terms for Art History)』(Chicago: University of Chicago Press, 1992)에 나오는 마거릿 올린(Margaret Olin)의 「응시(Gaze)」를 참고. 미술사학자들과 문화적인 비평가들이 행한 응시에 대한 유명한 서적 분량의 연구는 노먼 브라이슨(Norman Bryson), 「비전과 회화: 응시의 논리(Vision and Painting:The Logic of the Gaze)」(New Haven: Yale University Press, 1983), 기드보드(Guy Debord), 스펙터클의 사회(The Society of the Spectacle)』(Detroit: Blackand Red, 1983)와 마이클 프리드, 「몰입과 연극성: 디드로 시대의 회화와 관Absorption and Theatricality: Painting and Beholder in the Age ofDiderot)(Berkeley: University of California Press, 1980)를 포함한다. - P290

이러한 경험에 의한 시각의 입체감과는 대조적으로 상반된 시선을 가진 르네상스의 원근법은 철학적인 사학자인 비릴리오(Paul Virilio)에 의하면,
"시각의 입체감이 발전하고 이를 통해 보는 방식의 모든 가능한 표준화가 이루어지는 결절이었다."⁹ 이러한 견해는 후기 르네상스의 맥락에서 다른 시각적 방식을 도입하는 것을 매우 어렵게 만든다. - P42

9) 폴 비릴리오, 『비전머신(Vision Machine)』 (Bloomington: Indiana University Press: London: British Film Institute, [1988] 1996), 15쪽 - P290

격자/스크린이 없다면 혼돈이 지배하게 된다. "서구에서 신과 예술의 죽음은 불가분의 관계이다. 그리고 재현의 제로 지점은 인습 파괴자들과 투쟁하는 동안에 콘스탄티노플의 총대주교 니케포루스(Nicephorus)가 천년 전에 말했던 예언을 성취했을 뿐이다.
즉 우리가 그 이미지를 제거한다면, 예수뿐만 아니라 전 우주도 사라지는 것이다.¹⁰ - P42

10 )BAR PE (Vision Machine) (Bloomington: Indiana UniversityPress; London: British Film Institute, [1988] 1996), 16~17쪽. - P290

다시 말하면, 비실리오의 경우 신체를 없앰으로써 모든 진실 묘사적인 미술에서 세계를 객관화시키는 스크린이나 "보기 위한 장치"는 시각적인 경험의 한 부분에 지나지않는다. 응집력을 가진 다른 논리들이 있다. 우리는 "바로 그 존재인 실체"라는 점을 잊지 않아야 한다. - P43

비릴리오의 원근법으로부터 두 개의 플럭스필름과 스포에리-뒤프렌의 사물은 필름의 범주적 통일성, 환영주의적 이미지들과 부정적으로 공명하는 반면에, 로마니신의 원근법으로부터는 필름과 사물이 더 광범위한 생리적인 비전의 기반을 확신시켜 줄 것이다. 시신경의 피로나 눈꺼풀에 생리적인 틀(<플리커>)을 제공함으로써, 눈꺼풀이 깜빡거리는 것(<아이블링크>)으로 눈꺼풀을 표현함으로써 플럭스필름은 눈을 모든 운동성과 감각성을 가진 인체 내에 둔다. 이와 함께 세 편의 플럭스 작품들은 범주적인 통일성에 대해 하나의 대안을 제공하며, 그와 동시에 경험적인 혼돈이라는 개념을 배척하게 된다. - P43

 만약 우리가 신체를 수동적인 시각의 단순한 연장, 즉 단순히 눈의 배후에 덧붙여진 어떤 것으로 이해한다면, 이 주장은 설득력이 있을 것이다.
그러나 시각의 일치된 입체감은 역동적이다. - P44

즉 "신체는 주체적 역할에 덧붙여 그 자체가 하나의 대상으로 제시된다.
"이와 더불어 주체와 객체는 행위, 언어, 사물, 소리 사이의 조사를 위해 변하면서 상호 관계성을 가지는 지각적 영역을 만들어낸다."¹² 퍼포먼스처럼 이렇듯이 "변하면서 상호 관계성을 가지는 지각적 영역은 눈 깜빡거림을유발하는 다른 플럭서스 작품에서 간결하게 설명된다. - P44

12) 크리스틴 스타일스, 「물과 돌 사이, 플럭서스 퍼포먼스: 행위의 형이상학(Between Water and Stone, Fluxus Performance: A Metaphysics of Acts)」엘리자베스 암스트롱(Elizabeth Amstrong) · 조앤 로스퍼스(Joan Rothfuss)편, 「플럭서스 정신(In the Spirit of Fluocus)』(Minneapolis: Walker Art Center,
1993), 65쪽. 스타일스가 사용한 퍼포먼스적(performative)이라는 용어는 오스틴의 단어들로써 어떻게 사물들과 접하는가(How to Do Things with Words)」(Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1975)에서 유래한다. 오스틴은단어들이 일하는 방법에 큰 관심을 가졌다. 그리고 스타일스는 이것을 확장하여 생각과 행동을 연결하는 비교적 광범위한 활동과 경험을 포함한다. 퍼포먼스성 언어적 의미에 대해서는 주디스 버틀러(Judith Butler), 「흥분할 수 있는 말(Excitable speech)』(New York: Routledge, 1997) 참고. - P290

