2.1 VECTOR SPACES AND SUBSPAC...

2.1 VECTOR SPACES AND SUBSPACES

Elimination can simplify, one entry at a time, the linear system Ax=b. Fortunatelyit also simplifies the theory. The basic questions of existence and uniqueness-Is thereone solution, or no solution, or an infinity of solutions?-are much easier to answerafter elimination. We need to devote one more section to those questions, to find everysolution for an m by n system. Then that circle of ideas will be complete. - P69

The valuable thing for linear algebra is that the extension to n dimensions is so straight forward. For a vector in R⁷ we just need the seven components, even if the geometry is hard to visualize. Within all vector spaces, two operations are possible:

We can add any two vectors, and we can multiply all vectors by scalars.
In other words, we can take linear combinations.

Addition obeys the commutative law x + y = y + x; there is a "zero vector" satisfying0+x= x; and there is a vector"-x" satisfying -x + x = 0. Eight properties (includingthose three) are fundamental; the full list is given in Problem 6 at the end of this section.
A real vector space is a set of vectors together with rules for vector addition andmultiplication by real numbers. Addition and multiplication must produce vectors inthe space, and they must satisfy the eight conditions. - P69

DEFINITION
 A subspace of a vector space is a nonempty subset that satisfies therequirements for a vector space: Linear combinations stay in the subspace.

(i) If we add any vectors x and y in the subspace, x + y is in the subspace.
(ii) If we multiply any vector x in the subspace by any scalar c, cx is in the subspace. - P70

We can describe all combinations of the two columns geometrically: Ax = b canbe solved if and only if b lies in the plane that is spanned by the two column vectors(Figure 2.1). This is the thin set of attainable b. If b lies off the plane, then it is not aolon bin combination of the two columns. In that case Ax = b has no solution. - P71

Figure 2.1 The column space C(A), a plane in three-dimensional space.

C(A). Requirements (i) and (ii) for a subspace of R" are easy to check:

(i) Suppose b and b‘ lie in the column space, so that Ax = b for some x and Ax‘ = b‘
for some x‘. Then A(x + x) = b+ b‘, so that b + b‘ is also a combinationof the columns. The column space of all attainable vectors b is closed underaddition.

(ii) If b is in the column space C(A), so is any multiple cb. If some combination ofcolumns produces b (say Ax = b), then multiplying that combination by c willproduce cb. In other words, A(cx) = cb. - P72

The nullspace of a matrix consists of all vectors x such that Ax = 0. It is denotedby N(A). It is a subspace of Rⁿ, just as the column space was a subspace of R^m - P73

2B For any m by n matrix A there is a permutation P, a lower triangular L withunit diagonal, and an m by n echelon matrix U, such that PA = LU. - P79

2C If Ax 0 has more unknowns than equations (n> m), it has at least onespecial solution: There are more solutions than the trivial x = 0. - P81

Problem Set 2.2

10. Which of these rules give a correct definition of the rank of A?

(a) The number of nonzero rows in R.
(b) The number of columns minus the total number of rows.
(c) The number of columns minus the number of free columns.
(d) The number of 1s in R. - P86

2.3 Linear indepandence, basic, and Dimension

The goal of this section is to explain and use four ideas:

1. Linear independence or dependence.
2. Spanning a subspace.
3. Basis for a subspace (a set of vectors).
4. Dimension of a subspace (a number). - P92

2.4 THE FOUR FUNDAMENTAL SUBSPACES

The previous section dealt with definitions rather than constructions. We know what abasis is, but not how to find one. Now, starting from an explicit description of a subspace,
we would like to compute an explicit basis.
Subspaces can be described in two ways. First, we may be given a set of vectorsthat span the space. (Example: The columns span the column space.) Second, we maybe told which conditions the vectors in the space must satisfy. (Example: The nullspaceconsists of all vectors that satisfy Ax = 0.) - P102

세계제일의 영화를 만들려면 어떻게 해야 할까? 먼저...

세계제일의 영화를 만들려면 어떻게 해야 할까?

먼저 세계제일의 이야기가 있어야 한다.
그다음, 그것을 정제해서 영화에 맞게 각본화한 세계제일의시나리오가 만들어지고,
그 세계제일의 각본을 감독할 세계 최고의 감독이 필요하다.
그다음, 그 세계제일의 감독에 걸맞는 세계 최고의 스태프를불러 모으고,
마지막으로 세계 최고의 배우들을 섭외하면,
자연스레 세계제일의 영화가 나올 것이다. - P175

세계 최고라는 소설가, 각본가, 감독이라도 어느 순간 아무도 예상 못한 망작을만들어내도 이상하지 않은 게 이 바닥이다.
예술은 불안정한 인간의 관점을 기반으로 하고 있으며, 그런만큼 수치화, 정형화해서 파악하기가 힘들다. - P176

그래서 영화제작은 도박이라고들 한다.
스토리, 시나리오, 감독, 배우의 질은 그 도박의 확률을 높이는 수단에 지나지 않는다. - P176

영화판에도 당연히 그들이 선정한 세계제일이 존재하고 있다. 그러나 그들의 평가기준은 시장의 평가기준과는 좀 달라서 일반 사람들이 알 만한 사람은 그리 많지 않다. 들려오는말로 이미 거장이 된 유명한 헐리우드 감독, 각본가들 중에는 과거 그들이 선정한 세계제일이었던 사람들이 많다고 한다.
지금은 거장 대우를 받는 감독이라도, ‘그들‘ 의 평가기준에는이미 세계 최고의 능력이 없다고 판단한 것이다. - P177

