어떤 내용일까?
(전략)
그러나 1500년대에 사람들이 대서양을 건너기 시작하자 상황은 바뀌었다. 지도 제작업자들은 세계 전체를 아우르는 지도를 만들기 시작했는데 그 결과 왜곡을 도저히 피할 수 없었다. 지도는 편평하지만 지구의 평균 곡률은 0이 아니기 때문이다(30쪽, 곡률‘ 참고), 지도를 제작하려면 어떤 요소를 포기할 수밖에 없다. 거리와 면적이 왜곡되거나 아니면 각도와 위치가 왜곡되거나, 어느 하나는 불가피했다. - P110
이 방정식은 왜 중요할까?
(전략)
16세기의 선원들은 세계 지도를 사용해 바다 위에서 길을 찾으며 항해했다. 이때 지도가 조금만 부정확해도 배는 목표지에서 크게 벗어났다. 식량이 부족한 상황에서 그것은 정말 나쁜 소식이었다. 그 결과 등그런 구를 평면 지도 상에 옮기는 좋은 방법을 찾는것이 큰 도전 과제가 되었다. - P111
더 자세하게 앟라보자.
(전략)
메르카토르 도법을 정의하는 방정식은 17세기 수학자 헨리 본드(Henry Bond)가 발견했다. 이 방정식은 지구 상의 각 지점을 지도 위의 점과 대응시키는 수학적인 방법을 제안한다. 속도가빠른 돛배에서는 이것이 더 편리한 방식이었다. - P111
여러분은 아마 전구의 빛이 지구본의 북극을 통과하면서 전등갓의 맨 위로 빠져나가지 않을까 걱정할지도 모른다. 사실 맞는 말이다. 앞서 전등갓의 길이가 높아야 한다고 말했는데, 이 높이가 중요하다. 지구 전체를 지도에 옮기려면 원통의 길이가 무한히 높아야 한다. 아무리 그렇더라도 북극과 남극이라는 두 점의 정확한 위치는 사라지고 만다. 하지만 이 문제가 그렇게 심각하지는 않다. - P112
오늘날 메르카토르 도법은 램버트 원뿔 도법이라는 방식의 하나로 분류된다. 어떤 의미에서는 이 방식가운데 가장 극단적인 사례다. - P112
이제 원뿔의 높이를 점점 편평하게 낮춰보자. 결국에는 지구본 위에 놓이는 한 장의 종이가 될 것이다.
이것은 일종의 평사도법이다. 한가운데의 전구에서 나오는 빛줄기는 북반구의 여러 지점들을 지나 종이 위에투사된다. - P112
상상력을 발휘해 원통을 하나 더 떠올려보자. 그리고 이 원통을 꼭대기 점이 무척 높은 곳에 있는 길고 가파른 원뿔로 바꿔보자. 이제 조금씩 높이를 낮추면, 원뿔은 덜 가팔라지고 결국에는 꼭대기 점이 지구의 북극과 맞붙을 것이다. 이 순간에 원뿔을 이루는 종이는 편평해진다. 이 연속적인 배열이 램버트 원뿔 도법을 만들어낸다. - P113
지구같이 완전한 원이 아닌 회전 타원체를 편평한 지도에 옮기는 작업은 까다롭다. 그중에서도 메르카토르 도법은 여러 가지를 절충해서 나온 가장 최초의,
가장 성공적인 방식이다. - P113
어떤 내용일까?
우리는 3차원의 세계에 산다. 이 세계에서는 일반적인기하학의 법칙이 적용된다. 하지만 우리는 구체의 표면위에서도 산다. 그렇기 때문에 가끔은 다른 종류의 기하학을 사용해야 한다(114쪽, ‘구면 삼각법‘ 참고).
- P118
2차원 이미지와 3차원 공간, 그리고 그것들이 드러내는 사물들 사이의 관계를 다루는 분야를 사영기하학이라 부른다. 그리고 그 중심에는 교차비율이 자리한다. - P118
이 방정식은 왜 중요할까?
여러분은 아마 이제 ‘카메라는 거짓말을 하지 않는다‘
라는 오래된 격언에 의심을 품었을 것이다. - P119
연구자들은 얼굴 인식이나 2차원 이미지에서 3차원 공간을 추론하는 등의 어려운 문제들을 다룰 때교차비율을 활용한다. 사영기하학은 천문학을 포함한 과학의 다양한 분야에서 폭넓게 적용된다. - P119
사영기하학을 활용해, 컴퓨터 안에서 완전히 구성된 3차원 대상의 모형을 우리 앞 화면 위에서 특정한 관점으로 만들어진 묘사로 옮겨놓는다. 개발자들은 카메라의 관점이 단단한물체나 공간 주변으로 움직이는 것을 상상한다. 사실카메라는 존재하지 않지만 말이다. 기하학이 그 추상적인 작업을 전부 해내는 것이다. - P120
어떤 내용일까?
단단한 물체를 한데 붙드는 것은 구성 성분인 원자와분자들 사이 힘들의 복잡한 연결망이다. 탁자 위에 머그잔을 올려놓았을 때 깨지지 않은 채 탁자가 머그잔의 무게를 지탱하는 것도 힘의 연결망 덕분이다. - P122
더 자세하게 알아보자
공학자들에게 도움이 되는 건 코시 응력 텐서다. ‘텐서‘
란 여러 가지 정보를 한데 묶는 무척 유용한 수학적인요소다. 텐서가 구체적으로 무엇인지는 중요하지 않다.
중요한 사실은 코시 응력 텐서가 다양한 종류의 응력을 한데 모은 묶음이며, 어떤 지점이 받는 응력의 전체적인 효과를 계산하도록 돕는다는 점이다. - P122
물질 속 응력에 대한 이런 설명은 놀랄 만큼 구체적인 부분까지 들어가지만 다루기는 꽤 간단하다. 공학자들은 텐서장을 활용하며, 우리는 텐서장이 수학적으로 어떻게 작동하는지에 대해 많은 사실을 알고 있다. 수십억 개의 분자 사이에 작용하는 힘에 대한 무척복잡해 보이는 문제들도 이런 수학적 도구를 사용하면우아하고 다루기 쉬워진다. 응력에 대한 이런 구체적인모형은 오늘날 공학과 건축 분야에서 놀라운 성취를 이끌었다. - P123
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