2.1 VECTOR SPACES AND SUBSPAC...

2.1 VECTOR SPACES AND SUBSPACES

Elimination can simplify, one entry at a time, the linear system Ax=b. Fortunatelyit also simplifies the theory. The basic questions of existence and uniqueness-Is thereone solution, or no solution, or an infinity of solutions?-are much easier to answerafter elimination. We need to devote one more section to those questions, to find everysolution for an m by n system. Then that circle of ideas will be complete. - P69

The valuable thing for linear algebra is that the extension to n dimensions is so straight forward. For a vector in R⁷ we just need the seven components, even if the geometry is hard to visualize. Within all vector spaces, two operations are possible:

We can add any two vectors, and we can multiply all vectors by scalars.
In other words, we can take linear combinations.

Addition obeys the commutative law x + y = y + x; there is a "zero vector" satisfying0+x= x; and there is a vector"-x" satisfying -x + x = 0. Eight properties (includingthose three) are fundamental; the full list is given in Problem 6 at the end of this section.
A real vector space is a set of vectors together with rules for vector addition andmultiplication by real numbers. Addition and multiplication must produce vectors inthe space, and they must satisfy the eight conditions. - P69

DEFINITION
 A subspace of a vector space is a nonempty subset that satisfies therequirements for a vector space: Linear combinations stay in the subspace.

(i) If we add any vectors x and y in the subspace, x + y is in the subspace.
(ii) If we multiply any vector x in the subspace by any scalar c, cx is in the subspace. - P70

We can describe all combinations of the two columns geometrically: Ax = b canbe solved if and only if b lies in the plane that is spanned by the two column vectors(Figure 2.1). This is the thin set of attainable b. If b lies off the plane, then it is not aolon bin combination of the two columns. In that case Ax = b has no solution. - P71

Figure 2.1 The column space C(A), a plane in three-dimensional space.

C(A). Requirements (i) and (ii) for a subspace of R" are easy to check:

(i) Suppose b and b‘ lie in the column space, so that Ax = b for some x and Ax‘ = b‘
for some x‘. Then A(x + x) = b+ b‘, so that b + b‘ is also a combinationof the columns. The column space of all attainable vectors b is closed underaddition.

(ii) If b is in the column space C(A), so is any multiple cb. If some combination ofcolumns produces b (say Ax = b), then multiplying that combination by c willproduce cb. In other words, A(cx) = cb. - P72

The nullspace of a matrix consists of all vectors x such that Ax = 0. It is denotedby N(A). It is a subspace of Rⁿ, just as the column space was a subspace of R^m - P73

2B For any m by n matrix A there is a permutation P, a lower triangular L withunit diagonal, and an m by n echelon matrix U, such that PA = LU. - P79

2C If Ax 0 has more unknowns than equations (n> m), it has at least onespecial solution: There are more solutions than the trivial x = 0. - P81

Problem Set 2.2

10. Which of these rules give a correct definition of the rank of A?

(a) The number of nonzero rows in R.
(b) The number of columns minus the total number of rows.
(c) The number of columns minus the number of free columns.
(d) The number of 1s in R. - P86

2.3 Linear indepandence, basic, and Dimension

The goal of this section is to explain and use four ideas:

1. Linear independence or dependence.
2. Spanning a subspace.
3. Basis for a subspace (a set of vectors).
4. Dimension of a subspace (a number). - P92

2.4 THE FOUR FUNDAMENTAL SUBSPACES

The previous section dealt with definitions rather than constructions. We know what abasis is, but not how to find one. Now, starting from an explicit description of a subspace,
we would like to compute an explicit basis.
Subspaces can be described in two ways. First, we may be given a set of vectorsthat span the space. (Example: The columns span the column space.) Second, we maybe told which conditions the vectors in the space must satisfy. (Example: The nullspaceconsists of all vectors that satisfy Ax = 0.) - P102

세계제일의 영화를 만들려면 어떻게 해야 할까? 먼저...

세계제일의 영화를 만들려면 어떻게 해야 할까?

먼저 세계제일의 이야기가 있어야 한다.
그다음, 그것을 정제해서 영화에 맞게 각본화한 세계제일의시나리오가 만들어지고,
그 세계제일의 각본을 감독할 세계 최고의 감독이 필요하다.
그다음, 그 세계제일의 감독에 걸맞는 세계 최고의 스태프를불러 모으고,
마지막으로 세계 최고의 배우들을 섭외하면,
자연스레 세계제일의 영화가 나올 것이다. - P175

세계 최고라는 소설가, 각본가, 감독이라도 어느 순간 아무도 예상 못한 망작을만들어내도 이상하지 않은 게 이 바닥이다.
예술은 불안정한 인간의 관점을 기반으로 하고 있으며, 그런만큼 수치화, 정형화해서 파악하기가 힘들다. - P176

그래서 영화제작은 도박이라고들 한다.
스토리, 시나리오, 감독, 배우의 질은 그 도박의 확률을 높이는 수단에 지나지 않는다. - P176

영화판에도 당연히 그들이 선정한 세계제일이 존재하고 있다. 그러나 그들의 평가기준은 시장의 평가기준과는 좀 달라서 일반 사람들이 알 만한 사람은 그리 많지 않다. 들려오는말로 이미 거장이 된 유명한 헐리우드 감독, 각본가들 중에는 과거 그들이 선정한 세계제일이었던 사람들이 많다고 한다.
지금은 거장 대우를 받는 감독이라도, ‘그들‘ 의 평가기준에는이미 세계 최고의 능력이 없다고 판단한 것이다. - P177