세계제일의 이야기꾼이 만든 이야기를 세계제일의 각본가가각본화했고, 그 각본을 영화화할 세계제일의 감독을 섭외했다. 물론 여기에 세계제일의 조명감독, 조감독, 촬영감독, 기타 등등의 스태프들도 다 꾸렸다. 그리고 배우는 주연부터 조역까지 죄다 톱스타들로 섭외해냈다. 그 배우들 중에는 물론
‘그들‘이 선정한 세계제일의 배우들도 포함되어 있지. - P177

그러나 톱스타 배우들에게 투자한 건 돈이다. 여기에는 천문학적인 개런티가 들었다. 영화가 망하면 회사가 문제가 아니라 유서 쓰고 투신할 사람이 수백 명은 더 된다.
그리고 이 일의 책임자는 다름 아닌 나다.
지난 1년간 난 배우들의 섭외를 맡은 총책임자였다. - P178

사실 이건 내 능력이라기보다 자본주의의 힘이라고 하겠다. 이미 극한의 제작비를 쏟아붓는 영화 배우 개런티도 아낌이 없다.
뭐, 이런 상황이니 내 입장도 당연히 녹록치는 않았다. 그 어느 때보다 막중한 책임감이 어깨를 짓누른다. - P178

"그래, 내일 대본 리딩인데 배우들한테 확인전화는 다했어?"
"아뇨. 해야 돼요?"
......
난 책상에 앉은 채로 잠시 이마를 짚었다. 일이 바빠져서 새로 어시스턴트를 하나 구했는데 저런 얼빠진 계집애라니.
"지금 할까요?" - P179

난 황급히 자세를 고쳐 잡고 인사했다. 물론 받은 사람은 배우 당사자가 아니라 그 에이전시 회사의 매니저다.
"안녕하십니까. 접니다. 네네. 다름이 아니라 내일 리딩이라확인 차 한번 연락드렸습니다."
[아, 그렇지 않아도 이쪽에서 먼저 연락드리려고 했는데요.]
상대가 이렇게 말해오자마자 난 가슴이 철렁 내려앉았다. 배우가 먼저 연락해오는 경우는 대부분 좋은 소식이 아니기 때문이다. - P179

[세계제일이든 뭐든 어쨌든 테러범이잖아요. 아시겠지만9.11테러 이후에 테러라는 게 좀 민감한 부분이고, 최근엔 총기난사 사건이다 뭐다 사회적으로 흉흉한데 이미지적으로 이게 좀...... 무슨 말인지 아시죠?
"알죠. 근데 영화 아닙니까."
[음, 사실 A씨가 9.11로 사촌을 잃었어요. 그런 아픈 기억이있어서 배역에 좀 거부감이 드는 거 같아요.]
"그랬군요. 유감입니다." - P180

[그리고・・・・・・ 뭐, 우리끼리니까 다 까놓고 말합시다. 지금 A씨 형편 아시잖아요. 가뜩이나 스캔들 나서 여론이 안 좋은데 여기에 이런 배역 맡으면 이미지 수복 힘들어요. 대본 보면 마지막에 사람들 막 쏴죽이고 그러잖아요. 그럼 곤란해요. 그래서 말인데, 테러리스트 말고 다른 직업으로 좀 바꿀 수 없을까요? 이미지 괜찮은 걸로.] - P181

[A씨가 워낙 바쁘다 보니까 좀 그래요. 이해하시죠?]
한순간 혈압이 올라 세상이 빙글 돌았다.
아차, 하고 쓰러질 현기증을 이겨내며 난 이렇게 말했다.
"그럼요. 충분히 이해합니다."
[그럼, 잘된 걸로 알고 그렇게 전달하겠습니다.]
"예?"
내가 되물었지만 이미 전화는 끊어졌다. - P181

매치스틱 트웬티.
이 영화의 제목이다. 대략적인 시놉시스는 이렇다
‘그들‘에게 공인된 세계제일의 테러리스트라는 소녀가 건물을 점거 인질 20명을 잡는다.
그러나 총알이 모자라 인질을 다 죽일 수 없으므로 10명을 풀어주겠다 제안하고 인질들은 그 10명을 선별하기 위해 성냥개비 제비를 뽑기로 한다. 하지만 그때, 역시 ‘그들‘이 선별한 세계제일의 이야기꾼이라는 남자가 나타나 상황을 변화시킨다. - P182

이걸 바꿔달라니 제정신이냐?
배역을 바꾸면 이야기가 성립이 안 되잖아?
"그럼 다시 전화해서 안 된다고 하세요."
라고 철없는 어시스턴트는 말하지만 말도 안 되는 소리 하지마라. A양은 톱스타이고, 하이틴 스타이고, 제작 투자자들을 끌어 모은 이 영화의 티켓파워인 동시에, - P182

‘그들‘이 선정한 세계제일의 여배우다. 개런티로 움직이는 배우가 아냐. 당장 맘에 안 든다고 계약파기 해버려도 이상할게 없는 썅년이란 말이다. 상황 주도권을 다 가진 여자야. 이 여자랑 트러블 나면 영화 엎어진다.
"그럼 어떡하려고요?" - P183

