우선 이 문제를 간단히 분석해 보자. 여학생 15명...

우선 이 문제를 간단히 분석해 보자.

여학생 15명을 3명씩 짝을 지으면 하루에 5팀, 일주일이면 5x7=35팀이 된다. 한 팀 3명을 A, B, C로 표현하면 AB, BC, CA등 3가지의 2인 조합이 나온다. 35팀의 경우 3×35=105가지 2인조합이 나온다. 문제는 여학생 2명이 한 번씩만 짝을 지어 산책을한다는 것이다. 15명 중 2명을 뽑는 조합의 수는 105로 앞서 계산한 2인조합의 수와 같고 이 결과가 합리적이라는 것을 확인할수 있다. - P198

이 5개의 변수는 독립적이지 않고 그들 사이에 관계가 있다. 예를 들어, ‘총 인원수 X 산책 일수 = 총 팀수‘이다. - P198

이런 문제를 수학에서는 ‘블록 설계block design‘라고 하는데, 우리의 목표는 여학생이 산책하는 그룹, 즉 ‘팀별‘, 또는 줄여서 ‘블록‘을 디자인하는 것이기 때문이다. 또 최종 설계는 전체 15명중 3명을 조합할 필요가 없기 때문에 ‘불완전 블록 설계incompleteblock design‘라고 부른다. - P199

따라서 이 문제는 일반적으로 영어로 약칭 ‘BIBD 설계 문제‘라고하는 ‘균형 불완전 블록 설계 balanced incomplete block design‘ 문제에 속한다. 특정 변수의 BIBD 설계 문제는 일반적으로 (b, v, r, k, λ)로 표시한다. - P199

우리는 (15, 3, 1)-BIBD 설계 문제로 변경한 후에 많은 것을 기억하기가 쉬워졌다. 이제 원래 문제를 다음과 같이 수정할 수 있다.


15명의 여학생을 임의의 2명이 한 번만 같은 팀이 되도록 3명씩 팀으로 나누어라. - P200

모든 그림을 겹쳐 놓았을 때, 이 그림이 구현한 결과를 ‘슈타이너계Steiner system‘라고 하는데, 슈타이너계는 일종의 BIBD 설계 문제 중 하나의 솔루션 형식이다.  - P201

슈타이너 역시 다소 늦깎이 수학자라고 할 수 있다. 커크먼이 여학생 산책 문제를 제기하기 몇 년 전, 슈타이너도 마침 조합 문제를 연구하고 있었다. 슈타이너가 이때 연구한 문제를 이후 ‘슈타이너계‘라고 명명했는데, 그중 가장 기본적인 연구 대상은 ‘슈타이너 삼원계 Steiner triple system‘이다. ‘삼원계‘는 세 개씩 짝을 이룬다는 뜻이다. - P202

커크먼 여학생 산책 문제는 3명씩 팀을 이루는 경우에 대한 질문이었다. 1인 1팀 또는 2인 1팀의 문제는 모두 평범하며, 3인이 한 팀일 때 연구할 가치가 있다. 그래서 슈타이너 삼원계는BIBD 설계 문제 중 가장 기초적인 문제이다. - P202

 각각 총인원이 7과 15인 경우인데 다른 숫자로 슈타이너 삼원계를 만들 수 있을까? 분명한 것은 안 되는 숫자가 훨씬 많다는 것이다. 고려해야 할 첫 번째 조건은 바로 이 총인원수가 앞에서 말한 조건(5개의 변수는 두 개의 등식을 만족해야 하는데 그렇지 않으면 일부 변수는 정수가 아니므로 만족하지 않는다)을 만족해야 한다. 따라서 이 두 등식은 필요조건이다. - P203

그렇다면 충분조건은 아닐까? 아니다. 1844년 커크먼은 슈타이너 삼원계의 존재를 증명하기 위한 필요충분조건은 총인원수를 6으로 나눈 나머지가 1 또는 3이라는 것을 밝혔다.

v = 1 (mod 6) 또는 v = 3 (mod 6)
이것은 아주 멋진 결론이며 또한 필요충분조건이다. - P203

이후 사람들은 커크먼의 이러한 지속적인 분해 방식을 ‘분해가능한 균형 불완전 블록 설계 Resolvable balanced incomplete block design‘라고 불렀으며, 줄여서 ‘RBIBD 설계 문제‘라고 하였다. 만약 슈타이너 삼원계에 RBIBD 설계가 존재한다면 이를 커크먼 삼원계Kirkman triple system라고 할 수 있다. - P204

