운동에 대한 이러한 수학적 개념이 운동이라는 물리적 현상 개념을 만족시키는가? 우리의 직관으로 볼 때, 운동이란, 물체가 매번 다른 순간에 다른 지점에 있는 것 이상의 그 무엇이 아닌가? 여기서도 우리는 직관을 신뢰해도 좋다. - P553
초한수의 대수 또한 또 놀랄 만한 특징을 가지고 있다. 이러한 특징들 때문에 우리는 시간과 공간 개념에 존재하는 다른 어려움을 해결할 수가 있다. 먼저 (a)와 (b)라는 두 집합을 생각해보자.
(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
(b) 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,...
집합 (a)에 있는 각각의 수는 그 아래에 있는 집합 (b)의 수와 일대일로 대응하며, 그 역도 성립함이 분명하다. - P553
다시 말하여 다음이 성립한다.
Ň_0-5=Ň_0(1)
식 (1) 이 제시하고 있는 재미있는 사실은 우리가 무한의 양에서 유한한 수를 빼도 여전히 동일하게 무한한 양을 가지게 된다는 점이다. - P554
우리는 무한하지 않은 유한수에 적용되는 논리에 비추어 사고하는 데에 익숙하기 때문이다. 그러나 이 식에 비논리적인 것은 전혀 없다. 유한수에 적용이 되는 성질이초한수에 적용될 필요가 없으며, 그 반대도 마찬가지이다. - P555
무한이라는 양에 대한 연구에 있어서 기본 개념은 집합, 즉 원소들의 집합이라는 개념이었다. 예를 들어 수들의 집합, 한 직선 위에 있는점들의 집합, 시간상의 순간들의 집합 등. 그러나 불행하게도 겉보기에이렇게 간단하고 기본적인 개념에는 우리가 아직까지 살펴보지 못한 어려움이 놓여 있었다. - P555
첫 번째 예는 고전적인 예이다. (중략) 바울은 티투스에게 쓴 편지에서 크레타 사람들에 대하여 다음과 같이 말한다. ‘그들 중 하나가 아니 심지어 그들의 예언자도, 크레타인들은 모두 거짓말쟁이이고, 사악한 짐승들이며 탐욕스럽다고 말한다. 이러한 관찰은 사실이다. 크레타인들에 대한 이러한 비방은 다음과 같이 좀더 흔한 방식으로 표현되기도 한다. ‘크레타인린 에피메니데스는 크세타인글이 모두 거짓말쟁이라고 말한다.‘ - P556
다음에는 정직한 마을 이발사의 딜레마를 살펴보자. 그 이발사는스스로 면도하는 사람들을 면도하지는 않지만, 자기 혼자 면도를 하지못하는 모든 사람을 번도해주었다고 자랑스럽게 광고하였다. 하루는그의 얼굴에 비누거품을 칠하다가 갑자기 자기가 스스로를 면도하는사람들 중 하나가 아닌가라는 질문이 떠올랐다. - P556
이제 1음절과 같은 모든 단어들, 그러니까 스스로를 표현하는 데에는 적용되지 않는 단어들을 이중구조적이라고 부르자. 그러면 어떤 단어든지 간에 x가 그 자체로 x 가 아닌 경우에 그 단어를 이중구조적이라고 부르게 될 것이다. 그러나 x가 바로 이중구조적이라는 단어일 경우를 생각해보자. 그렇다면, 우리는 만일 이중구조적이 그 자체적으토 이중구조적이 아닌 경우에 단어 ‘이중구조적‘이 ‘이중구조적‘이라고 말하게 될 것이다. - P557
이 모든 역설 중에는 명백한 집합들이 포함되어 있다. 크레타인들의 집합, 면도해야 할 사람들의 집합, 그리고 마지막 예에서 본 것처럼이중구조적인 단어들의 집합. 이들을 분석해보면 이들 집합에 관한 진술들은 모두 자기 모순적이다. - P557
미적분학을 계속 사용하면서 그것이올바른 것인가에 대하여 논쟁을 하였던 것과 마찬가지로, 오늘날도 논쟁이 되고 있는 정리들이 계속 적용되고, 아주 유용한 것으로 입증되고있다. 미적분학의 역사는 또한, 마침내 그 어려움이 해결되었듯이, 현대의 것들도 해결되리라는 믿음을 준다는 점에서 수학자들에게 큰 격려가 된다. - P558