세계제일의 이야기꾼이 만든 이야기를 세계제일의 각본가가각본화했고, 그 각본을 영화화할 세계제일의 감독을 섭외했다. 물론 여기에 세계제일의 조명감독, 조감독, 촬영감독, 기타 등등의 스태프들도 다 꾸렸다. 그리고 배우는 주연부터 조역까지 죄다 톱스타들로 섭외해냈다. 그 배우들 중에는 물론
‘그들‘이 선정한 세계제일의 배우들도 포함되어 있지. - P177

그러나 톱스타 배우들에게 투자한 건 돈이다. 여기에는 천문학적인 개런티가 들었다. 영화가 망하면 회사가 문제가 아니라 유서 쓰고 투신할 사람이 수백 명은 더 된다.
그리고 이 일의 책임자는 다름 아닌 나다.
지난 1년간 난 배우들의 섭외를 맡은 총책임자였다. - P178

사실 이건 내 능력이라기보다 자본주의의 힘이라고 하겠다. 이미 극한의 제작비를 쏟아붓는 영화 배우 개런티도 아낌이 없다.
뭐, 이런 상황이니 내 입장도 당연히 녹록치는 않았다. 그 어느 때보다 막중한 책임감이 어깨를 짓누른다. - P178

"그래, 내일 대본 리딩인데 배우들한테 확인전화는 다했어?"
"아뇨. 해야 돼요?"
......
난 책상에 앉은 채로 잠시 이마를 짚었다. 일이 바빠져서 새로 어시스턴트를 하나 구했는데 저런 얼빠진 계집애라니.
"지금 할까요?" - P179

난 황급히 자세를 고쳐 잡고 인사했다. 물론 받은 사람은 배우 당사자가 아니라 그 에이전시 회사의 매니저다.
"안녕하십니까. 접니다. 네네. 다름이 아니라 내일 리딩이라확인 차 한번 연락드렸습니다."
[아, 그렇지 않아도 이쪽에서 먼저 연락드리려고 했는데요.]
상대가 이렇게 말해오자마자 난 가슴이 철렁 내려앉았다. 배우가 먼저 연락해오는 경우는 대부분 좋은 소식이 아니기 때문이다. - P179

[세계제일이든 뭐든 어쨌든 테러범이잖아요. 아시겠지만9.11테러 이후에 테러라는 게 좀 민감한 부분이고, 최근엔 총기난사 사건이다 뭐다 사회적으로 흉흉한데 이미지적으로 이게 좀...... 무슨 말인지 아시죠?
"알죠. 근데 영화 아닙니까."
[음, 사실 A씨가 9.11로 사촌을 잃었어요. 그런 아픈 기억이있어서 배역에 좀 거부감이 드는 거 같아요.]
"그랬군요. 유감입니다." - P180

[그리고・・・・・・ 뭐, 우리끼리니까 다 까놓고 말합시다. 지금 A씨 형편 아시잖아요. 가뜩이나 스캔들 나서 여론이 안 좋은데 여기에 이런 배역 맡으면 이미지 수복 힘들어요. 대본 보면 마지막에 사람들 막 쏴죽이고 그러잖아요. 그럼 곤란해요. 그래서 말인데, 테러리스트 말고 다른 직업으로 좀 바꿀 수 없을까요? 이미지 괜찮은 걸로.] - P181

[A씨가 워낙 바쁘다 보니까 좀 그래요. 이해하시죠?]
한순간 혈압이 올라 세상이 빙글 돌았다.
아차, 하고 쓰러질 현기증을 이겨내며 난 이렇게 말했다.
"그럼요. 충분히 이해합니다."
[그럼, 잘된 걸로 알고 그렇게 전달하겠습니다.]
"예?"
내가 되물었지만 이미 전화는 끊어졌다. - P181

매치스틱 트웬티.
이 영화의 제목이다. 대략적인 시놉시스는 이렇다
‘그들‘에게 공인된 세계제일의 테러리스트라는 소녀가 건물을 점거 인질 20명을 잡는다.
그러나 총알이 모자라 인질을 다 죽일 수 없으므로 10명을 풀어주겠다 제안하고 인질들은 그 10명을 선별하기 위해 성냥개비 제비를 뽑기로 한다. 하지만 그때, 역시 ‘그들‘이 선별한 세계제일의 이야기꾼이라는 남자가 나타나 상황을 변화시킨다. - P182

이걸 바꿔달라니 제정신이냐?
배역을 바꾸면 이야기가 성립이 안 되잖아?
"그럼 다시 전화해서 안 된다고 하세요."
라고 철없는 어시스턴트는 말하지만 말도 안 되는 소리 하지마라. A양은 톱스타이고, 하이틴 스타이고, 제작 투자자들을 끌어 모은 이 영화의 티켓파워인 동시에, - P182

‘그들‘이 선정한 세계제일의 여배우다. 개런티로 움직이는 배우가 아냐. 당장 맘에 안 든다고 계약파기 해버려도 이상할게 없는 썅년이란 말이다. 상황 주도권을 다 가진 여자야. 이 여자랑 트러블 나면 영화 엎어진다.
"그럼 어떡하려고요?" - P183