또 하나의 문제는 어떤 슈타이너 삼원계가 커크먼 삼원계인가하는 것이다. 이 문제는 슈타이너 삼원계의 존재 문제보다 훨씬 어렵다. - P204

다음으로, 사원계와 오원계 등의 존재성에 대해 궁금할 것이다. 오랫동안 수학자들은 무수히 많은 슈타이너 사원계와 오원계가 존재하는지를 파헤쳤다. 2014년 피터 키바쉬Peter keerash의 논문은 이에 긍정적인 답을 내놓았다. - P205

Let‘s play with MATH together

21명의 여학생이 있다. 각각 3명, 7명으로 팀을 짜서 다니는데 수치상으로만 분석하면 BIBD 설계 문제를 찾아낼 수 있을까? 더 나아가 커크먼 산책 설계가 존재할까?
n이 소수인 경우 간단한 방법으로 (n², n, 1) 설계를 만들 수 있다.
(5² ,5, 1) 설계를 구성해 보자. - P206

[Q] 21명의 여학생이 있다. 각각 3명, 7명으로 팀을 짜서 다니는데 숫자로만 분석하면 BIBD 설계 문제를 찾아낼 수 있을까?
더 나아가 커크먼 산책 설계가 존재할까?

[A] BIBD 설계 문제가 존재하는 필요조건은 총 인원을 6으로나눈 나머지가 1 또는 3이다. 21을 6으로 나눈 나머지가 3이므로이 조건에 부합한다.
커크먼 산책 설계의 경우 3명이 한 팀이 되면 매일 2명씩 같은팀이 될 수 있으며, 이론적으로 10일 후 모든 사람이 ‘아는‘ 것이가능하다. 때문에 (70, 21, 10, 3, 1) 산책 설계가 존재하며 구체적인 방안은 독자 스스로 찾도록 남겨두겠다.
만약 7명이 한 팀이 되어 하루에 6명을 ‘아는‘ 경우, 며칠 후 20명을 알 수는 없다. 그래서 7명씩 팀을 이룬 커크먼 산책 설계는존재하지 않는다. - P371

[Q] 이 소수인 경우 간단한 방법으로 (n², n, 1) 설계를 만들수 있다. (5², 5, 1) 설계를 구성해 보자.

[A] 이 설계의 결과는 다음과 같다.
[1, 2, 3, 4, 5], [6, 7, 8, 9, 10], [11, 12, 13, 14, 15], [16, 17, 18, 19, 20],
[21, 22, 23, 24, 25][1, 6, 11, 16, 21], [2, 7, 12, 17, 22], [3, 8, 13, 18, 23], [4, 9, 14, 19, 24],
[5, 10, 15, 20, 25][1, 7, 13, 19, 25], [2, 8, 14, 20, 21], [3, 9, 15, 16, 22], [4, 10, 11, 17, 23].
[5, 6, 12, 18, 24][1, 8, 15, 17, 24], [2, 9, 11, 18, 25], [3, 10, 12, 19, 21], [4, 6, 13, 20, 22],
[5, 7, 14, 16, 23][1, 9, 12, 20, 23], [2, 10, 13, 16, 24], [3, 6, 14, 17, 25], [4, 7, 15, 18, 21],
[5, 8, 11, 19, 22][1, 10, 14, 18, 22], [2, 6, 15, 19, 23], [3, 7, 11, 20, 24], [4, 8, 12, 16, 25].
[5,9, 13, 17, 21] - P372

24차원 결정의 고유한 대칭

앞서 소수 차수 순환군에서 5차 이상의 교대군 및 ‘리 형태 단순군‘의 세 가지 주요 범주를 언급하였다. 하지만 우주에는 26개의 산재군이 더 존재한다. ‘산재‘는 바로 바깥에 흩어져 독립적으로 행동한다는 뜻이다. - P341

26개의 군은 참으로 이상하다. 수학자들은 이들 사이에 강하거나 약한 연관성에 따라 4가지로 분류한다. 가장 먼저 발견된 부류는 마티외 군Mathieu group‘이라고 불리는데, 1860년대에서 70년대에 걸쳐 프랑스의 수학자 마티외에 의해 발견되었으며, 심지어리 형태 단순군보다 더 일찍 발견되었다. - P341

