누구나 쉽게 배우는 미적분 - 히사시 요코타

누구나 쉽게 배우는 미적분
히사시 요코타 지음, 박재현 옮김, 박구연 감수 / Gbrain(지브레인) / 2012년 8월

저자 히사시 요코타 교수는 이렇게 말합니다. "... 3D 영화나 애니메이션의 자연스런 움직임을 실현하기 위해서도 미적분이 필요하게 되었다. 수학의 한 부분이 과학, 경제, 문화의 보다 앞선 기술과 일상생활을 지배하게 된 것이다..." 그런데 사실 수학이 일상을 지배하게 된 건 이미 수백 년(적게 잡아도)이 지났습니다. 또 앞으로는 4차 산업혁명의 파고 때문에, 그 부모들은 모르고 아이들이 새로 갖게 될 직업은, 이 수학을 일상에서 갖고놀다시피해야 할 직종이 거의 대부분일 것입니다. 어찌보면 저 "3D 영화나 애니메이션" 역시, 대략 15년 정도 앞서서 도착한 미래형 산업, 직종일 수 있습니다. (단, 심지어 지금까지도, 저들 창의적 엔지니어들에 대한 대우가 합당히 이뤄지지 못한다는 게....)

"역삼각함수"는 거꾸로 된 삼각형 안에서 사인 코사인 값을 구한다는 게 아니라(그건 아무 의미 없습니다), x를 sin x로 보내는 것 등이 삼각함수라면, 거꾸로 sinx 값을 x로 보내는 것 등을 말합니다. 이는 sin의 인버스(inverse) 꼴로도 표시하고, 혹은 arcsin x 처럼 쓰기도 합니다. 그래프의 개형(대략의 꼴)은 인터넷에 찾아봐도 수없이 나옵니다만 그래도 재미삼아 공학용 계산기에 돌려 보니 다음과 같습니다.

sin 그래프는 무한히 계속되는데 저건 어째 생긴 게 좀 심심합니다. 이 이유는 원칙적으로 사인 함수의 경우도 그 역함수를 도출할 수가 없어서입니다. x값이 달라지면 y값도 달라져야만 하는데 알다시피 0에서 2π(대략 6.28)까지 나오는 -1에서 1 사이의 값이 계속 반복이 되죠. 뿐만 아니라, 정확하게는 0과 π/2 (대략 1.57) 사이의 값에서만 서로 중복되는 게 없으므로, 0과 2π 사이가 아니라 0과 π/2 사이에서만 함숫값을 설정해야 합니다. 이렇다 보니, 뭔가 그리다 만 것처럼 그래프 모양이 저렇지요. 하지만 매우 정직한 모습입니다.

과학도서 서평 이벤트로 책좋사 회원님들께도 잘 알려진 사이언스올 사이트( http://www.scienceall.com/%ec%97%ad%ec%82%bc%ea%b0%81%ed%95%a8%ec%88%98inverse-trigonometric-function/ )에는 이런 이미지가 게시되어 있습니다(일부 캡쳐).

이 그래프는 뭔가 생긴 것만 봐도 신뢰가 가는데, 사실은 대뜸 처음부터 저렇게 나오는 게 아니라 구간을 잘라서 이어붙여야만 가능합니다. 하나의 x값에 벌써 여러 개의 y값이 대응하는데, 이런 건 중1 수준의 수학에서 "함수가 못 됨"으로 판정받습니다. 허나 그렇게 협소하게 함수가 정의되어서야 무슨 이론이 전개될 수가 없죠(중1이 대2더러 옳다 그르다를 판정하는 셈입니다). 그래서 중등 저학년 단계에 이건 된다 저건 안 된다 한계부터 미리 긋는 내용보다, 상상력을 키워 주는 내용으로 커리를 설정해야 바람직하다고 생각합니다.

참고로 이 그래프를 한번 좌우대칭시키고, 다시 오른쪽으로 90도 회전시키면 사인함수 그래프가 나옵니다. 혹은, 1사분면을 반분하는 45도 직선을 그은 후 거기다가 대칭을 시켜도 결과가 같습니다. 이는 삼각함수- 역함수 경우 뿐 아니라 모든 함수에 있어서 공통되는 이치이며 이것이 안 되면 애초에 역함수 관계가 아니었다는 뜻입니다.