조바심을 내다가 나중엔 풀이 죽어 수화기를 내려놓는 내게어시스턴트가 물어왔다.
"뭐래요?"
"각본가랑 상의해보고 연락 달라는군."
난 이렇게 대답하며 내려놓았던 수화기를 다시 들어 올린다.
이번엔 세계최고의 각본가다. - P186

책상 앞에서 어시스턴트가 벌레 씹은 얼굴로 날 쳐다보든 말든. 난 미친 듯이 오버해서 웃으며 떠들어댔다. 물론 그러다가곧 은근슬쩍 본론을 꺼내 든다.
"아, 근데요...... 뭐랄까 그 테러리스트 말인데요. 네, 여자테러리스트요. A씨 배역, 오늘 A씨가 하는 말 가만 들어보니까 참 기구하더라고요. A씨 아버지가 9.11테러로 돌아가셨다지 뭡니까? 그래서 자기가 테러범 역할을 하는 게 참 마음에걸리는 모양이에요."
"아버지가 아니라 사촌 아니었어요?"
여지없이 들어오는 어시스턴트의 딴지에 난 눈을 부라렸다. - P184

"역시 그렇죠? 그럼요. 그걸 바꾸면 이야기가 안 되죠. 네네,
저도 그냥 해본 말이었어요. A씨가 워낙 상처가 깊은 거 같아서・・・・・・ 네네, 알겠습니다. 내일 리딩에 나오실 거죠? 나오셔서 배우들하고 인사도 하고 그러세요. 다들 뵙고 싶어 합니다. 최고의 각본이거든요. 네네, 네에."
전화를 끊음과 동시에 내 웃음도 사라진다. - P185

"네네, 지금 작가분하고 이야기를 해봤는데요.………… 그게 저기......."
[아, 그렇지 않아도 방금 A씨하고 이야기를 했습니다. A씨는간호사가 어떨까 하더군요.] - P185

"그럼요. 이제 A씨도 20대인데 그런 역할을 당연히 하셔야죠. 저도 사실 그런 부분이 못내 아쉽고 그랬습니다."
[그렇죠? 그럼 그렇게 알고 A씨에게 전하겠습니다.]
"자, 잠깐만요. 근데 간호사로 바꾸면・・・・・・ 이야기가 좀..…………뭐랄까. 애초에 배경 자체가 테러리스트가 빌딩을 장악하면서 발단이 되는 건데……………
"
[그럼 배경을 병원으로 하면 되겠네요.] - P186

"구경났어? 여기서 주절거리지 말고, D씨 확인전화 어떻게됐어?"
"전화 안 받아요."
"다시 해. 그럼." 스난 다시 몸을 일으키고 전화번호를 누르며 염원한다.
세계제일의 각본가가 세계제일의 이해심도 같이 가지고 있으면 좋겠다. - P187

"네네, 접니다. 네. 아무래도 말인데요……. A씨 배역을 간호사로 좀 바꿀 수 없을까요? 하하. 네, 농담 아닙니다. 네네, 물론 그렇죠. 그러니까 배경도 병원으로…………… 네. 죄송합니다. 그야 스토리는 선생님께서 좀 잘 다듬어주시면 어떻게 될 거 같은데요."
이때 갑자기 어시스턴트가 지나가는 말로 초를 쳤다.
"그게 어떻게 될 리가 없잖아요."
"넌 그냥 입 다물고 시키는 대로나 해!" - P187

전화를 끊고 고개를 들어보니 어시스턴트가 한심한 눈초리로 날 들여다보고 있었다.
"내가 박쥐같은 인간이라고 생각하나?"
"네."
단호하게 고개를 끄덕인 그녀가 연이어 물어왔다.
"A씨 사무소에 연락 넣을까요?"
"거기 연락해서 어쩌게?" - P188

아름답고 착하고 지적인 세계제일의 간호사가 병원의 환자들을 인질로 잡았다.
왜일까?
[히스테리라거나 정신분열이라거나 원래 사이코라거나 많은이유가 있겠지.]
그런 부정적 이유는 안 돼. A라는 이름의 썅년은 포지티브한 역할을 원한다고.
[그럼 뭐, 정의를 위해?] - P189

아하 그러니까 그 간호사밖에 위기상황을 인지 못하고? 외부에서는 그녀를 이해 못하고 그냥 미치광이로 몬다?
[그렇지!]
날림치고는 제법이군.
[후후, 그렇지?]
그걸로 가지! 10분 내에 각본으로 수정해서 보내.
・・・・・라고 말하고 전화를 끊자마자 자연스럽게 어시스턴트가물어온다.
"누구예요?" - P190

들어둬라. 세상 어떤 훌륭한 각본이든지 촬영 때까지 상처 없이 무사한 각본은 존재하지 않아.
그 퀄리티에 상관없이 말이야. - P190

"예, 감독님? 접니다. 각본가랑 상의해서 내용을 좀 바꾸었는데………… 시간이없어서 일단 바꾼 각본을 먼저 보내드렸습니다. 확인을......."
[확인했소.]
"아, 그러셨군요. 보시기에 어떠신지……………."
[우선 말해둘 건 난 영화감독이오.] - P191

