모르는 문제에 대하여 몇 시간 동안 생각하거나 며칠 동안 생각하는 것은 더 이상 어려운 일이 아니었다. 또 문제를 풀려고 온갖 생각을 동원하는 과정에서 수학 실력이 빠른 속도로 향상되었다. 그뿐만 아니라 수많은 문제와 씨름하면서 미지의 문제에 대하여 체계적으로 접근하는 방법이 습득되고, 그런 경험이 쌓이면서 점점 더 미지의 문제에 대하여 능숙하게 대처할 수 있게 되었다. 이렇게 며칠이 걸려야 풀리는 어려운 문제를 계속 생각하는 동안 논리적인 사고력이 연마되고 있었던 것이다. 그리고 이런 공부 습관이 나중에 몰입적인 사고를 하는 데 기반이 되었음은 두말할 필요가 없다. - P211
어려운 문제를 풀려면 장기전에 돌입해야 한다. 이를 위해서는 우선 마음의 준비를 해야 한다. 쉽게 풀리지 않는다고 스트레스를 받으면 자기만 손해고, 문제 푸는데 오히려 방해만 된다. - P212
문제가 쉽게 풀릴 것 같지 않으면 우선 마음을 편하게 가지려고 노력해야 한다. 시간에 쫓기지 말고 문제가 풀릴 때까지 평생이라도 생각하겠다는 여유를 가져야 한다. 이럴때는 생각의 속도를 느리게 하는 것이 문제를 해결하거나 아이디어를 얻는 데 유리하고, 문제와 오랜 시간을 씨름할 경우에도 쉽게 지치지 않는다. - P212
연구하는 사람들 사이에서도 풀리지 않는 문제와 씨름하는 시간이 자신을 가장 효과적으로 발전시키는 순간으로 여겨진다. 자신의 사고력과 창의력, 연구 능력을 이보다 더 고양시키는 방법은 없다는 것을 터득한 것이다. 따라서 중·고등학교 시절에 이런 습관을 갖게 된다면 나중에 연구 활동을 하는 데 엄청나게 유리할 것이다. - P212
문제를 처음 대했을 때 도무지 어떻게 접근해야 할지 모르고 난감하게 느껴지는 경우, 포기하지 않고 계속 생각하면 고도의 창의적인 두뇌가 활동을 시작한다. 그리고 자신의 두뇌 능력의 한계까지 계속 쓰게 된다. 자신이 풀 수 없을 것 같은 문제를 풀려고 매달릴 때 비로소 자신의 두뇌가 최대로 가동되고 최대의 능력이 발휘되는 것이다. - P212
배우기만 하고 모르는 문제를 스스로의 힘으로 풀어본 경험이 없는 학생은 사고력이 발달하기가 어렵다. 이미 배운 문제만 풀 수 있고 배우지 않은 문제가 주어지면 배우지 않았기 때문에 풀지 못할 것이라고 생각한다. 이런 식의 학습에 길들여지면 배우지 않은 문제를 푸는 것은 자신의 능력 밖이라고 단정해버린다. 이것은 스스로 자신의 한계를 규정짓는 일이다. 이러한 패러다임으로는 사고력이나 창의력을 발달시키기가 어렵다. 결국 자신이 가지고 있는 무한한 잠재력을 깨우지 못하고 평생을 보내게 된다. - P213
나는 문제의 난도는 높지만 오랜 시간동안 생각할 가치가 있는 문제를 찾게 되었다. 그러다가 발견한 방법이 앞으로 배울 단원의 내용을 공부하지 않은 채 그 단원의 문제를 바로 푸는 것이다. 이런 경우 문제의 난도가 급격히 올라간다.