각 시대마다 바로 그 시대가 만든 것을 엄격히해야 할 어려움을 가지게 된다는 사실을 인정하게 되면서, 탁월한 미국수학자인 무어 (E.H. Moore)는 ‘어떤 이론이든 그 이론이 발표된 그 날까지만 진리이다‘ 라고 말하였다. 다른 수학자들은 이를 좀더 냉소적으로 표현하기도 하였다. - P558
그러나 많은 수학자들은 인간이 할 수 있는 유일하게 진정한 발전을 이루었음을 이해하게 되었다. 수학자는 통찰력과 직관이라는 행위로 창조한다. 그리고 논리는 직관이 정복한 것을 승인하는 것이다. 그것은 수학이 자신의 아이디어를 건강하고 강력하게 유지하기 위하여 실행하는 스스로의 건강법이기도 하다. - P558
그러나 이 기둥은 좀더 깊은 곳에 있는, 아마도 좀 분명하지 않은 직관에 기반하고 있다. 비록 직관을 정밀한 사고로 대체하는 과정에서 수학이 궁극적으로 놓여 있는그 지반의 성질 자체를 변화시키지는 못하지만, 그 구조에 힘과 높이를 더해주는 것은 사실이다. - P559
우리는 오히려 가장 모호하고도 가장 해결되기 어려운 직관의 어둠을 해결하고자, 얼마나 정확한 사고가 적용되었는가에 초점을 맞추어야 할 것이다. 무한 집합에 적용된 것과 같이, 양의 개념을 정밀하게 만듦으로써, 칸토어는 아리스토텔레스 시대부터 근대에 이르기까지 일어났던 엄청난 양의 철학적 논쟁을 처리하여 주었던 것이다. - P559
무한수에 대한 이론은 19세기 비판적 사상가들이 창조한 것 중 하나에 불과하다. 그 내용이 이상하기는 하지만, 그 이론은 논리적이고도 유용한 것이다. - P559
28장, 방법론이면서 동시에 예술인 수학
근대적 발전을 이룩하면서, 순수수학이라는 학문은 이제 인간 정신 중에서 가장 독창적인 창조물임을 주장해도 될 듯하다.
-알프레드 노스 화이트헤드 - P618
근대로 접어들면서 수학적 아이디어는 아주 놀라운 속도로 증가하였다. 그에 따라 수학의 영향력도그 수량과 깊이 그리고 복잡성이라는 측면에서 모두 엄청나게 증가하였다. 우리가 이제까지 살펴본 수학 분야 중 어느 하나를 선택해 아주 면밀히 연구하여 그 흔적을 찾아보면, 오늘날까지도 그 관련성이 계속이어져 있다는 사실과 그것이 확장되어 있음을 알 수 있을 것이다. - P618
다만 이책의 주제를 뒷받침하기 위하여, 수학이 근대 문화 형성에 주도적 역할을 수행하였다는 것을 지적하는 것으로 대신했으면 한다. - P618
그 옛날 그리스인들의 업적만 보더라도 근대 수학의 성격을 다소나마 예상할 수 있긴 하였지만, 그 이후의 세월과 특히 비유클리드 기하학의 탄생은 수학의 역할과 성격을 근본적으로 바꾸어놓았다. - P619
. 불행하게도 끝없이 연속되는정의들로부터 시작하지 않으면, 어떤 용어나 개념도 정의될 수 없다.
물론 무정의 용어들의 의미를 물리적 사례에 의해 암시할 수도 있다. - P619
그러나 물리적 설명은 결코 수학의 일부가 아니다.
왜냐하면, 수학이란 논리적으로 독립적이며 자기충족적이기 때문이다. 물론 어떤 개념은 정의되지 않은 개념을 기초로 정의되기도 한다.
가령 원은 주어진 한 점으로부터 정해진 거리만큼 떨어져 있는 평면상의 모든 점들의 집합으로 정의하는데, 이는 점과 평면, 그리고 거리라는 용어를 사용하여 정의한 것이다. - P619
만일 어떤 용어들이 정의되지 않고, 우리가 습관적으로 이들 용어와함께 연상하는 물리적 그림이나 과정이 순수수학의 일부가 아니라면, 우리는 그것들에 대한 어떤 사실을 추론에 사용할 수 있을까? 그 답은 공리에서 찾을 수 있다. - P620
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