[하지만 두 번째 철칙이 또 있소. 한번 계약한 영화는 무조건찍는다.‘ 요. 상황이 어떻든 중간에 때려치우는 일은 없소. 그건 스스로 내 무능을 증명하는 일이기 때문이오. 스토리가 개차반이라도 훌륭한 영상으로 만들어내는 것이 감독 능력이란 소리지] - P192

"네・・・・・・ 말씀하시죠."
[어떻게 간호사가 총을 구했지?
"그야..... 그럼 총이 아니라 칼이나 약품이나 뭐 그런 걸로할까요?"
[스토리상 총알이 모자라 인질을 풀어주겠다고 하잖소.]그렇구나. 그럼 원래 간호사가 호신용으로다가 총을 가지고있었다거나 뭐・・・・・・
[말이 안 되오, 일단 그 부분의 수정을 요구하고, 그다음] - P192

[세계제일은 거짓말을 못 하오.] - P193

감독과 통화를 끝내자마자 난 다시 각본용병에게 전화를 걸었다.
감독이 꼬치꼬치 지적한 사항에 대한 설명을 들은 용병은 태연스레 이리 말한다.
[듣고 보니 그러네?]
듣고 보니 그래? 네가 그러니까 세계제일은 고사하고 땜빵이나 때워주는 일용직이 되어있는 거다. - P193

"근데요. D씨한테 연락이 닿았는데요."
"그래, 잘했어. 내일 리딩이라고 확실히 전했지"
"그게 아니라..... A씨가 원해서 각본을 간호사역으로 바꾸고 배경을 병원으로 고쳤다고 하니까 막 화를 내던데요."
난 당장에 담배를 비벼 끄고 기대있던 상체를 곧추세웠다.
"그런 말을 왜 해!"
"어차피 지금 수정대본 다 보낼 거잖아요. 알게 될 일인데." - P194

예컨대 얼마 전 왕년의 액션 대배우들이 모두 모여 찍은 영화도 있지 않았는가. 여기는 엄청난 톱스타도 카메오로 나오고 막 그런다.
바로 그런 예를 들어 배우들을 설득했다.
배우 D씨도 그런 케이스. 이번 영화에선 인질 20인 중 한명이라는 비중 없는 조연이지만, 사실 경륜 있는 배우다. - P194

하지만 그것보다 가장 큰 문제는 뭐냐면 이 배우 D씨도 세계제일의 배우라는 것인데.
"근데 세계제일의 남자배우를 왜 조연으로 계약했어요?"
세계제일의 조연배우다.
"그런 사람도 있어요? 그럼 청장역은 세계제일의 악역배우인가요?"
잘 아네.
"여하튼 지금 수습할 거니까 자넨 입 다물고 있어." - P195

"알겠습니다. 하시는 말씀이 백프로 옳습니다. 그렇잖아도저도 도저히 이게 아니다 싶었어요. 당장 A씨한테 전화해서담판 짓겠습니다. 네." - P195

우선 이 문제를 간단히 분석해 보자. 여학생 15명...

우선 이 문제를 간단히 분석해 보자.

여학생 15명을 3명씩 짝을 지으면 하루에 5팀, 일주일이면 5x7=35팀이 된다. 한 팀 3명을 A, B, C로 표현하면 AB, BC, CA등 3가지의 2인 조합이 나온다. 35팀의 경우 3×35=105가지 2인조합이 나온다. 문제는 여학생 2명이 한 번씩만 짝을 지어 산책을한다는 것이다. 15명 중 2명을 뽑는 조합의 수는 105로 앞서 계산한 2인조합의 수와 같고 이 결과가 합리적이라는 것을 확인할수 있다. - P198

이 5개의 변수는 독립적이지 않고 그들 사이에 관계가 있다. 예를 들어, ‘총 인원수 X 산책 일수 = 총 팀수‘이다. - P198

이런 문제를 수학에서는 ‘블록 설계block design‘라고 하는데, 우리의 목표는 여학생이 산책하는 그룹, 즉 ‘팀별‘, 또는 줄여서 ‘블록‘을 디자인하는 것이기 때문이다. 또 최종 설계는 전체 15명중 3명을 조합할 필요가 없기 때문에 ‘불완전 블록 설계incompleteblock design‘라고 부른다. - P199

따라서 이 문제는 일반적으로 영어로 약칭 ‘BIBD 설계 문제‘라고하는 ‘균형 불완전 블록 설계 balanced incomplete block design‘ 문제에 속한다. 특정 변수의 BIBD 설계 문제는 일반적으로 (b, v, r, k, λ)로 표시한다. - P199

우리는 (15, 3, 1)-BIBD 설계 문제로 변경한 후에 많은 것을 기억하기가 쉬워졌다. 이제 원래 문제를 다음과 같이 수정할 수 있다.