조바심을 내다가 나중엔 풀이 죽어 수화기를 내려놓는 내게어시스턴트가 물어왔다.
"뭐래요?"
"각본가랑 상의해보고 연락 달라는군."
난 이렇게 대답하며 내려놓았던 수화기를 다시 들어 올린다.
이번엔 세계최고의 각본가다. - P186

책상 앞에서 어시스턴트가 벌레 씹은 얼굴로 날 쳐다보든 말든. 난 미친 듯이 오버해서 웃으며 떠들어댔다. 물론 그러다가곧 은근슬쩍 본론을 꺼내 든다.
"아, 근데요...... 뭐랄까 그 테러리스트 말인데요. 네, 여자테러리스트요. A씨 배역, 오늘 A씨가 하는 말 가만 들어보니까 참 기구하더라고요. A씨 아버지가 9.11테러로 돌아가셨다지 뭡니까? 그래서 자기가 테러범 역할을 하는 게 참 마음에걸리는 모양이에요."
"아버지가 아니라 사촌 아니었어요?"
여지없이 들어오는 어시스턴트의 딴지에 난 눈을 부라렸다. - P184

"역시 그렇죠? 그럼요. 그걸 바꾸면 이야기가 안 되죠. 네네,
저도 그냥 해본 말이었어요. A씨가 워낙 상처가 깊은 거 같아서・・・・・・ 네네, 알겠습니다. 내일 리딩에 나오실 거죠? 나오셔서 배우들하고 인사도 하고 그러세요. 다들 뵙고 싶어 합니다. 최고의 각본이거든요. 네네, 네에."
전화를 끊음과 동시에 내 웃음도 사라진다. - P185

"네네, 지금 작가분하고 이야기를 해봤는데요.………… 그게 저기......."
[아, 그렇지 않아도 방금 A씨하고 이야기를 했습니다. A씨는간호사가 어떨까 하더군요.] - P185

"그럼요. 이제 A씨도 20대인데 그런 역할을 당연히 하셔야죠. 저도 사실 그런 부분이 못내 아쉽고 그랬습니다."
[그렇죠? 그럼 그렇게 알고 A씨에게 전하겠습니다.]
"자, 잠깐만요. 근데 간호사로 바꾸면・・・・・・ 이야기가 좀..…………뭐랄까. 애초에 배경 자체가 테러리스트가 빌딩을 장악하면서 발단이 되는 건데……………
"
[그럼 배경을 병원으로 하면 되겠네요.] - P186

"구경났어? 여기서 주절거리지 말고, D씨 확인전화 어떻게됐어?"
"전화 안 받아요."
"다시 해. 그럼." 스난 다시 몸을 일으키고 전화번호를 누르며 염원한다.
세계제일의 각본가가 세계제일의 이해심도 같이 가지고 있으면 좋겠다. - P187

"네네, 접니다. 네. 아무래도 말인데요……. A씨 배역을 간호사로 좀 바꿀 수 없을까요? 하하. 네, 농담 아닙니다. 네네, 물론 그렇죠. 그러니까 배경도 병원으로…………… 네. 죄송합니다. 그야 스토리는 선생님께서 좀 잘 다듬어주시면 어떻게 될 거 같은데요."
이때 갑자기 어시스턴트가 지나가는 말로 초를 쳤다.
"그게 어떻게 될 리가 없잖아요."
"넌 그냥 입 다물고 시키는 대로나 해!" - P187

전화를 끊고 고개를 들어보니 어시스턴트가 한심한 눈초리로 날 들여다보고 있었다.
"내가 박쥐같은 인간이라고 생각하나?"
"네."
단호하게 고개를 끄덕인 그녀가 연이어 물어왔다.
"A씨 사무소에 연락 넣을까요?"
"거기 연락해서 어쩌게?" - P188

아름답고 착하고 지적인 세계제일의 간호사가 병원의 환자들을 인질로 잡았다.
왜일까?
[히스테리라거나 정신분열이라거나 원래 사이코라거나 많은이유가 있겠지.]
그런 부정적 이유는 안 돼. A라는 이름의 썅년은 포지티브한 역할을 원한다고.
[그럼 뭐, 정의를 위해?] - P189

아하 그러니까 그 간호사밖에 위기상황을 인지 못하고? 외부에서는 그녀를 이해 못하고 그냥 미치광이로 몬다?
[그렇지!]
날림치고는 제법이군.
[후후, 그렇지?]
그걸로 가지! 10분 내에 각본으로 수정해서 보내.
・・・・・라고 말하고 전화를 끊자마자 자연스럽게 어시스턴트가물어온다.
"누구예요?" - P190

들어둬라. 세상 어떤 훌륭한 각본이든지 촬영 때까지 상처 없이 무사한 각본은 존재하지 않아.
그 퀄리티에 상관없이 말이야. - P190

"예, 감독님? 접니다. 각본가랑 상의해서 내용을 좀 바꾸었는데………… 시간이없어서 일단 바꾼 각본을 먼저 보내드렸습니다. 확인을......."
[확인했소.]
"아, 그러셨군요. 보시기에 어떠신지……………."
[우선 말해둘 건 난 영화감독이오.] - P191

[하지만 두 번째 철칙이 또 있소. 한번 계약한 영화는 무조건찍는다.‘ 요. 상황이 어떻든 중간에 때려치우는 일은 없소. 그건 스스로 내 무능을 증명하는 일이기 때문이오. 스토리가 개차반이라도 훌륭한 영상으로 만들어내는 것이 감독 능력이란 소리지] - P192

