2024-07-08 수정된 글

당신의 눈을 왼쪽에서 오른쪽으로 왔다 갔다 움직여보라...

당신의 눈을 왼쪽에서 오른쪽으로 왔다 갔다 움직여보라. 당신이 보고 있는 장면에 어떤 일이 일어나는가? 당신의 시각체계가 모두 건강하다면 시선이 향하는 대로 왼쪽에서 오른쪽으로 보겠지만, 지금 바라보고 있는 대상은 움직이지 않고 그대로 있을 것이다. 안구가 움직인다고 하더라도 말이다. - P163

1950년대에는 에리히 폰 홀스트Erich von Holst와 호르스트 미들스태트Horst Mittelstaedi가 이것을 좀 특이한 방식으로 보여주는 실험을 수행했다.⁹ 그들은 꽃등에의 목을 구부려 머리를 아래로 돌려놓았다. "꽃등에의 목은 날씬하고 유연해서 세로축으로 180도 회전할 수 있다. 이렇게 하면 머리가 흉부에 붙어 두 눈의 위치가 뒤바뀐다"라고 그들은 썼다.¹⁰ - P164

9Erich von Holst and Horst Mittelstaedt, "Das Reafferenzprinzip." DieNaturwissenschaften 37, no. 20 (October 1950): 464-76. Translated as:
"The Principle of Reafference: Interactions between the Central NervousSystem and the Peripheral Organs," Perceptual Processing: StimulusEquivalence and Pattern Recognition, P. C. Dodwell, ed. (New York:Appleton-Century-Crofts, 1971), 41-72.
10 상동. - P384

이런 현상을 설명하기 위해 폰 홀스트와 미틀스태트는 ‘원심성 사본 efference copy‘ 이라는 용어를 고안했고, 스페리는 ‘동반방출corollary discharge‘ 이라는 용어를 썼다. 둘 다 본질은 같다.  - P165

이것이 조현병, 정신증, 그리고 자아와 무슨 관계가 있을까? - P165

1978년 샌프란시스코 재향군인병원의 어원 파인버그 IrwinFeinberg는 이 질문에 정면으로 맞섰다. 그때까지의 실험들은, 적어도 단순한 동물 실험에서는 운동동작이 동반방출 신호나 사본을 만들어낸다는 것을 보여주었다. - P165

파인버그는 여기에서 더 나아갔다. 동반방출 신호가 운동동작에만 해당하는 것이 아니라 생각에도 적용이 된다면 어떻게 될까?
이것이 특정 생각을 다른 사람의 것이 아니라 자기 자신의 것으로 여기게 만드는 메커니즘이 아닐까?  - P166

사실상 그는 자기와 자기가 아닌 것 사이의 경계가 희미해지는 것이라든지, 로리와 소피 그리고 무수한 조현병 환자들이 경험하는 여러 가지 유형의 이상한 증상들 뒤에는 이러한 오작동이 있을 것이라고 가정했다.  - P166

정신증이 심해지면서 로리는 일주일에 몇 번씩 목소리를 들었다. 그녀에게 형편없는 실패자라고 말하는 어떤 여자의 목소리였다. 남편 피터는 로리가 목소리를 들을 때를 분간할 수 있었다. "아내의 눈이 텅 비어 있고 시선은 허공을 향해 있죠. 이따금 아내는그 목소리에 답하기도 해요. 아주 느닷없이 뭔가를 말하곤 하죠.
아내가 목소리에 응답하고 있다는 것을 당신도 즉각 알아차릴 겁니다." - P167

 로리는 의사에게 자살을 시도했을 때 자신은 자기에게서 떨어져 제3자의 시선으로 자신을 바라보고 있었다고 설명했다. 그녀는 자기 자신이 아니었던 것이다. 하지만 정신과 의사는 로리에게 "당신은 자기가 겪은 고통을 참 알기 쉽게설명하는군요"라고 말했을 뿐, 정작 그녀가 겪은 일은 무시해버렸다.  - P168