15명의 여학생을 임의의 2명이 한 번만 같은 팀이 되도록 3명씩 팀으로 나누어라. - P200

모든 그림을 겹쳐 놓았을 때, 이 그림이 구현한 결과를 ‘슈타이너계Steiner system‘라고 하는데, 슈타이너계는 일종의 BIBD 설계 문제 중 하나의 솔루션 형식이다.  - P201

슈타이너 역시 다소 늦깎이 수학자라고 할 수 있다. 커크먼이 여학생 산책 문제를 제기하기 몇 년 전, 슈타이너도 마침 조합 문제를 연구하고 있었다. 슈타이너가 이때 연구한 문제를 이후 ‘슈타이너계‘라고 명명했는데, 그중 가장 기본적인 연구 대상은 ‘슈타이너 삼원계 Steiner triple system‘이다. ‘삼원계‘는 세 개씩 짝을 이룬다는 뜻이다. - P202

커크먼 여학생 산책 문제는 3명씩 팀을 이루는 경우에 대한 질문이었다. 1인 1팀 또는 2인 1팀의 문제는 모두 평범하며, 3인이 한 팀일 때 연구할 가치가 있다. 그래서 슈타이너 삼원계는BIBD 설계 문제 중 가장 기초적인 문제이다. - P202

 각각 총인원이 7과 15인 경우인데 다른 숫자로 슈타이너 삼원계를 만들 수 있을까? 분명한 것은 안 되는 숫자가 훨씬 많다는 것이다. 고려해야 할 첫 번째 조건은 바로 이 총인원수가 앞에서 말한 조건(5개의 변수는 두 개의 등식을 만족해야 하는데 그렇지 않으면 일부 변수는 정수가 아니므로 만족하지 않는다)을 만족해야 한다. 따라서 이 두 등식은 필요조건이다. - P203

그렇다면 충분조건은 아닐까? 아니다. 1844년 커크먼은 슈타이너 삼원계의 존재를 증명하기 위한 필요충분조건은 총인원수를 6으로 나눈 나머지가 1 또는 3이라는 것을 밝혔다.

v = 1 (mod 6) 또는 v = 3 (mod 6)
이것은 아주 멋진 결론이며 또한 필요충분조건이다. - P203

이후 사람들은 커크먼의 이러한 지속적인 분해 방식을 ‘분해가능한 균형 불완전 블록 설계 Resolvable balanced incomplete block design‘라고 불렀으며, 줄여서 ‘RBIBD 설계 문제‘라고 하였다. 만약 슈타이너 삼원계에 RBIBD 설계가 존재한다면 이를 커크먼 삼원계Kirkman triple system라고 할 수 있다. - P204

또 하나의 문제는 어떤 슈타이너 삼원계가 커크먼 삼원계인가하는 것이다. 이 문제는 슈타이너 삼원계의 존재 문제보다 훨씬 어렵다. - P204

다음으로, 사원계와 오원계 등의 존재성에 대해 궁금할 것이다. 오랫동안 수학자들은 무수히 많은 슈타이너 사원계와 오원계가 존재하는지를 파헤쳤다. 2014년 피터 키바쉬Peter keerash의 논문은 이에 긍정적인 답을 내놓았다. - P205

Let‘s play with MATH together

21명의 여학생이 있다. 각각 3명, 7명으로 팀을 짜서 다니는데 수치상으로만 분석하면 BIBD 설계 문제를 찾아낼 수 있을까? 더 나아가 커크먼 산책 설계가 존재할까?
n이 소수인 경우 간단한 방법으로 (n², n, 1) 설계를 만들 수 있다.
(5² ,5, 1) 설계를 구성해 보자. - P206

[Q] 21명의 여학생이 있다. 각각 3명, 7명으로 팀을 짜서 다니는데 숫자로만 분석하면 BIBD 설계 문제를 찾아낼 수 있을까?
더 나아가 커크먼 산책 설계가 존재할까?

[A] BIBD 설계 문제가 존재하는 필요조건은 총 인원을 6으로나눈 나머지가 1 또는 3이다. 21을 6으로 나눈 나머지가 3이므로이 조건에 부합한다.
커크먼 산책 설계의 경우 3명이 한 팀이 되면 매일 2명씩 같은팀이 될 수 있으며, 이론적으로 10일 후 모든 사람이 ‘아는‘ 것이가능하다. 때문에 (70, 21, 10, 3, 1) 산책 설계가 존재하며 구체적인 방안은 독자 스스로 찾도록 남겨두겠다.
만약 7명이 한 팀이 되어 하루에 6명을 ‘아는‘ 경우, 며칠 후 20명을 알 수는 없다. 그래서 7명씩 팀을 이룬 커크먼 산책 설계는존재하지 않는다. - P371

[Q] 이 소수인 경우 간단한 방법으로 (n², n, 1) 설계를 만들수 있다. (5², 5, 1) 설계를 구성해 보자.

[A] 이 설계의 결과는 다음과 같다.
[1, 2, 3, 4, 5], [6, 7, 8, 9, 10], [11, 12, 13, 14, 15], [16, 17, 18, 19, 20],
[21, 22, 23, 24, 25][1, 6, 11, 16, 21], [2, 7, 12, 17, 22], [3, 8, 13, 18, 23], [4, 9, 14, 19, 24],
[5, 10, 15, 20, 25][1, 7, 13, 19, 25], [2, 8, 14, 20, 21], [3, 9, 15, 16, 22], [4, 10, 11, 17, 23].
[5, 6, 12, 18, 24][1, 8, 15, 17, 24], [2, 9, 11, 18, 25], [3, 10, 12, 19, 21], [4, 6, 13, 20, 22],
[5, 7, 14, 16, 23][1, 9, 12, 20, 23], [2, 10, 13, 16, 24], [3, 6, 14, 17, 25], [4, 7, 15, 18, 21],
[5, 8, 11, 19, 22][1, 10, 14, 18, 22], [2, 6, 15, 19, 23], [3, 7, 11, 20, 24], [4, 8, 12, 16, 25].
[5,9, 13, 17, 21] - P372