"네・・・・・・ 말씀하시죠."
[어떻게 간호사가 총을 구했지?
"그야..... 그럼 총이 아니라 칼이나 약품이나 뭐 그런 걸로할까요?"
[스토리상 총알이 모자라 인질을 풀어주겠다고 하잖소.]그렇구나. 그럼 원래 간호사가 호신용으로다가 총을 가지고있었다거나 뭐・・・・・・
[말이 안 되오, 일단 그 부분의 수정을 요구하고, 그다음] - P192

[세계제일은 거짓말을 못 하오.] - P193

감독과 통화를 끝내자마자 난 다시 각본용병에게 전화를 걸었다.
감독이 꼬치꼬치 지적한 사항에 대한 설명을 들은 용병은 태연스레 이리 말한다.
[듣고 보니 그러네?]
듣고 보니 그래? 네가 그러니까 세계제일은 고사하고 땜빵이나 때워주는 일용직이 되어있는 거다. - P193

"근데요. D씨한테 연락이 닿았는데요."
"그래, 잘했어. 내일 리딩이라고 확실히 전했지"
"그게 아니라..... A씨가 원해서 각본을 간호사역으로 바꾸고 배경을 병원으로 고쳤다고 하니까 막 화를 내던데요."
난 당장에 담배를 비벼 끄고 기대있던 상체를 곧추세웠다.
"그런 말을 왜 해!"
"어차피 지금 수정대본 다 보낼 거잖아요. 알게 될 일인데." - P194

예컨대 얼마 전 왕년의 액션 대배우들이 모두 모여 찍은 영화도 있지 않았는가. 여기는 엄청난 톱스타도 카메오로 나오고 막 그런다.
바로 그런 예를 들어 배우들을 설득했다.
배우 D씨도 그런 케이스. 이번 영화에선 인질 20인 중 한명이라는 비중 없는 조연이지만, 사실 경륜 있는 배우다. - P194

하지만 그것보다 가장 큰 문제는 뭐냐면 이 배우 D씨도 세계제일의 배우라는 것인데.
"근데 세계제일의 남자배우를 왜 조연으로 계약했어요?"
세계제일의 조연배우다.
"그런 사람도 있어요? 그럼 청장역은 세계제일의 악역배우인가요?"
잘 아네.
"여하튼 지금 수습할 거니까 자넨 입 다물고 있어." - P195

"알겠습니다. 하시는 말씀이 백프로 옳습니다. 그렇잖아도저도 도저히 이게 아니다 싶었어요. 당장 A씨한테 전화해서담판 짓겠습니다. 네." - P195

우선 이 문제를 간단히 분석해 보자. 여학생 15명...

우선 이 문제를 간단히 분석해 보자.

여학생 15명을 3명씩 짝을 지으면 하루에 5팀, 일주일이면 5x7=35팀이 된다. 한 팀 3명을 A, B, C로 표현하면 AB, BC, CA등 3가지의 2인 조합이 나온다. 35팀의 경우 3×35=105가지 2인조합이 나온다. 문제는 여학생 2명이 한 번씩만 짝을 지어 산책을한다는 것이다. 15명 중 2명을 뽑는 조합의 수는 105로 앞서 계산한 2인조합의 수와 같고 이 결과가 합리적이라는 것을 확인할수 있다. - P198

이 5개의 변수는 독립적이지 않고 그들 사이에 관계가 있다. 예를 들어, ‘총 인원수 X 산책 일수 = 총 팀수‘이다. - P198

이런 문제를 수학에서는 ‘블록 설계block design‘라고 하는데, 우리의 목표는 여학생이 산책하는 그룹, 즉 ‘팀별‘, 또는 줄여서 ‘블록‘을 디자인하는 것이기 때문이다. 또 최종 설계는 전체 15명중 3명을 조합할 필요가 없기 때문에 ‘불완전 블록 설계incompleteblock design‘라고 부른다. - P199

따라서 이 문제는 일반적으로 영어로 약칭 ‘BIBD 설계 문제‘라고하는 ‘균형 불완전 블록 설계 balanced incomplete block design‘ 문제에 속한다. 특정 변수의 BIBD 설계 문제는 일반적으로 (b, v, r, k, λ)로 표시한다. - P199

우리는 (15, 3, 1)-BIBD 설계 문제로 변경한 후에 많은 것을 기억하기가 쉬워졌다. 이제 원래 문제를 다음과 같이 수정할 수 있다.


15명의 여학생을 임의의 2명이 한 번만 같은 팀이 되도록 3명씩 팀으로 나누어라. - P200

모든 그림을 겹쳐 놓았을 때, 이 그림이 구현한 결과를 ‘슈타이너계Steiner system‘라고 하는데, 슈타이너계는 일종의 BIBD 설계 문제 중 하나의 솔루션 형식이다.  - P201

슈타이너 역시 다소 늦깎이 수학자라고 할 수 있다. 커크먼이 여학생 산책 문제를 제기하기 몇 년 전, 슈타이너도 마침 조합 문제를 연구하고 있었다. 슈타이너가 이때 연구한 문제를 이후 ‘슈타이너계‘라고 명명했는데, 그중 가장 기본적인 연구 대상은 ‘슈타이너 삼원계 Steiner triple system‘이다. ‘삼원계‘는 세 개씩 짝을 이룬다는 뜻이다. - P202