주류 정신의학에서는 조현병 환자들이 이렇게 고통스러운 현실을 겪는 이유를 ‘자가점검되는 동반방출‘의 개념에 기대어 설명하고 있다. 이러한 메커니즘을 통해 동물이 자기 자신과 자기가 아닌 것을 구분할 것이라는 가정은 여러 가지 실험을 통해 입증되어왔다. - P168

1978년 어윈 파인버그가 다양한 조현병 증상의 기저에는 뇌의 동반방출 메커니즘이 있을 것이라고 제안한 지 10년이 채 안되어, 영국 해로에 있는 노스윅파크 병원의 임상심리학자 크리스 프리스 Chris Frith는 ‘교자 모형 comparator moded‘을 발전시켰다. - P169

비교자 모형은 아주 매력적이다. 이 모형에 따르면 뇌는 자기발생적 감각에 대한 반응을 약화시킬 수 있다(예를 들어 귀뚜라미가 자신의 울음소리를 듣지 못하는 것처럼). 이 모형으로 최소한 운동동작에 대해서는 뇌가 어떻게 자기와 자기가 아닌 것을 구분하는지 메커니즘적 설명이 가능하다. 그리고 조현병 환자들의 경우 이능력이 저해된다는 증거도 있다. - P170

간지럼에 대해 생각해보자. 스스로 간지럼 태우기란 거의 불가능하다.¹⁵ 프리스는 신경과학자 세라제인 블레이크모어 Sarah-JayneBlakemore, 대니얼 월퍼트 Daniel Wolpert와 함께 그 이유를 밝혔다. 그들은 건강한 사람들을 대상으로 한 연구에서, 실험자가 그들의 왼손을 만졌을 때보다 스스로 자기 왼손을 만졌을 때 뇌 영역이 훨씬적게 활성화된다는 것을 발견했다. - P170

15 Sarah-Jayne Blakemore et al., "Why Can‘t You Tickle Yourself?,"
NeuroReport 11, no. 11 (August 2000): R11-16. - P385

증거는 더 있다. 샌프란시스코 재향군인병원과 캘리포니아대학교에서 주디스 포드Judith Ford와 대니얼 매살론Daniel Mathalon은건강한 사람들이 귀뚜라미와 마찬가지로 자기발생적 소리에 대한 반응을 약화시킨다는 사실을 밝혔다. 건강한 사람들의 뇌전도cloctroencephalogram, EEG를 살펴보면 그들이 소리를 입 밖으로 내기직전에 성대를 움직이라는 명령의 사본으로 보이는 것이 청각피질auditory cortex로 보내진다. - P171

조현병 환자들은 이 메커니즘에 장애가 생긴 것으로 보인다. 복제 메커니즘이 저해되었을 가능성도 있다.¹⁶ - P171

17 Daniel H. Mathalon and Judith M. Ford, "Corollary DischargeDysfunction in Schizophrenia: Evidence for an Elemental Deficit,"
Clinical EEG and Neuroscience 39, no. 2 (2008): 82-86. - P385

이 시점에서 조현병 환자에게서 정말 무엇이 잘못된 것인지 더 정교하게 짚어볼 필요가 있겠다.  - P172

2008년, 독일 튀빙겐대학교의 인지신경학자 마티스 시노프치크Matthis Synofzik와 독일 뒤셀도르프 소재 하인리히하이네 대학교의철학자 고트프리트 포스게라우 Gottfried Vosgerau, 그리고 그들의 동료들은 더 까다롭게 접근했다. 그들은 주체감을 주체에 대한 비관념적 생각이 아닌 본능적) 느낌과 주체에 대한 좀 더 인지적인 판단으로 나누어야 한다고 주장했다.¹⁸ - P172

18 Matthis Synofzik et al., "Beyond the Comparator Model: AMultifactorial Two-Step Account of Agency," Consciouness andCognition 17, no. 1 (March 2008): 219-39. - P385