24차원 결정의 고유한 대칭

앞서 소수 차수 순환군에서 5차 이상의 교대군 및 ‘리 형태 단순군‘의 세 가지 주요 범주를 언급하였다. 하지만 우주에는 26개의 산재군이 더 존재한다. ‘산재‘는 바로 바깥에 흩어져 독립적으로 행동한다는 뜻이다. - P341

26개의 군은 참으로 이상하다. 수학자들은 이들 사이에 강하거나 약한 연관성에 따라 4가지로 분류한다. 가장 먼저 발견된 부류는 마티외 군Mathieu group‘이라고 불리는데, 1860년대에서 70년대에 걸쳐 프랑스의 수학자 마티외에 의해 발견되었으며, 심지어리 형태 단순군보다 더 일찍 발견되었다. - P341

종이 위에 마음대로 7개의 점을 그리고 이 점들을 연결하되 세 점이 일직선 상에 있지 않은 임의의 곡선으로 연결되어야 한다. 임의의 두 점은 하나의 선으로만 연결, 즉 어떤 두 점 사이에 선이 없거나 하나의 선만 존재한다. - P341

만약 n개의 점이 있다고 가정하면, 각 변은 t개의 점을 포함하며 k개의 점이 하나의 선으로 연결된다. 따라서 n, t, k의 3개의 매개변수를 가지며 S(k, t, n)으로 나타낸다. 이것은 앞에서 다룬 S(2, 3, 7)이다. 분명한 것은 임의의 n, t, k조합으로 슈타이너계를 만들 수 없다. - P342

이것은 간단한 순열 조합 문제인 것 같지만, 그 안에 담긴 문제의의미는 매우 어렵다. 2014년이 되어서야 t=4와 t=5의 슈타이노계가 무한히 많다는 것이 입증되었다. - P342

1931년 어떤 수학자는 마티외가 슈타이너계를 분석해서 얻은군은 아니지만, 군 M_12는 사실 12개 점의 슈타이너계에 포함되어있다는 사실을 발견했다. 이 슈타이너계는 S(5, 6, 12) 즉, 평면상의 12개의 점에서 5개의 점이 직선 위에 오도록 6개의 점을 하나의 선으로 연결한다. - P343

나는 이 결론을 보고 슈타이너계가 도대체 어떻게 생겼는지 보고 싶었지만, 놀랍게도 인터넷에서 실제로 12개의 점의 슈타이너계를 그릴 수 있다는 사람을 발견하지 못했다. - P343

1871년 마티외는 또 다른 4개의 마티외 군을 발견했다. 후에 사람들은 이 몇 개의 마티외 군이 특정한 슈타이너계에 포함되어 있다는 것을 발견하였다. 어떤 방식으로든 무한한 군을 도출할 수 있다. 하지만 그 많은 군 중에서 공교롭게도5개의 마티외 군이 서로 다른 유한 단순군으로 구성되어 있다는 점이다. - P344

위와 같은 문제를 ‘입맞춤 수 문제‘라고 하는데, 이는 마치 바깥의 구가 안쪽 구에 입맞춤을 하는 것과 같기 때문이다. 또한 당구게임에서 의도하지 않은 방향으로 공이 진행될 때 생기는 접촉을
‘키스kiss‘라고 부르는데, 이것이 바로 이 명칭의 내력이다. - P345

2차원, 3차원, 4차원의 입맞춤 수가 각각 6, 12, 24인 것으로 보아 한 차원이 증가할 때마다 2배가 되는 건 아닐까? 틀렸다. 5차원의 입맞춤 수에 대해 수학자는 정확한 숫자는 모르지만, 그 상한이 44라는 것을 알고 있기 때문에 48일 리가 없다. - P347

다시 한번, 또 뜻밖의 일이 발생했다. 5차원 이상에서 수학자가정확한 입맞춤 수를 얻을 수 있는 차원은 두 개밖에 없다. 이것이바로 8차원과 24차원이다. 24차원 입맞춤 수는 196,560개로 이는 24차원 공간에서 구 하나가 최대 196,560개의 구와 동시에 접할 수 있다는 뜻이다. - P347

 1940년 독일의 수학자 에른스트 비트Ernst Witt가 24차원 입맞춤 수를 발견했다고 추측하지만, 결론이 발표되진 않았다. 1967년 영국의 수학자 존 리치가 24차원의 입맞춤 수를 공식적으로 증명했다. - P347

어쨌든 24차원 공간에서 구 하나가 동시에 196,560개의 구와접하는 모양은 하나의 결정 모양으로 일반화되어 ‘리치 격자‘라는이름이 붙었다.  - P349

1967년, 리치는 ‘리치 격자‘를 발견하자 그 속에 단순군 구조가있는지 알고 싶어 다른 수학자들에게 도움을 청해 함께 연구했다. 콘웨이는 리치의 연구에 매우 흥미가 있어서 이 임무를 맡았다. - P349