이때는 보통 용어의 정의 등을 모르기 때문에 아주 쉬운 보기 문제같은 것을 한두 개 풀면서 용어의 정의 등을 파악한다. 그러고는 바로 그 단원의 어려운 문제로 들어간다. 이런 방식으로 미리 공부하지 않은 단원의 문제를 풀다 보면, 그 단원에 소개되는 학습 내용을 처음 만든 사람의 입장에서 그 문제에 접근하는 효과를 누릴수 있다. 이런 교육 방법은 이미 오래전에 미국의 저명한 교육학자 존 듀이 John Dewey가 제안한 것이다. 그는 이런 교육 방법이 흥미나 동기부여에 탁월한 효과가 있다고 강조했다. - P214
오랜 시간을 포기하지 않고 생각하면 아무도 해결하지 못한 문제도 풀 수 있다는 자신감이 생긴다. 또한 앞으로 배울 내용과 개념을 완전히 파악하여 강의를 통해 설명을 듣는 것보다 스스로 생각해 볼 기회를 먼저 갖는 것이 훨씬 더 효과적일 때가 많다. - P214
‘진짜 천재‘는 자기 스스로 생각해서 그 방법을 찾아낸 사람이다. 항상 스스로 생각하는 것이 중요하다. - P214
창의성은 새로운 것을 착안해 내는 능력을 일컫는다. 그런데 새로운 것이라도 유용성이나 효용성이 있어야 한다. 아무리 생각이 기발하다고 해도 실제로 쓰임이 없으면 의미가 없다. - P215
결과만 가지고 창의적인 노력을 구분 짓는 것은 잘못이다. 창의적인 노력은 해결책을 모르는 상태에서 해결책을 얻으려고 노력하는 활동이다. 물론 실력 때문에 문제가 해결될 수도 있고 해결되지 않을 수도 있다. 그러나 문제가 해결되지 않은 경우라도 그 활동은 개인의 창의적인 노력이라고 보아야 한다. - P216
자신의 능력을 넘어서는 높은 수준의 문제를 풀려고 노력하는 활동은 적어도 개인의 입장에서는 창의적인 노력이다. - P217
자신의 한계를 뛰어넘는 문제를 풀려고 노력하는 활동은 비록 가시적인 결과를 도출해 내지 못한다 하더라도 큰 의미가 있다. 이렇게 난도가 높은 문제를 풀기 위해서는 평소보다 훨씬 더 강도 높은 사고 체계를 가동해야 하기 때문이다. 모르는 문제에 대해 생각하는 과정에서 창의력이 발휘된다. - P217
스스로 풀 수 없는 문제를 해결하려고 노력하는 활동을 창의적인 노력으로 인정해 주어야 몇 번의 시행착오 끝에 창의적인 결과가 나오고 창의성이 발달한다. 즉 미지의 문제를 해결하려는 노력자체를 창의적인 활동으로 인정해 주어야 창의성을 발달시킬 토양이 제공되는 것이다. 바로 이런 토양에서 아무도 해결하지 못한 문제를 해결하는 남다른 능력이 길러진다. - P217
천재적인 과학자들이 위대한 업적을 성취하는 데 타고난 지적 재능보다 몰입적인 사고가 더 중요한 역할을 한 것처럼, 평범한 사람들에게는 일상 속에서 몰입에 이르는 것이 더욱 중요한 의미를 갖는다. - P218
몰입적인 사고는 지적인 능력을 빠른 속도로 향상시킬 뿐 아니라 학습 속도를 증진시키고, 업무의 효율성을 증대시킨다. 학생들이 몰입적인 사고를 하면서 수학문제 푸는 것을 훈련하면 빠른 속도로 수학 실력이 향상될 것이고, 직장인들이 몰입적인 사고를 하면서 일을 하면 업무 효율성을 극대화할 수 있다. - P218
학생들이 공부하면서 몰입하는 경우는 주로 시험이 닥쳤거나 시험 기간 중이다. 이런 경우의 몰입은 통상 위기 상황에 의하여 유도된다. - P219
위기감이 고조되어 몰입도가 올라가면 공부에 집중하기 시작하고 공부에 대한 거부감도 감소한다. 이는 몰입의 즐거움이 작용하기 때문이다. - P219