물론 이 모든 일은 눈 깜짝할 사이에 일어난다. 그렇지만 이 메커니즘을 분리해서 생각해볼 수 있다. 연구자들은 조현병 환자들이 주체에 대해 혼란스러운 느낌을 갖고 있다는 것을 입증해왔다.
그리고 그 혼란을 벌충하기 위해 그들은 주체의 판단에 더 의지하는 경향을 보인다. 시각적 피드백과 같은 외부 요소에 더 의지한다. - P173

이 모든 것이 ‘비교자 모형‘을 부정하지는 않는다. 사실상 시노프치크와 동료들은 그 결과가 "조현병을 비교자 메커니즘의 기능장애로 보는 관점을 지지할 것이라고 보았다.²⁰ - P174

20 Matthis Synofzik et al., "Misattributions of Agency in SchizophreniaAre Based on Imprecise Predictions about the Sensory Consequences ofOne‘s Actions," Brain 133 (January 2010): 262-71. - P385

자신을 칼로 베기로 결정한 사람이 자기가 아니라는 것을 로리가 알았다는 사실을 고려한다면, 답은 명백하다. 다른 누군가에게 책임이 있는 것이다. 로리가 말했다. "내 생각에는 의미 부여를 위한 당연한 탐색인 것 같아요. 이 일이 내게 일어났고 나는 설명을 원하죠. 모든 사람이 그렇듯 말이에요. 그래서 결국 적이나 음모,
이런 게 등장하는 거예요." - P174

심장 전문의들과 미국심장협회가 심장질환에서 중성지방과...

심장 전문의들과 미국심장협회가 심장질환에서 중성지방과 지단백질의 역할에 대해 생각한다는 것은, 당연히 의사의 입장에서 생각하는 것이었다.⁴³ 혈액 속에서 심장질환과 연관된 물질을 연구해서 심장질환에 대해 무엇을 알 수 있는지보다, 진료실에서 환자를 볼 때 그 물질을 측정할 수 있는지를 우선적으로 고려했다는 뜻이다. - P198

43. 예를 들어 익명. 1989. - P356

1968년 설탕연합주식회사의 연구 부문이 국제설탕연구재단으로독립한다. (이 단체는 1978년 세계설탕연구기구로 명칭이 바뀌어 지금까지 이어진다.) 설탕업계 내부 문건에 따르면 이는 전 세계적으로 보다 많은 회원사를 모집하기 위한 조치였다. 설탕 섭취와 당뇨병 및 심장질환 사이의연관성에 대한 증거가 점점 늘어나면서, 이 증거들에 맞서 싸울 재정적기반을 확충해야 했던 것이다. - P199

 1957년 여드킨은 키스의 연구를 암시적으로 공격했다.⁵⁰ 영국에서 심장질환이 식이성 지방 섭취량보다 설탕 섭취량이나 기타 다른 요인들, 심지어 1인당 텔레비전 혹은 라디오 보유 대수와 상관관계가 더 높다는 논문을 발표한 것이다.  - P200

50. Yudkin 1957. - P354

 1956년에 시작된 이 연구는 이후 오랫동안 영양학자들과 대중에게 포화지방이 심장질환의 원인이며, 올리브유 같은 단불포화지방이 심장질환을 예방한다는 확신을 심어주었다. - P201

하지만 키스의 비난 대부분은 자신의 연구에도 똑같이 적용할 수있다. 아마 스스로도 이 사실을 잘 알고 있었을 것이다. 그의 연구는 방법론상 여러 가지 한계와 문제를 안고 있었다. 다른 연구자들도 이 점을 막 이해하던 참이었다.  - P200

 키스는 국제 연구팀을 구성하여 이탈리아, 유고슬라비아, 그리스, 핀란드, 네덜란드, 일본, 미국 등 7개국의 16개 인구 집단에서 심장병 발생률과 식단을 비교했다. 역설적이지만 키스의 연구는 서로 다른 인구 집단에서 설탕과 지방 섭취량을 직접 측정한 최초의 연구였다. - P201