커크먼 여학생 산책 문제는 3명씩 팀을 이루는 경우에 대한 질문이었다. 1인 1팀 또는 2인 1팀의 문제는 모두 평범하며, 3인이 한 팀일 때 연구할 가치가 있다. 그래서 슈타이너 삼원계는BIBD 설계 문제 중 가장 기초적인 문제이다. - P202

 각각 총인원이 7과 15인 경우인데 다른 숫자로 슈타이너 삼원계를 만들 수 있을까? 분명한 것은 안 되는 숫자가 훨씬 많다는 것이다. 고려해야 할 첫 번째 조건은 바로 이 총인원수가 앞에서 말한 조건(5개의 변수는 두 개의 등식을 만족해야 하는데 그렇지 않으면 일부 변수는 정수가 아니므로 만족하지 않는다)을 만족해야 한다. 따라서 이 두 등식은 필요조건이다. - P203

그렇다면 충분조건은 아닐까? 아니다. 1844년 커크먼은 슈타이너 삼원계의 존재를 증명하기 위한 필요충분조건은 총인원수를 6으로 나눈 나머지가 1 또는 3이라는 것을 밝혔다.

v = 1 (mod 6) 또는 v = 3 (mod 6)
이것은 아주 멋진 결론이며 또한 필요충분조건이다. - P203

이후 사람들은 커크먼의 이러한 지속적인 분해 방식을 ‘분해가능한 균형 불완전 블록 설계 Resolvable balanced incomplete block design‘라고 불렀으며, 줄여서 ‘RBIBD 설계 문제‘라고 하였다. 만약 슈타이너 삼원계에 RBIBD 설계가 존재한다면 이를 커크먼 삼원계Kirkman triple system라고 할 수 있다. - P204

또 하나의 문제는 어떤 슈타이너 삼원계가 커크먼 삼원계인가하는 것이다. 이 문제는 슈타이너 삼원계의 존재 문제보다 훨씬 어렵다. - P204

다음으로, 사원계와 오원계 등의 존재성에 대해 궁금할 것이다. 오랫동안 수학자들은 무수히 많은 슈타이너 사원계와 오원계가 존재하는지를 파헤쳤다. 2014년 피터 키바쉬Peter keerash의 논문은 이에 긍정적인 답을 내놓았다. - P205

Let‘s play with MATH together

21명의 여학생이 있다. 각각 3명, 7명으로 팀을 짜서 다니는데 수치상으로만 분석하면 BIBD 설계 문제를 찾아낼 수 있을까? 더 나아가 커크먼 산책 설계가 존재할까?
n이 소수인 경우 간단한 방법으로 (n², n, 1) 설계를 만들 수 있다.
(5² ,5, 1) 설계를 구성해 보자. - P206

[Q] 21명의 여학생이 있다. 각각 3명, 7명으로 팀을 짜서 다니는데 숫자로만 분석하면 BIBD 설계 문제를 찾아낼 수 있을까?
더 나아가 커크먼 산책 설계가 존재할까?

[A] BIBD 설계 문제가 존재하는 필요조건은 총 인원을 6으로나눈 나머지가 1 또는 3이다. 21을 6으로 나눈 나머지가 3이므로이 조건에 부합한다.
커크먼 산책 설계의 경우 3명이 한 팀이 되면 매일 2명씩 같은팀이 될 수 있으며, 이론적으로 10일 후 모든 사람이 ‘아는‘ 것이가능하다. 때문에 (70, 21, 10, 3, 1) 산책 설계가 존재하며 구체적인 방안은 독자 스스로 찾도록 남겨두겠다.
만약 7명이 한 팀이 되어 하루에 6명을 ‘아는‘ 경우, 며칠 후 20명을 알 수는 없다. 그래서 7명씩 팀을 이룬 커크먼 산책 설계는존재하지 않는다. - P371

[Q] 이 소수인 경우 간단한 방법으로 (n², n, 1) 설계를 만들수 있다. (5², 5, 1) 설계를 구성해 보자.

[A] 이 설계의 결과는 다음과 같다.
[1, 2, 3, 4, 5], [6, 7, 8, 9, 10], [11, 12, 13, 14, 15], [16, 17, 18, 19, 20],
[21, 22, 23, 24, 25][1, 6, 11, 16, 21], [2, 7, 12, 17, 22], [3, 8, 13, 18, 23], [4, 9, 14, 19, 24],
[5, 10, 15, 20, 25][1, 7, 13, 19, 25], [2, 8, 14, 20, 21], [3, 9, 15, 16, 22], [4, 10, 11, 17, 23].
[5, 6, 12, 18, 24][1, 8, 15, 17, 24], [2, 9, 11, 18, 25], [3, 10, 12, 19, 21], [4, 6, 13, 20, 22],
[5, 7, 14, 16, 23][1, 9, 12, 20, 23], [2, 10, 13, 16, 24], [3, 6, 14, 17, 25], [4, 7, 15, 18, 21],
[5, 8, 11, 19, 22][1, 10, 14, 18, 22], [2, 6, 15, 19, 23], [3, 7, 11, 20, 24], [4, 8, 12, 16, 25].
[5,9, 13, 17, 21] - P372

24차원 결정의 고유한 대칭

앞서 소수 차수 순환군에서 5차 이상의 교대군 및 ‘리 형태 단순군‘의 세 가지 주요 범주를 언급하였다. 하지만 우주에는 26개의 산재군이 더 존재한다. ‘산재‘는 바로 바깥에 흩어져 독립적으로 행동한다는 뜻이다. - P341

