청소년을 위한 수학의 세계

청소년을 위한 수학의 세계
드니 반 와레베크 지음, 다미앙 페르티에 그림, 샘 리 옮김, 김용관 감수 / 생각의길 / 2026년 4월

인류를 반석위에 세워놓은 수학은 하루아침에 태어난 지식이 아니다. 수많은 철학자의 관심과 연구, 끝없는 학문적 호기심이 자연과학을 통해 수학으로 연결되었다. 수학은 기호와 연산만을 위해 창조되지 않았다. 오히려 자연을 이해하고 해석하는 과정을 통해 논증이 확산되었다. 현대수학은 데이터를 중심으로 무한한 가능성을 시사한다. 인공지능과 양자컴퓨팅이 실체화된다면 수학은 새로운 혁신의 중심이 될 것이다. 수학은 갈수록 이해하기 어려운 학문이 되어가고 있다. 하지만 수학은 빠르게 인류의 삶을 규정하고 미세로부터 우주까지 생각의 지평선을 무한히 넓혀가고 있다. 수학을 이해하기 위해선 수학의 실체를 만나야 한다. 수식을 벗어난 수학을 어떻게 이해할 수 있을까?

날아가는 화살은 정해진 순간만 보면 정지해 있는 것이다. 기원전 5C, 제논은 운동이 불가능하다는 것을 증명하려 역설을 만들었다. 시간은 순간의 연속으로 이루어져있고 각각의 순간마다 화살은 정지되어 있다는 것이다. 따라서 화살은 실제로 움직이는 것이 아니다. 운동은 관찰자의 눈에서 일어나는 착시일 뿐이라는 결론을 내린다. 속도는 불과 4세기 전만해도 존재하지 않는 개념이었다. 속도는 시간과 높이의 함수다. 순간속도 값을 무한히 가깝게 다가가게 한다면 시간에 따른 위치함수를 미분으로 표현할 수 있다. 미분은 위치를 보여주는 지도를 속도를 알려주는 속도계로 바꾸는 도구다. 뉴턴과 라이프니츠에 의해 확산된 미분 덕분에 속도와 관련된 대부분의 현상을 계산할 수 있게 되었다. 속도를 시간에 따라 미분하면 변하지 않는 값, 하나의 상수인 가속도가 된다. 가속도는 중력을 설명해준다. 미분은 현실의 복잡함 뒤에 숨은 규칙성을 발견하게 해준다.

‘경계가 없고 단일 연결된 모든 콤팩트 3차원 다양체는 3차원 구와 위상동형이다’19C, 프랑스 수학자 앙리 푸앵카레는 자신의 이름을 딴 푸앵카레 추측을 발표한다. 위상동형은 찢거나 붙이지 않은 모형의 형태는 서로를 변형하여 만들어지면 모두 동일하다고 간주한다. 공은 큐브가 될 수도 있고 피라미드나 비행접시, 감자와도 같다. 2차원 구는 무한히 뻗어나가지 않고 더 큰 구안에 집어넣을 수 있다. 이런 상태를 콤팩트라 한다. 구가 단일로 연결되어 있다는 사실은 올가미를 통해 증명된다. 2차원이면서 경계가 없고 콤팩트한 다양체는 도넛모양을 한 토러스와 뫼비우스 띠, 클라인병처럼 다양하게 분포되어 있다. 문제는 3차원에서도 똑같은 법칙이 성립될 수 있느냐는 것이다. 그리고 해답은 한 세기가 지난 후 러시아 수학자 그레고리 패렐만에 의해 증명되었다.

무한하다는 개념은 이성과 상상의 경계선을 넘나들며 다양한 호기심을 자극한다. 크기가 작아질수록, 숫자의 개념이 복잡해지며 우주로 나간다면 숫자 개념은 무의미해진다. 10의 80승에 이르면 우주를 구성하는 모든 원자개수를 넘어선 크기에 도달한다. 무한의 개념은 상상을 초월한다. 집합론의 창시자 게오르크 칸토어는 자연수는 무한을 향해 뻗어나가는 고속도로가 아니라 우리가 전체적으로 파악할 수 있고 파악해야만 하는 하나의 집합이라고 주장한다. 집합 안에 들어있는 원소의 개수를 기수라 부른다. 18세기부터 자연수 집합N의 기수를 무한대라는 기호를 사용해 왔다. 무한대의 두 집합은 일대일 대응이 존재한다. 그런데 문제는 부분이 전체만큼 클 수 있다는 것이다. 칸토어는 무한 보다 더 큰 무한이 있다는 사실을 증명한다. 0과 1사이의 실수(R)은 자연수 N보다 더 많은 숫자를 보유하고 있다. 또한 점점 더 커지는 무한집합들이 무한히 존재할 수 있다는 사실을 증명했다.

온종일 공식을 대입하며 문제풀이에 올인 한다. 수학이 어떻게 세상을 형성해왔고, 무엇을 바꿀 수 있는지, 얼마나 알고 있을까? 수학은 삶의 모든 부분에 적용된다. 자연과학을 탐구해왔던 철학자들은 세상의 규칙과 패턴을 찾고자 노력했다. 본 책은 수학의 본래적 의미를 탐구한다. 수식을 벗어난 수학의 깊이와 넓이를 끌어낸다. 16개의 에피소드는 놀라울 정도로 디테일하고 세밀한 그래픽과 함께 수학의 묘미를 한껏 맛보게 한다. 존 폰노이만의 상상이 콘웨이를 통해 대립하는 세계를 가로지르며 단순하고 결정된 규칙만을 사용하면서도 어떻게 예측할 수 없는 복잡하고 풍부한 패턴들을 탄생시킬 수 있는지를 연결시켜주었다. 콘웨이의 생명게임은 수십억 개의 형태 중에는 스스로 복제하고, 증식하며, 진화하는 지능을 가진 생명체가 탄생할 수 있을 것이라는 상상을 가능케 한다. 수학은 무한한 상상의 영역이다. 또한 형언할 수 없는 자연의 아름다움과 두려움에 맞선 인간의 특별한 메커니즘이기도 하다. 본 책은 호기심 가득한 애니메이션과 다큐멘터리를 결합한 새로운 수학 콘텐츠를 소개하고 기호를 벗어난 수학언어를 독창적인 그림으로 표현한 시각적 즐거움을 선물한다. 수학을 어렵다고 느낀다면 첫 페이지를 열어보라. 수학의 본 모습을 만날 수 있을 것이다.

- 이 리뷰는 출사에서 도서를 제공받아 직접 읽고 작성한 리뷰입니다.