바로 설탕과 포화지방이었다. 두 인자는 인구집단이서구화하고 보다 여유 있는 생활을 하게 되면서 동물성 단백질과 더불어 점점 많은 양을 섭취하는 경향이 있는 다량 영양소이다. - P201

식이성 지방 가설은 설탕 가설은 물론 이후 끊임없이 계속될 논란에 말할 수 없을 정도로 큰 영향을 미쳤다. 흔히 연구자들은 키스가 맞다면 여드킨이 틀린 것이고, 여드킨이 맞다면 키스가 틀린 것이라고 생각했다. - P202

프랑스 사람들이 포화지방이 풍부한 식단을 섭취하지만 상대적으로 심장질환 발생률이 낮다는 사실이 알려졌을 때도 연구자들은 그저해명할 수 없는 "역설"로 치부해버렸다. 관상동맥질환이 재앙에 가까울 정도로 흔한 미국과 영국에 비해 전통적으로 설탕 섭취량이 훨씬 적다는 사실을 무시했던 것이다.⁵⁶ - P202

56. Huetz de Lemps 1999. - P354

미국의 연구자들과 관찰자들은 키스와 그의 식이성 지방 가설을지지하는 경향이 있었지만, 유럽에서는 다른 가능성에 대해서도 열린생각을 갖고 있었다. 세계보건기구에서 심장질환을 연구했고 나중에유럽의학협회 회장을 역임한 로버트 마시로니는 이렇게 썼다. "식이성지방 특히 포화지방이 [관상동맥심장질환의] 발생에 중요한 역할을 한다는 강력한 증거가 있는 것은 사실이다. - P203

 트러스웰은 키스의 식이성 지방 가설을 절대적으로 신봉하며 이 이론에 따라 식단을 바꾸어야 한다고 공개적으로 주장하는 사람이었다.⁶⁰ 그는 여드킨이 은퇴한 후 학과에서 사무실을 제공하고 실험실을 그대로 유지하도록 지원하기로 한 약속을 깨버렸다. 여드킨으로서는 연구 경력에 좋지부를 찍게 된 셈이었다.⁶¹ - P204

61. E, Richard Ahrens, Dec. 7,
2002; Donald Naismith, Dec. 11, 2002;Richard Bruckendorfer, Jan. 29, 2003,
Feb. 12, 2004; Michael Yudkin, Feb. 13,
2004.
62. Yudkin 1972a; Yudkin 1972b. - P354

수많은 연구에도 불구하고 미국 의학계는 여드킨과 그의 이론을받아들이지 않았지만, 책은 언론의 주목을 받았다. <타임스>에 "설탕,
정말 필요한가"라는 제목의 기사가 실리기도 했다.⁶³ 언론의 주목을 받자 상원도 관심을 갖고 개입했다.⁶⁴ - P304

63. Warren 1972.
64. Select Committee 1973. - P354

청문회에는 국제적으로 유명한 연구자들이 출석하여 증언했다.⁶⁵ 여드킨은 물론 아론 코언, 조지 캠벨, 피터 클리브, 미국 국립보건원 소속으로 애리조나주 원주민 피마족에서 당뇨병을 연구하던 피터 베넷이 출석했다.  - P204

65. Select Committee 1973: 256, 155. - P354

국제설탕연구재단은 이듬해 3월 워싱턴에서 학회를 열어 대응에나섰다. "설탕 섭취가 당뇨병 위험에 영향을 미치는가?"라는 제목의 이학회에는 설탕과 당뇨병과 심장질환의 상관관계에 명백히 회의적인 입장을 가진 연구자만 초빙되었다. 맥거번의 청문회에서 증언한 연구자는 한 명도 연사로 참여하지 않았다. - P205