첫 번째 토요일 노후에 그는 종이 뭉치를 몇 뭉치나 써 버리고, 6시간의 연산을 거치면서 거의 새로운 유한 단순군을 발견할 것 같은 느낌이 들었다.
흥분을 참지 못한 콘웨이는 같은 케임브리지대에 근무하는 동료이자 절친인 존 톰슨에게 전화를 걸어 자신이 새로운 산재군을찾았다고 생각하지만, 그것의 차수가 리치 격자 동형 군 자체의차수인지, 아니면 그것의 절반인지 확실하지 않다고 말했다. - P350

하지만 전화를 끊은 콘웨이는 잠을 이루지 못하고 계속 계산에몰두했고, 낮 12시가 넘어서도 톰슨에게 한 차례 통화하며 상황을 주고받았다. 이후 며칠 동안 두 사람은 훗날 ‘Co_1, Conway group Col‘
으로 불리는 관련 계산과 증명이 완료될 때까지 호흡을 맞췄다.
결국 ‘Co_1‘의 발견은 기본적으로 며칠 안에 완성되었다. 수학자는잠재적인 발견에 대한 갈망의 정도가 결코 금광을 캐는 사람 못지않다. - P350

그 후 얼마 지나지 않아 사람들은 리치 격자 및 콘웨이 군에서다른 4개의 단군(히그만-심즈 군(Hs), Hall-Janko 군(J2), 매클로플린군(MC), 스즈키 군(Suz))을 관찰했다. 이 4개 군에 세 개의 콘웨이군을 더하여 ‘제 2세대 산재군‘이라고 한다. - P351

뜻밖에 발견된 두 영역의 연관성

이미 다룬 내용 외에 나머지 산재군에 대한 이야기를 하려고한다. 이 중 하나는 모든 산재군 중에서 원소가 가장 많다. 그것의이름은 매우 매력적인데 ‘몬스터 군Monster group‘이다. - P352

 1973년 그와 그의 아내는 손계산으로 마침내 이 ‘더 큰‘ 군을 계산해냈는데, 이 군의 차수는 대략 4x10(나중에 ‘작은 몬스터군Baby Monter group. 小魔群‘으로 불렸다)에 이른다.
Pizz가 ‘더 큰‘ 군에 포함되었으므로 Fi23, Fi24는 ‘더 큰‘ 군에 포함시켜야 한다.  - P353

다행히 콘웨이의 동료인 존 톰슨은 군의 차수를 계산하는 알고리즘을 발명하였고, 이를 이용해 군의 차수의 상한을 정할 수 있었다. 당시 휴렛Hewlett은 (파이겐바움도 사용했던) HP-65라는 계산기를 출시했다. - P353

수년 후, 이 표는 콘웨이의 책에 8페이지 분량을 차지했다. 여기서 짚고 넘어가야 할 사건이 있는데, 당시 케임브리지 대학의 젊은 수학자 노튼은 계산으로 이 특성표의 두 번째 행이 숫자
‘196883‘으로 시작될 수 있다고 설명했다. - P354

앞서 우리는 모든 유한군이 치환군이라고 했다. 수학자는 ‘큰 몬스터 군을 치환군을 이용한 방식으로 그려내려면 10²⁰개의 원소가 있는 집합에 치환을 정의해야 한다. 이는 계산하거나 쓰는 것이 전혀 불가능하다는 것을 발견했다.  - P355

이 방법은 앞의 노튼이 계산한 196883이라는 숫자를 사용했다. 노튼은 만약 ‘큰 몬스터 군‘이 존재한다면 196884차원 공간에서 어떤 대수적 구조를 유지한다는 것을 증명했기 때문이다. 만약 이런 대수적 구조를 만들어낸다면, 이 군을 만들어내는 것과 동등하다고 생각했다. - P355

그렇다면 ‘큰 몬스터 군‘은 과연 얼마나 클까? 그것의 차수는 약 8×10⁵²이다. 그리고 앞서 말한 바와 같이 196883차원의 선형공간에서 비로소 이 군의 구조를 나타낼 수 있다. - P356

콘웨이와 노튼이 계산해 확인한 결과, 결코 우연이 아니라 ‘큰 몬스터 군‘과모형식 사이의 필연적인 연결이었다. 이번에도 콘웨이는 장난꾸러기 본색을 드러냈고, 그는 이런 연결을 ‘기묘한 달빛moonshine‘
이라고 표현했다.  - P358

 그리고 이 단어의 어근은 ‘몬스터monster(악마)‘에서 왔기 때문에 여기에 약간 이중적인 의미가 있다. ‘moonshine‘이라는 단어는 콘웨이가196883과 196884 사이의 우연의 일치에 대해 처음 들었을 때의 반응에서 유래했다고 한다 - P358

[오늘의 한문장] 수학의 매력

세 사람이 길을 가면 반드시 순열 조합 문제가 있다!

1850년 영국의 「레이디즈 앤드 젠틀먼즈 다이어리LADY‘S ANDGENTLEMAN‘S DIARY」 라는 잡지에 다음과 같은 수학 문제가 실렸다.

15명의 여학생이 매일 한 번씩 3명씩 팀을 이루어 산책을 한다. 7일동안 임의의 두 사람이 한 번 같이 산책하도록 하려면 팀을 어떻게 나누면 될까? - P196