종이 위에 마음대로 7개의 점을 그리고 이 점들을 연결하되 세 점이 일직선 상에 있지 않은 임의의 곡선으로 연결되어야 한다. 임의의 두 점은 하나의 선으로만 연결, 즉 어떤 두 점 사이에 선이 없거나 하나의 선만 존재한다. - P341

만약 n개의 점이 있다고 가정하면, 각 변은 t개의 점을 포함하며 k개의 점이 하나의 선으로 연결된다. 따라서 n, t, k의 3개의 매개변수를 가지며 S(k, t, n)으로 나타낸다. 이것은 앞에서 다룬 S(2, 3, 7)이다. 분명한 것은 임의의 n, t, k조합으로 슈타이너계를 만들 수 없다. - P342

이것은 간단한 순열 조합 문제인 것 같지만, 그 안에 담긴 문제의의미는 매우 어렵다. 2014년이 되어서야 t=4와 t=5의 슈타이노계가 무한히 많다는 것이 입증되었다. - P342

1931년 어떤 수학자는 마티외가 슈타이너계를 분석해서 얻은군은 아니지만, 군 M_12는 사실 12개 점의 슈타이너계에 포함되어있다는 사실을 발견했다. 이 슈타이너계는 S(5, 6, 12) 즉, 평면상의 12개의 점에서 5개의 점이 직선 위에 오도록 6개의 점을 하나의 선으로 연결한다. - P343

나는 이 결론을 보고 슈타이너계가 도대체 어떻게 생겼는지 보고 싶었지만, 놀랍게도 인터넷에서 실제로 12개의 점의 슈타이너계를 그릴 수 있다는 사람을 발견하지 못했다. - P343

1871년 마티외는 또 다른 4개의 마티외 군을 발견했다. 후에 사람들은 이 몇 개의 마티외 군이 특정한 슈타이너계에 포함되어 있다는 것을 발견하였다. 어떤 방식으로든 무한한 군을 도출할 수 있다. 하지만 그 많은 군 중에서 공교롭게도5개의 마티외 군이 서로 다른 유한 단순군으로 구성되어 있다는 점이다. - P344

위와 같은 문제를 ‘입맞춤 수 문제‘라고 하는데, 이는 마치 바깥의 구가 안쪽 구에 입맞춤을 하는 것과 같기 때문이다. 또한 당구게임에서 의도하지 않은 방향으로 공이 진행될 때 생기는 접촉을
‘키스kiss‘라고 부르는데, 이것이 바로 이 명칭의 내력이다. - P345

2차원, 3차원, 4차원의 입맞춤 수가 각각 6, 12, 24인 것으로 보아 한 차원이 증가할 때마다 2배가 되는 건 아닐까? 틀렸다. 5차원의 입맞춤 수에 대해 수학자는 정확한 숫자는 모르지만, 그 상한이 44라는 것을 알고 있기 때문에 48일 리가 없다. - P347

다시 한번, 또 뜻밖의 일이 발생했다. 5차원 이상에서 수학자가정확한 입맞춤 수를 얻을 수 있는 차원은 두 개밖에 없다. 이것이바로 8차원과 24차원이다. 24차원 입맞춤 수는 196,560개로 이는 24차원 공간에서 구 하나가 최대 196,560개의 구와 동시에 접할 수 있다는 뜻이다. - P347

 1940년 독일의 수학자 에른스트 비트Ernst Witt가 24차원 입맞춤 수를 발견했다고 추측하지만, 결론이 발표되진 않았다. 1967년 영국의 수학자 존 리치가 24차원의 입맞춤 수를 공식적으로 증명했다. - P347

어쨌든 24차원 공간에서 구 하나가 동시에 196,560개의 구와접하는 모양은 하나의 결정 모양으로 일반화되어 ‘리치 격자‘라는이름이 붙었다.  - P349

1967년, 리치는 ‘리치 격자‘를 발견하자 그 속에 단순군 구조가있는지 알고 싶어 다른 수학자들에게 도움을 청해 함께 연구했다. 콘웨이는 리치의 연구에 매우 흥미가 있어서 이 임무를 맡았다. - P349

첫 번째 토요일 노후에 그는 종이 뭉치를 몇 뭉치나 써 버리고, 6시간의 연산을 거치면서 거의 새로운 유한 단순군을 발견할 것 같은 느낌이 들었다.
흥분을 참지 못한 콘웨이는 같은 케임브리지대에 근무하는 동료이자 절친인 존 톰슨에게 전화를 걸어 자신이 새로운 산재군을찾았다고 생각하지만, 그것의 차수가 리치 격자 동형 군 자체의차수인지, 아니면 그것의 절반인지 확실하지 않다고 말했다. - P350