26개의 군은 참으로 이상하다. 수학자들은 이들 사이에 강하거나 약한 연관성에 따라 4가지로 분류한다. 가장 먼저 발견된 부류는 마티외 군Mathieu group‘이라고 불리는데, 1860년대에서 70년대에 걸쳐 프랑스의 수학자 마티외에 의해 발견되었으며, 심지어리 형태 단순군보다 더 일찍 발견되었다. - P341

종이 위에 마음대로 7개의 점을 그리고 이 점들을 연결하되 세 점이 일직선 상에 있지 않은 임의의 곡선으로 연결되어야 한다. 임의의 두 점은 하나의 선으로만 연결, 즉 어떤 두 점 사이에 선이 없거나 하나의 선만 존재한다. - P341

만약 n개의 점이 있다고 가정하면, 각 변은 t개의 점을 포함하며 k개의 점이 하나의 선으로 연결된다. 따라서 n, t, k의 3개의 매개변수를 가지며 S(k, t, n)으로 나타낸다. 이것은 앞에서 다룬 S(2, 3, 7)이다. 분명한 것은 임의의 n, t, k조합으로 슈타이너계를 만들 수 없다. - P342

이것은 간단한 순열 조합 문제인 것 같지만, 그 안에 담긴 문제의의미는 매우 어렵다. 2014년이 되어서야 t=4와 t=5의 슈타이노계가 무한히 많다는 것이 입증되었다. - P342

1931년 어떤 수학자는 마티외가 슈타이너계를 분석해서 얻은군은 아니지만, 군 M_12는 사실 12개 점의 슈타이너계에 포함되어있다는 사실을 발견했다. 이 슈타이너계는 S(5, 6, 12) 즉, 평면상의 12개의 점에서 5개의 점이 직선 위에 오도록 6개의 점을 하나의 선으로 연결한다. - P343

나는 이 결론을 보고 슈타이너계가 도대체 어떻게 생겼는지 보고 싶었지만, 놀랍게도 인터넷에서 실제로 12개의 점의 슈타이너계를 그릴 수 있다는 사람을 발견하지 못했다. - P343

1871년 마티외는 또 다른 4개의 마티외 군을 발견했다. 후에 사람들은 이 몇 개의 마티외 군이 특정한 슈타이너계에 포함되어 있다는 것을 발견하였다. 어떤 방식으로든 무한한 군을 도출할 수 있다. 하지만 그 많은 군 중에서 공교롭게도5개의 마티외 군이 서로 다른 유한 단순군으로 구성되어 있다는 점이다. - P344

위와 같은 문제를 ‘입맞춤 수 문제‘라고 하는데, 이는 마치 바깥의 구가 안쪽 구에 입맞춤을 하는 것과 같기 때문이다. 또한 당구게임에서 의도하지 않은 방향으로 공이 진행될 때 생기는 접촉을
‘키스kiss‘라고 부르는데, 이것이 바로 이 명칭의 내력이다. - P345

2차원, 3차원, 4차원의 입맞춤 수가 각각 6, 12, 24인 것으로 보아 한 차원이 증가할 때마다 2배가 되는 건 아닐까? 틀렸다. 5차원의 입맞춤 수에 대해 수학자는 정확한 숫자는 모르지만, 그 상한이 44라는 것을 알고 있기 때문에 48일 리가 없다. - P347

다시 한번, 또 뜻밖의 일이 발생했다. 5차원 이상에서 수학자가정확한 입맞춤 수를 얻을 수 있는 차원은 두 개밖에 없다. 이것이바로 8차원과 24차원이다. 24차원 입맞춤 수는 196,560개로 이는 24차원 공간에서 구 하나가 최대 196,560개의 구와 동시에 접할 수 있다는 뜻이다. - P347

 1940년 독일의 수학자 에른스트 비트Ernst Witt가 24차원 입맞춤 수를 발견했다고 추측하지만, 결론이 발표되진 않았다. 1967년 영국의 수학자 존 리치가 24차원의 입맞춤 수를 공식적으로 증명했다. - P347

어쨌든 24차원 공간에서 구 하나가 동시에 196,560개의 구와접하는 모양은 하나의 결정 모양으로 일반화되어 ‘리치 격자‘라는이름이 붙었다.  - P349

1967년, 리치는 ‘리치 격자‘를 발견하자 그 속에 단순군 구조가있는지 알고 싶어 다른 수학자들에게 도움을 청해 함께 연구했다. 콘웨이는 리치의 연구에 매우 흥미가 있어서 이 임무를 맡았다. - P349

첫 번째 토요일 노후에 그는 종이 뭉치를 몇 뭉치나 써 버리고, 6시간의 연산을 거치면서 거의 새로운 유한 단순군을 발견할 것 같은 느낌이 들었다.
흥분을 참지 못한 콘웨이는 같은 케임브리지대에 근무하는 동료이자 절친인 존 톰슨에게 전화를 걸어 자신이 새로운 산재군을찾았다고 생각하지만, 그것의 차수가 리치 격자 동형 군 자체의차수인지, 아니면 그것의 절반인지 확실하지 않다고 말했다. - P350