그러나 학회에 초빙된 연구자들도 설탕 가설에 회의적이기는 했지만, 상당히 많은 사람이 특히 설탕에 민감할 가능성이 있으며 설탕 섭취를 줄이지 않는다면 심장병 위험이 높아질 것이라는 데 동의했다. - P205

몬트리올 학회 이후 국제설탕연구재단은 토론토 대학교의 당뇨병전문의 에롤 말리스의 권고안을 강조한 문건을 배포했다.⁷⁰ 말리스는 재단이 권고를 받아들여야 한다고 했다. - P206

70. ISRF 1976. - P354

하지만 설탕연합주식회사는 우선 메디슨가*로 달려갔다. 전설적인광고회사인 칼바이어앤어소시에이츠를 고용하여, 가능한 한 가장 폭넓은 계층을 대상으로(사실상 모든 사람이 소비자이므로) 식품으로서 설탕의 안전성을 확고히 각인하는 공중보건 캠페인을 기획한 것이다.⁷² (미국홍보협회에서 "여론을 이끈 공로로 시상하는 은모루상은 홍보업계 최고의 영예로 꼽힌다. 1976년 바이어의 홍보 회사와 설탕연합주식회사는 설탕 옹호 캠페인으로 공동수상 지원서를 제출하여 결국 수상에 성공했다.) - P207

72. SAI 1976.

앤슬 키스의 미네소타 대학교 동료인 헨리 블랙번이 식단과 심장질환이라는 주제에 대해 <뉴잉글랜드의학학술지>에 "극단적으로 다른 두 가지 태도가 고집스럽게 대립하면서 서로 말만 많을 뿐, 상대방의 주장에거의 귀를 기울이지 않는다"라고 썼을 때도,⁷⁵ 그리고 국립보건원에서비록 간접적이지만 식이성 지방과 콜레스테롤 가설을 검증하기 위해 2억 5000만 달러가 넘는 예산을 들여 전례 없이 큰 규모로 두 건의 임상시험을 시작했을 때도, 설탕연합주식회사와 국제설탕연구재단은 포화지방이 심장질환의 원인이라는 사실은 이미 확실히 규명되었다는 믿음을 근거로 설탕에 대한 공격을 과학적으로 방어할 수 있었다. 심지어 테이텀은 <뉴욕타임스> 편집장에게 보낸 비공개 서신에서 일부 "설탕 비판자들은 오로지 "포화지방에 대한 공격을 약화하기 위해" 그런 행동을 한다고 주장하기도 했다.⁷⁶ - P208

75. Blackburn 1975.
76, Tatem 1976b. - P355

한편 위원회는 당뇨병 전문가로 워싱턴 대학교의 에드윈 비어먼을영입했다. 그는 거의 혼자 힘으로 미국당뇨협회를 설득해 당뇨병 환자에게 탄수화물을 마음껏 먹어도 좋다고 권고하게 함으로써 실질적으로당분 함량을 무시하도록 만든 인물이었다. 또한 심장질환의 원인은 높은 콜레스테롤 수치이며, 결국 식단에 포함된 포화지방이 중요할 뿐 설탕은 아무런 문제가 되지 않는다는 무조건적인 믿음을 갖고 있었다.⁷⁸ - P208

78. ADA의 영양 권고안을 마련하는 데 그의 역할은 우선 1971년 존 브런즈웰JohnBrunzell과 함께 당뇨병 환자를 위한 고탄수화물, 저지방 식단에 대한 논문을 발표한 것이었다(Brunzell et al. 1971). 이후그는 바로 그해에 ADA에서 식품영양위원Committee on Food and Nutrition장을 맡아 당뇨병 식단의 탄수화물 권고량을 마음껏 먹어도 좋다고 바꿔버렸다(ADA1971). - P355

