제1장
정의 그리고 학문의 첫째 원리
1. 대수란 기호로 된 언어를 사용하여 보편적인 연역을 수행하는 학문의 대로 정의될 수 있다.
이러한 간단한 정의를 통해 대수라는 학문의 대상과 응용을 완벽하게표현하는 것은 불가능하고, 단지 대수에 정통한 사람이나 명백히 이해할 수있다. 한편, 대수는 여지껏 보편 산술이라 불리어 왔다. - P33
3. 가장 널리 사용되는 기호는 알파벳의 대문자 또는 소문자이다. 그 7이유로는, 어떤 것을 기호로 사용할지는 완벽하게 자유로운데, 알파벳이 공통적으로 가장 많이 채택되었고 또한 가장 쉽게 쓸 수 있기 때문이다. - P33
4. 대수에서 사용되는 대부분의 연산에서, 알려지고 확정된 양과 알려지지 않은 양 또는 대수 연산을 사용하여 값을 알아낼 수 있는 양을 구분해내는 것이 필요하다. - P34
16. 이항식이란 다음과 같이 부호 + 또는 -로 연결된 두 항으로 이루어진 표현을 말한다. - P39
제3장
대수의 첫째 원리와 기본 연산에관한 고찰
47. 대수에서 연산의 이름은 산술에서 사용한 이름으로부터 유래되었는데, 때로는 유사하고, 때로는 동일하였다. 그리고 대수에서 사용된대부분의 용어는 비슷한 방법으로 유래되었다. 이러한 결과로, 산술에서이들 연산과 용어 들이 갖고 있는 다소 특이한 어떤 점에서는 제한된 의미가 일반적으로 많이 확장되어 사용될 때에도 적용되어 왔다. - P91
48. 어느 정도로 또는 어떤 의미에서 산술이 대수 학문의 근간으로여겨질 수 있다는 것을 확신하기 위해서는 산술에서 사용된 기호의 본성,
이들 표현의 확장과 그리고 이들과 관련된 연산의 의미와 제한을 조사하는것이 유용하다. - P91
60. 온전히 위에 설명한 것에 기반을 두어서, 대수의 기호는, 기호자체의 친근함 또는 성질들은 포함하지 않고, 수치적 표현으로 받아들여지는자연수 또는 분수 등의 수와 그 크기만을 나타낸다.
61. 부호 +와 -는 단지 덧셈과 뺄셈을 나타낸다.그리고 ta 또는-b와 같이 아무런 의미 없이 기호에 이들 부호를 부착하기도 한다. 이때이들을 다른 기호와 연결하는 것은 독립적으로 고려되어야 한다. - P95
69. -a와 같은 양이 이 체계에는 존재하지 않고, a가 b보다 크지않으면 a- b와 같은 표현은 불가능하다고 여겨지므로, 이 체계가 필연적으로 제시하는 방식으로 대수적 연산의 범위를 제한하면, 당연히 root(-a)와 같은 양은 전적으로 배제되어야 한다. 실제로 이러한 양은 전혀 나타나지않는다. - P97
71. 대수에서 원리와 연산의 범위가 무엇인지에 대한 결정은 제1장에서 언급된 것처럼, 그리고 실제로 존재하는 것으로, 산술 대수의 원리와연산으로부터 유도될 수 있다. 한편, 위 조항에서 언급된 것과 같이, 산술대수와 기호 대수 사이의 주된 차이를 간단히 살펴볼 것이고, 또한 이들에대한독립된 조사를 진행할 것이다.
(a) 한 계에서 기호는 단지 수치적 양만을 나타낸다. 다른 계에서, 기호는 그 표현에서 완벽하게 일반적이다.
(B) 한 계에서, 부호 +와 -는 단지 덧셈과 뺄셈만을 나타낸다. 다른계에서, 두 부호는 서로 역 연산을 나타낼 뿐만 아니라, 둘 중 하나의 부호가독립적으로 모든 기호의 앞에 붙는다.
(ŕ) 한계에서 부호에 대한 규칙은 증명된다. 다른 계에서, 부호에 대한규칙은 가정된다.
(ə) 한 계에서, 어떠한 순서에 의해서 연이은 연산이 진행되어도 상관없음을 증명할 것을 요구한다. 다른 계에서, 연산의 순서에 상관이 없음을가정한다. - P98
73. 먼저, 기호의 표현을 한 계에서 이들이 나타내는 수치적 양으로부터 다른 계에서와 같이 본성이나 크기에 제한이 없는 양으로 일반화한다.