하지만 전화를 끊은 콘웨이는 잠을 이루지 못하고 계속 계산에몰두했고, 낮 12시가 넘어서도 톰슨에게 한 차례 통화하며 상황을 주고받았다. 이후 며칠 동안 두 사람은 훗날 ‘Co_1, Conway group Col‘
으로 불리는 관련 계산과 증명이 완료될 때까지 호흡을 맞췄다.
결국 ‘Co_1‘의 발견은 기본적으로 며칠 안에 완성되었다. 수학자는잠재적인 발견에 대한 갈망의 정도가 결코 금광을 캐는 사람 못지않다. - P350

그 후 얼마 지나지 않아 사람들은 리치 격자 및 콘웨이 군에서다른 4개의 단군(히그만-심즈 군(Hs), Hall-Janko 군(J2), 매클로플린군(MC), 스즈키 군(Suz))을 관찰했다. 이 4개 군에 세 개의 콘웨이군을 더하여 ‘제 2세대 산재군‘이라고 한다. - P351

뜻밖에 발견된 두 영역의 연관성

이미 다룬 내용 외에 나머지 산재군에 대한 이야기를 하려고한다. 이 중 하나는 모든 산재군 중에서 원소가 가장 많다. 그것의이름은 매우 매력적인데 ‘몬스터 군Monster group‘이다. - P352

 1973년 그와 그의 아내는 손계산으로 마침내 이 ‘더 큰‘ 군을 계산해냈는데, 이 군의 차수는 대략 4x10(나중에 ‘작은 몬스터군Baby Monter group. 小魔群‘으로 불렸다)에 이른다.
Pizz가 ‘더 큰‘ 군에 포함되었으므로 Fi23, Fi24는 ‘더 큰‘ 군에 포함시켜야 한다.  - P353

다행히 콘웨이의 동료인 존 톰슨은 군의 차수를 계산하는 알고리즘을 발명하였고, 이를 이용해 군의 차수의 상한을 정할 수 있었다. 당시 휴렛Hewlett은 (파이겐바움도 사용했던) HP-65라는 계산기를 출시했다. - P353

수년 후, 이 표는 콘웨이의 책에 8페이지 분량을 차지했다. 여기서 짚고 넘어가야 할 사건이 있는데, 당시 케임브리지 대학의 젊은 수학자 노튼은 계산으로 이 특성표의 두 번째 행이 숫자
‘196883‘으로 시작될 수 있다고 설명했다. - P354

앞서 우리는 모든 유한군이 치환군이라고 했다. 수학자는 ‘큰 몬스터 군을 치환군을 이용한 방식으로 그려내려면 10²⁰개의 원소가 있는 집합에 치환을 정의해야 한다. 이는 계산하거나 쓰는 것이 전혀 불가능하다는 것을 발견했다.  - P355

이 방법은 앞의 노튼이 계산한 196883이라는 숫자를 사용했다. 노튼은 만약 ‘큰 몬스터 군‘이 존재한다면 196884차원 공간에서 어떤 대수적 구조를 유지한다는 것을 증명했기 때문이다. 만약 이런 대수적 구조를 만들어낸다면, 이 군을 만들어내는 것과 동등하다고 생각했다. - P355

그렇다면 ‘큰 몬스터 군‘은 과연 얼마나 클까? 그것의 차수는 약 8×10⁵²이다. 그리고 앞서 말한 바와 같이 196883차원의 선형공간에서 비로소 이 군의 구조를 나타낼 수 있다. - P356

콘웨이와 노튼이 계산해 확인한 결과, 결코 우연이 아니라 ‘큰 몬스터 군‘과모형식 사이의 필연적인 연결이었다. 이번에도 콘웨이는 장난꾸러기 본색을 드러냈고, 그는 이런 연결을 ‘기묘한 달빛moonshine‘
이라고 표현했다.  - P358

 그리고 이 단어의 어근은 ‘몬스터monster(악마)‘에서 왔기 때문에 여기에 약간 이중적인 의미가 있다. ‘moonshine‘이라는 단어는 콘웨이가196883과 196884 사이의 우연의 일치에 대해 처음 들었을 때의 반응에서 유래했다고 한다 - P358

[오늘의 한문장] 수학의 매력

세 사람이 길을 가면 반드시 순열 조합 문제가 있다!

1850년 영국의 「레이디즈 앤드 젠틀먼즈 다이어리LADY‘S ANDGENTLEMAN‘S DIARY」 라는 잡지에 다음과 같은 수학 문제가 실렸다.

15명의 여학생이 매일 한 번씩 3명씩 팀을 이루어 산책을 한다. 7일동안 임의의 두 사람이 한 번 같이 산책하도록 하려면 팀을 어떻게 나누면 될까? - P196

어떤 내용일까? (전략) 그러나 1500년대에 사람...

어떤 내용일까?

(전략)
그러나 1500년대에 사람들이 대서양을 건너기 시작하자 상황은 바뀌었다. 지도 제작업자들은 세계 전체를 아우르는 지도를 만들기 시작했는데 그 결과 왜곡을 도저히 피할 수 없었다. 지도는 편평하지만 지구의 평균 곡률은 0이 아니기 때문이다(30쪽, 곡률‘ 참고), 지도를 제작하려면 어떤 요소를 포기할 수밖에 없다. 거리와 면적이 왜곡되거나 아니면 각도와 위치가 왜곡되거나, 어느 하나는 불가피했다. - P110

이 방정식은 왜 중요할까?

(전략)
16세기의 선원들은 세계 지도를 사용해 바다 위에서 길을 찾으며 항해했다. 이때 지도가 조금만 부정확해도 배는 목표지에서 크게 벗어났다. 식량이 부족한 상황에서 그것은 정말 나쁜 소식이었다. 그 결과 등그런 구를 평면 지도 상에 옮기는 좋은 방법을 찾는것이 큰 도전 과제가 되었다. - P111

더 자세하게 앟라보자.