 이 보고서에서 비어먼은 역학자인 켈리 웨스트와 함께 비만과 영양학적 요인에 대한 부분을 저술하면서 설탕이 당뇨병 발생에 조금이라도 중요한 역할을 한다는 생각을 전면적으로 반박했다. 비어먼과 웨스트는 일부 연구자(피터 클리브와 아론 코언이 언급되었으나 여드킨의 이름은 없었다)가 설탕 등 정제 탄수화물이 당뇨병의 유발인자일 수도 있다는 사실을 "호소력 있게 주장했다"고 인정했다. - P209

결국 식품영양권고위원회 구성원들은 <인간의 식단에서 설탕>이라는 88쪽짜리 백서의 저자로 가장 유용하게 이용된다.⁸⁹ 이 문서는1930년대까지 거슬러 올라가 여드킨, 메이어, 코언, 캠벨, 클리브, 기타
"설탕의 적들"이 수행한 연구를 반박하는 데 사용할 근거와 주장을 수집한 것이었다. 스테어는 서론을 직접 쓰고 문서 전체를 편집했다. 그란데는 심장질환에 관한 장을 쓰며 설탕이 원인이 아니라고 기술했다.⁹⁰ - P211

89. Stare, ed., 1975.
90. Grande 1975. - P355

그들은 8쪽으로된 당뇨병 장에서 두 개의 짧은 문장을 통해 이 점을 분명히 했다. 그들은 "여전히 단순당은 피해야 한다"라고 썼는데, 자당이야말로 대표적인 단순당이다.
설탕연합주식회사는 <인간의 식단에서 설탕>을 2만 5000부 이상인쇄하여 배포했다.⁹² 1975년 각종 신문의 식품 분야 편집자들이 시카고에서 학회를 열었을 때, 설탕업계가 준비한 자료 속에는 이 백서가 들어 있었다. - P211

92. Darrow and Forrestal 1979: 739. - P355

스테어를 라디오와 텔레비전 프로그램에 출연시킴으로써 설탕연합주식회사가 이런 문서를 작성하고 필요한 자금을 댔다는 사실은 완전히 비밀로 유지되었다. 설탕연합주식회사의 문서를 보면 전적으로설탕업계에서 비용을 들여 식품영양권고위원회의 활동을 유지하고 보고서를 발표했다는 사실을 알 수 있지만, 문서 어디에도 이런 사실이 명시적으로 씌어 있지 않다. - P212

제1장 정의 그리고 학문의 첫째 원리 1. 대수란...

제1장

정의 그리고 학문의 첫째 원리

1. 대수란 기호로 된 언어를 사용하여 보편적인 연역을 수행하는 학문의 대로 정의될 수 있다.
이러한 간단한 정의를 통해 대수라는 학문의 대상과 응용을 완벽하게표현하는 것은 불가능하고, 단지 대수에 정통한 사람이나 명백히 이해할 수있다. 한편, 대수는 여지껏 보편 산술이라 불리어 왔다.  - P33

3. 가장 널리 사용되는 기호는 알파벳의 대문자 또는 소문자이다. 그 7이유로는, 어떤 것을 기호로 사용할지는 완벽하게 자유로운데, 알파벳이 공통적으로 가장 많이 채택되었고 또한 가장 쉽게 쓸 수 있기 때문이다.  - P33

4. 대수에서 사용되는 대부분의 연산에서, 알려지고 확정된 양과 알려지지 않은 양 또는 대수 연산을 사용하여 값을 알아낼 수 있는 양을 구분해내는 것이 필요하다.  - P34

16. 이항식이란 다음과 같이 부호 + 또는 -로 연결된 두 항으로 이루어진 표현을 말한다. - P39

제3장

대수의 첫째 원리와 기본 연산에관한 고찰

47. 대수에서 연산의 이름은 산술에서 사용한 이름으로부터 유래되었는데, 때로는 유사하고, 때로는 동일하였다. 그리고 대수에서 사용된대부분의 용어는 비슷한 방법으로 유래되었다. 이러한 결과로, 산술에서이들 연산과 용어 들이 갖고 있는 다소 특이한 어떤 점에서는 제한된 의미가 일반적으로 많이 확장되어 사용될 때에도 적용되어 왔다. - P91