유도되는 어떤 결과의 선행 사건으로, 언어나 표기법에서의 모든 일반화가허용되는 것으로 여겨지기 때문이다. - P99
78. 가장 일반적인 형태로, 대수는 임의로 정의된 법칙에 의해 임의의 부호와 기호로 이루어진 조합을 다루는 학문으로 생각할 수 있다. - P100
81. 산술과 산술 대수에서, 어떤 순서로 연산을 수행해도 상관없다는것이 증명되었다. 기호 대수에서도 동일한 연산의 성질을 위하여, 사용되는양이 산술적인 모든 경우에 동일한 명제가 참이라고 가정한다(조항 9). 기호가 임의의 양을 나타낼 때, 이러한 추가적인 가정은 이들 연산의 결과를해석할 때에 추가적인 정의와 제한을 제공한다. - P102
83. 앞의 조항들에서 살펴본 산술 대수와 기호 대수 사이의 유사성은어떤 의미로는 다른 것의 기초로 여겨질 수 있음을 보여준다. 이때 계산의 학문인 산술은, 대수에 대한 이해가 필요한 모든 학문 중에서 가장 중요한 것으로 여겨진다. 그리고 산술 대수는 자신의 법칙을 가장 일반적으로표현하고, 동시에 상호간의 의존성과 관련성을 가장 잘 보존하는 방법으로 여겨진다. - P103
85. 우선 먼저 순수하게 기호적이고, 특별한 성질에 의존하지 않는기호들의 조합에 대한 일반적인 법칙에 그 기초를 두고 있는 대수적 연산으로 얻은 결과는, 기호들에 특별한 값이 할당되면 그 의미를 결정하고 해석해야 하는 중요한 조사 대상이 된다. - P103
87. 추상 수의 사용은 특별한 성질들에 대한 고려를 배제한다. 그리고 이러한 영향이 미치는 한, 3 그리고 -5와 같은 수들은 서로 구별되어 해석되지 않는다. - P104
여지껏 살펴본 보기, 그리고 이들과 연관된 관찰로부터 삼 차원인 경우기하적인 표현은 대수적인 곱과 공존함을 알 수 있다. 셋보다 더 많은 인자가 도입될 때 이들의 곱과 기하적인 영역 또는 입체와의 관계는 더 이상존재하지 않는다. 이들의 관계는 단지 하나 또는 그 이상의 인자들을 추상적인 수로 보았을 때 가능하다. 이것이 이러한 표현의 제약 조건이 된다.⁸
8) 수학적 연역에서 일반 기호의 도입과 일반적인 사용 전에, 이러한 표현은 그 당시 기호언어로 알려진 가장 일반적인 형식에 의해 필연적으로 적용된다. 그리고 대수적인 기호의 사용이 충분히 받아들여진 오랜 후에, 고대의 습관과 생각의 영향이 수학자들로하여금 대수적인 기호의 사용을 통해서 얻어낸 결과들을 기하적 형태로 변형하도록 이끌었다. 이러한 관행은 이 세기의 말까지 지속되었고, 마침내 뉴턴의 권위와 동시대의저명한 저술가들에 의해 받아들여졌다. 이러한 표현이 마음뿐만 아니라 시각적으로도크기에 대한 합리적인 이미지를 주어서 이들 사이에 존재하는 관계를 좀 더 명확하게파악할 수 있게 해준다는 것이 주장되었다. 그러나 이러한 표현이 이들의 의미를 번역하는 데 일반적인 기호를 사용하였을 때보다 크게 도움되는 것이 아님은 명백하다.
그리고 계산하는 일이 고려되는 한, 일반적인 기호를 사용하는 것보다 결과로부터 더많이 유리되어 있다. - P120
114. 나뉠 양과 나누는 양이 모두 추상 수이면 몫은 보통의 수이거나 수치 분수이다.
나뉠 양이 구체적인 수이고 나누는 양이 수치적이거나 추상적이면 몫은 나뉠 양과 같은 본성을 가진 구체적 양이다.
나뉠 양과 나누는 양이 모두 동일한 본성을 가진 구체적인 양이면, 몫은 추상 수이거나 수치 분수이다. 왜냐하면 몫에 곱해졌을 때 나누는 양의 본성에는 아무런 영향이 없어야 하기 때문이다. - P122
나뉠 양이 입체의 부피이고 나누는 양이 넓이이면, 몫은 선분의 길이이다. 이때 몫과 나누는 양으로 이루어진 입체의 부피는 나뉠 양과 동일하다.
나뉠 양이 어떤 물체가 지나온 거리이고 나누는 양이 물체의 등속력이면, 몫은 경과된 시간이다. - P123
119. 둘째의 경우, 알려진 나머지가 없는 부정형의 급수, 즉 몫을 생각해 보자. 이 급수를 나누는 양에 곱하면, 부정형의 항, 즉 드러나지도 않고 그럴려고도 하지 않는 항들을 가진 원래의 나뉠 양을 얻는다. - P124
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