하지만 전화를 끊은 콘웨이는 잠을 이루지 못하고 계속 계산에몰두했고, 낮 12시가 넘어서도 톰슨에게 한 차례 통화하며 상황을 주고받았다. 이후 며칠 동안 두 사람은 훗날 ‘Co_1, Conway group Col‘
으로 불리는 관련 계산과 증명이 완료될 때까지 호흡을 맞췄다.
결국 ‘Co_1‘의 발견은 기본적으로 며칠 안에 완성되었다. 수학자는잠재적인 발견에 대한 갈망의 정도가 결코 금광을 캐는 사람 못지않다. - P350

그 후 얼마 지나지 않아 사람들은 리치 격자 및 콘웨이 군에서다른 4개의 단군(히그만-심즈 군(Hs), Hall-Janko 군(J2), 매클로플린군(MC), 스즈키 군(Suz))을 관찰했다. 이 4개 군에 세 개의 콘웨이군을 더하여 ‘제 2세대 산재군‘이라고 한다. - P351

뜻밖에 발견된 두 영역의 연관성

이미 다룬 내용 외에 나머지 산재군에 대한 이야기를 하려고한다. 이 중 하나는 모든 산재군 중에서 원소가 가장 많다. 그것의이름은 매우 매력적인데 ‘몬스터 군Monster group‘이다. - P352

 1973년 그와 그의 아내는 손계산으로 마침내 이 ‘더 큰‘ 군을 계산해냈는데, 이 군의 차수는 대략 4x10(나중에 ‘작은 몬스터군Baby Monter group. 小魔群‘으로 불렸다)에 이른다.
Pizz가 ‘더 큰‘ 군에 포함되었으므로 Fi23, Fi24는 ‘더 큰‘ 군에 포함시켜야 한다.  - P353

다행히 콘웨이의 동료인 존 톰슨은 군의 차수를 계산하는 알고리즘을 발명하였고, 이를 이용해 군의 차수의 상한을 정할 수 있었다. 당시 휴렛Hewlett은 (파이겐바움도 사용했던) HP-65라는 계산기를 출시했다. - P353

수년 후, 이 표는 콘웨이의 책에 8페이지 분량을 차지했다. 여기서 짚고 넘어가야 할 사건이 있는데, 당시 케임브리지 대학의 젊은 수학자 노튼은 계산으로 이 특성표의 두 번째 행이 숫자
‘196883‘으로 시작될 수 있다고 설명했다. - P354

앞서 우리는 모든 유한군이 치환군이라고 했다. 수학자는 ‘큰 몬스터 군을 치환군을 이용한 방식으로 그려내려면 10²⁰개의 원소가 있는 집합에 치환을 정의해야 한다. 이는 계산하거나 쓰는 것이 전혀 불가능하다는 것을 발견했다.  - P355

이 방법은 앞의 노튼이 계산한 196883이라는 숫자를 사용했다. 노튼은 만약 ‘큰 몬스터 군‘이 존재한다면 196884차원 공간에서 어떤 대수적 구조를 유지한다는 것을 증명했기 때문이다. 만약 이런 대수적 구조를 만들어낸다면, 이 군을 만들어내는 것과 동등하다고 생각했다. - P355

그렇다면 ‘큰 몬스터 군‘은 과연 얼마나 클까? 그것의 차수는 약 8×10⁵²이다. 그리고 앞서 말한 바와 같이 196883차원의 선형공간에서 비로소 이 군의 구조를 나타낼 수 있다. - P356

콘웨이와 노튼이 계산해 확인한 결과, 결코 우연이 아니라 ‘큰 몬스터 군‘과모형식 사이의 필연적인 연결이었다. 이번에도 콘웨이는 장난꾸러기 본색을 드러냈고, 그는 이런 연결을 ‘기묘한 달빛moonshine‘
이라고 표현했다.  - P358

 그리고 이 단어의 어근은 ‘몬스터monster(악마)‘에서 왔기 때문에 여기에 약간 이중적인 의미가 있다. ‘moonshine‘이라는 단어는 콘웨이가196883과 196884 사이의 우연의 일치에 대해 처음 들었을 때의 반응에서 유래했다고 한다 - P358