(전략)
메르카토르 도법을 정의하는 방정식은 17세기 수학자 헨리 본드(Henry Bond)가 발견했다. 이 방정식은 지구 상의 각 지점을 지도 위의 점과 대응시키는 수학적인 방법을 제안한다. 속도가빠른 돛배에서는 이것이 더 편리한 방식이었다. - P111

여러분은 아마 전구의 빛이 지구본의 북극을 통과하면서 전등갓의 맨 위로 빠져나가지 않을까 걱정할지도 모른다. 사실 맞는 말이다. 앞서 전등갓의 길이가 높아야 한다고 말했는데, 이 높이가 중요하다. 지구 전체를 지도에 옮기려면 원통의 길이가 무한히 높아야 한다. 아무리 그렇더라도 북극과 남극이라는 두 점의 정확한 위치는 사라지고 만다. 하지만 이 문제가 그렇게 심각하지는 않다.  - P112

오늘날 메르카토르 도법은 램버트 원뿔 도법이라는 방식의 하나로 분류된다. 어떤 의미에서는 이 방식가운데 가장 극단적인 사례다.  - P112

이제 원뿔의 높이를 점점 편평하게 낮춰보자. 결국에는 지구본 위에 놓이는 한 장의 종이가 될 것이다.
이것은 일종의 평사도법이다. 한가운데의 전구에서 나오는 빛줄기는 북반구의 여러 지점들을 지나 종이 위에투사된다. - P112

상상력을 발휘해 원통을 하나 더 떠올려보자. 그리고 이 원통을 꼭대기 점이 무척 높은 곳에 있는 길고 가파른 원뿔로 바꿔보자. 이제 조금씩 높이를 낮추면, 원뿔은 덜 가팔라지고 결국에는 꼭대기 점이 지구의 북극과 맞붙을 것이다. 이 순간에 원뿔을 이루는 종이는 편평해진다. 이 연속적인 배열이 램버트 원뿔 도법을 만들어낸다. - P113

지구같이 완전한 원이 아닌 회전 타원체를 편평한 지도에 옮기는 작업은 까다롭다. 그중에서도 메르카토르 도법은 여러 가지를 절충해서 나온 가장 최초의,
가장 성공적인 방식이다. - P113

어떤 내용일까?

우리는 3차원의 세계에 산다. 이 세계에서는 일반적인기하학의 법칙이 적용된다. 하지만 우리는 구체의 표면위에서도 산다. 그렇기 때문에 가끔은 다른 종류의 기하학을 사용해야 한다(114쪽, ‘구면 삼각법‘ 참고). 
- P118

2차원 이미지와 3차원 공간, 그리고 그것들이 드러내는 사물들 사이의 관계를 다루는 분야를 사영기하학이라 부른다. 그리고 그 중심에는 교차비율이 자리한다. - P118

이 방정식은 왜 중요할까?

여러분은 아마 이제 ‘카메라는 거짓말을 하지 않는다‘
라는 오래된 격언에 의심을 품었을 것이다. - P119

연구자들은 얼굴 인식이나 2차원 이미지에서 3차원 공간을 추론하는 등의 어려운 문제들을 다룰 때교차비율을 활용한다. 사영기하학은 천문학을 포함한 과학의 다양한 분야에서 폭넓게 적용된다. - P119

사영기하학을 활용해, 컴퓨터 안에서 완전히 구성된 3차원 대상의 모형을 우리 앞 화면 위에서 특정한 관점으로 만들어진 묘사로 옮겨놓는다. 개발자들은 카메라의 관점이 단단한물체나 공간 주변으로 움직이는 것을 상상한다. 사실카메라는 존재하지 않지만 말이다. 기하학이 그 추상적인 작업을 전부 해내는 것이다. - P120

어떤 내용일까?

단단한 물체를 한데 붙드는 것은 구성 성분인 원자와분자들 사이 힘들의 복잡한 연결망이다. 탁자 위에 머그잔을 올려놓았을 때 깨지지 않은 채 탁자가 머그잔의 무게를 지탱하는 것도 힘의 연결망 덕분이다. - P122

더 자세하게 알아보자

공학자들에게 도움이 되는 건 코시 응력 텐서다. ‘텐서‘
란 여러 가지 정보를 한데 묶는 무척 유용한 수학적인요소다. 텐서가 구체적으로 무엇인지는 중요하지 않다.
중요한 사실은 코시 응력 텐서가 다양한 종류의 응력을 한데 모은 묶음이며, 어떤 지점이 받는 응력의 전체적인 효과를 계산하도록 돕는다는 점이다. - P122

물질 속 응력에 대한 이런 설명은 놀랄 만큼 구체적인 부분까지 들어가지만 다루기는 꽤 간단하다. 공학자들은 텐서장을 활용하며, 우리는 텐서장이 수학적으로 어떻게 작동하는지에 대해 많은 사실을 알고 있다. 수십억 개의 분자 사이에 작용하는 힘에 대한 무척복잡해 보이는 문제들도 이런 수학적 도구를 사용하면우아하고 다루기 쉬워진다. 응력에 대한 이런 구체적인모형은 오늘날 공학과 건축 분야에서 놀라운 성취를 이끌었다. - P123