48. 어느 정도로 또는 어떤 의미에서 산술이 대수 학문의 근간으로여겨질 수 있다는 것을 확신하기 위해서는 산술에서 사용된 기호의 본성,
이들 표현의 확장과 그리고 이들과 관련된 연산의 의미와 제한을 조사하는것이 유용하다. - P91

60. 온전히 위에 설명한 것에 기반을 두어서, 대수의 기호는, 기호자체의 친근함 또는 성질들은 포함하지 않고, 수치적 표현으로 받아들여지는자연수 또는 분수 등의 수와 그 크기만을 나타낸다.

61. 부호 +와 -는 단지 덧셈과 뺄셈을 나타낸다.그리고 ta 또는-b와 같이 아무런 의미 없이 기호에 이들 부호를 부착하기도 한다. 이때이들을 다른 기호와 연결하는 것은 독립적으로 고려되어야 한다. - P95

69. -a와 같은 양이 이 체계에는 존재하지 않고, a가 b보다 크지않으면 a- b와 같은 표현은 불가능하다고 여겨지므로, 이 체계가 필연적으로 제시하는 방식으로 대수적 연산의 범위를 제한하면, 당연히 root(-a)와 같은 양은 전적으로 배제되어야 한다. 실제로 이러한 양은 전혀 나타나지않는다. - P97

71. 대수에서 원리와 연산의 범위가 무엇인지에 대한 결정은 제1장에서 언급된 것처럼, 그리고 실제로 존재하는 것으로, 산술 대수의 원리와연산으로부터 유도될 수 있다. 한편, 위 조항에서 언급된 것과 같이, 산술대수와 기호 대수 사이의 주된 차이를 간단히 살펴볼 것이고, 또한 이들에대한독립된 조사를 진행할 것이다.

(a) 한 계에서 기호는 단지 수치적 양만을 나타낸다. 다른 계에서, 기호는 그 표현에서 완벽하게 일반적이다.

(B) 한 계에서, 부호 +와 -는 단지 덧셈과 뺄셈만을 나타낸다. 다른계에서, 두 부호는 서로 역 연산을 나타낼 뿐만 아니라, 둘 중 하나의 부호가독립적으로 모든 기호의 앞에 붙는다.

(ŕ) 한계에서 부호에 대한 규칙은 증명된다. 다른 계에서, 부호에 대한규칙은 가정된다.

(ə) 한 계에서, 어떠한 순서에 의해서 연이은 연산이 진행되어도 상관없음을 증명할 것을 요구한다. 다른 계에서, 연산의 순서에 상관이 없음을가정한다. - P98

73. 먼저, 기호의 표현을 한 계에서 이들이 나타내는 수치적 양으로부터 다른 계에서와 같이 본성이나 크기에 제한이 없는 양으로 일반화한다.
유도되는 어떤 결과의 선행 사건으로, 언어나 표기법에서의 모든 일반화가허용되는 것으로 여겨지기 때문이다. - P99

78. 가장 일반적인 형태로, 대수는 임의로 정의된 법칙에 의해 임의의 부호와 기호로 이루어진 조합을 다루는 학문으로 생각할 수 있다.  - P100

81. 산술과 산술 대수에서, 어떤 순서로 연산을 수행해도 상관없다는것이 증명되었다. 기호 대수에서도 동일한 연산의 성질을 위하여, 사용되는양이 산술적인 모든 경우에 동일한 명제가 참이라고 가정한다(조항 9). 기호가 임의의 양을 나타낼 때, 이러한 추가적인 가정은 이들 연산의 결과를해석할 때에 추가적인 정의와 제한을 제공한다. - P102

83. 앞의 조항들에서 살펴본 산술 대수와 기호 대수 사이의 유사성은어떤 의미로는 다른 것의 기초로 여겨질 수 있음을 보여준다. 이때 계산의 학문인 산술은, 대수에 대한 이해가 필요한 모든 학문 중에서 가장 중요한 것으로 여겨진다. 그리고 산술 대수는 자신의 법칙을 가장 일반적으로표현하고, 동시에 상호간의 의존성과 관련성을 가장 잘 보존하는 방법으로 여겨진다.  - P103

85. 우선 먼저 순수하게 기호적이고, 특별한 성질에 의존하지 않는기호들의 조합에 대한 일반적인 법칙에 그 기초를 두고 있는 대수적 연산으로 얻은 결과는, 기호들에 특별한 값이 할당되면 그 의미를 결정하고 해석해야 하는 중요한 조사 대상이 된다.  - P103

87. 추상 수의 사용은 특별한 성질들에 대한 고려를 배제한다. 그리고 이러한 영향이 미치는 한, 3 그리고 -5와 같은 수들은 서로 구별되어 해석되지 않는다. - P104

여지껏 살펴본 보기, 그리고 이들과 연관된 관찰로부터 삼 차원인 경우기하적인 표현은 대수적인 곱과 공존함을 알 수 있다. 셋보다 더 많은 인자가 도입될 때 이들의 곱과 기하적인 영역 또는 입체와의 관계는 더 이상존재하지 않는다. 이들의 관계는 단지 하나 또는 그 이상의 인자들을 추상적인 수로 보았을 때 가능하다. 이것이 이러한 표현의 제약 조건이 된다.⁸

8) 수학적 연역에서 일반 기호의 도입과 일반적인 사용 전에, 이러한 표현은 그 당시 기호언어로 알려진 가장 일반적인 형식에 의해 필연적으로 적용된다. 그리고 대수적인 기호의 사용이 충분히 받아들여진 오랜 후에, 고대의 습관과 생각의 영향이 수학자들로하여금 대수적인 기호의 사용을 통해서 얻어낸 결과들을 기하적 형태로 변형하도록 이끌었다. 이러한 관행은 이 세기의 말까지 지속되었고, 마침내 뉴턴의 권위와 동시대의저명한 저술가들에 의해 받아들여졌다. 이러한 표현이 마음뿐만 아니라 시각적으로도크기에 대한 합리적인 이미지를 주어서 이들 사이에 존재하는 관계를 좀 더 명확하게파악할 수 있게 해준다는 것이 주장되었다. 그러나 이러한 표현이 이들의 의미를 번역하는 데 일반적인 기호를 사용하였을 때보다 크게 도움되는 것이 아님은 명백하다.
그리고 계산하는 일이 고려되는 한, 일반적인 기호를 사용하는 것보다 결과로부터 더많이 유리되어 있다. - P120

114. 나뉠 양과 나누는 양이 모두 추상 수이면 몫은 보통의 수이거나 수치 분수이다.
나뉠 양이 구체적인 수이고 나누는 양이 수치적이거나 추상적이면 몫은 나뉠 양과 같은 본성을 가진 구체적 양이다.
나뉠 양과 나누는 양이 모두 동일한 본성을 가진 구체적인 양이면, 몫은 추상 수이거나 수치 분수이다. 왜냐하면 몫에 곱해졌을 때 나누는 양의 본성에는 아무런 영향이 없어야 하기 때문이다. - P122

나뉠 양이 입체의 부피이고 나누는 양이 넓이이면, 몫은 선분의 길이이다. 이때 몫과 나누는 양으로 이루어진 입체의 부피는 나뉠 양과 동일하다.
나뉠 양이 어떤 물체가 지나온 거리이고 나누는 양이 물체의 등속력이면, 몫은 경과된 시간이다. - P123

119. 둘째의 경우, 알려진 나머지가 없는 부정형의 급수, 즉 몫을 생각해 보자. 이 급수를 나누는 양에 곱하면, 부정형의 항, 즉 드러나지도 않고 그럴려고도 하지 않는 항들을 가진 원래의 나뉠 양을 얻는다. - P124

2024-07-05 수정된 글