시험 공부를 목적으로 몰입도를 올렸다고 하더라도 일단 몰입도가 올라간 상태에서는 무엇을 해도 재미있다. - P219
몰입도가 올라가면 학습 효과도 상승하지만, 다른 무엇을 해도 재미를 느낄 수 있는 잠재능력이 올라가는 것이다. - P219
학습 활동이 아닌 활동은 몰입도를 떨어뜨리기 때문에 다시 몰입도를 올리려면 괴로운 시간을 가져야 한다. - P219
몰입도가 낮으면 놀아도 재미가 없어서 무엇인가 화끈하고 자극적인 것을 찾게 된다. 예를 들어 가상의 위기 상황을 만들어 몰입도를 올리기 위해 놀이공원을 가거나 공포영화로 스릴을 얻고자 한다. - P220
공부를 할 때도 천천히 생각하기는 자율적으로 몰입도를 올리는 가장 좋은 방법이다. 먼저 온몸에 힘을 빼고 의자에 편하게 앉는다. 그리고 10분 정도 아무것도 하지 말고 눈을 감은 채 자신이 공부하려는 내용을 천천히 생각한다. 즉 뇌파가 알파파가 되도록 유도하는 것이다. - P220
10분 정도 천천히 생각하기가 끝났으면 비교적 난도가 낮은 내용부터 시작하는데, 천천히 진도를 나가서 내용을 충분히 소화해야 몰입도가 조금씩 증가한다. - P220
온몸에 힘을 빼고 의자에 편안히 앉아서 알파파를 유지한 채 천천히 생각하듯이 공부를 하면, 의외로 몰입도를 쉽게 올릴 수 있고 오랜 시간을 지치지 않고 학습할 수 있다. 공부를 하다가 졸리면 의자에 앉은 상태에서 그대로 목을 뒤로 기대고 잠을 잔다. - P220
몰입도를 올리려고 노력하는 과정에는 몰입을 방해하는 요소를 경계해야 한다. 예를 들어 어느 정도 몰입도를 올렸다가도 인터넷을 하거나 TV 등을 보면 몰입도가 현저히 떨어진다. - P220
고도의 몰입 상태에서 책이나 논문을 읽으면 그 내용에 대하여 파악하고 이해하는 정도와 속도가 평소와는 비교할 수 없을 정도로 깊고 빨라진다. 그리고 그 내용과 관련하여 예전에 불완전하게 알고 있었던 지식들이 보다 확실하게 이해되는 터득된 지식으로 대체된다. 또 이미 알고 있는 지식에 새로운 깨달음이 계속 더해지면서 주변의 다른 지식과 어떤 관련성을 갖고 있는지 깨닫게 되는 경험을 하게 된다. 지식의 편린들이 한데 엮이며 보다 확장해서 적용할 수 있게 되는 것이다. - P221
고도의 몰입 상태에서는 평소보다 많은 양의 책과 논문들을 읽어도 비교적 짧은 시간에 많은 지식을 터득하게 된다. - P221
더 재미있는 것은 이때 깨달은 지식 중에는 책에는 구체적으로 설명되어 있지 않은 내용도 많다는 점이다. 이들 지식은 기존의 지식에서 내가 문제를 풀기 위하여 변형한 형태이거나 수학의 따름정리 같은 것으로, 성립하는 것은 명백한데 교과서 등에는 언급되어 있지 않은 것들이다. 이런 것들은 책에도 없고 남들이 전혀 알지 못하는 것으로, 관련된 문제를 해결할 때 강력한 도구가 된다. 이러한 도구를 사용하여 문제의 해답을 쉽게 끄집어내면 남다른 통찰력이 돋보일 수밖에 없다. - P221
초보자들이 사고력 훈련을 할 때는 비교적 쉬운 문제를 활용하는 것이 좋다. 사고력 훈련이 충분하지 않은 초보자들이 너무 어려운 문제를 만나게 되면 스트레스가 쌓여서 집중력이 흐트러지고 학습의 리듬이 깨질 수 있기 때문이다. - P222
예를 들어 난도가 낮은 문제는 문제를 읽는 것만으로 풀리기도 하고 연필을 들고 몇 차례 시행착오를 하다 보면 풀리는 경우도 많다. 그러나 이런 방식으로 공부하면 두뇌 활동을 거의 하지 않게 되므로 학습 효과도 적고 사고력 발달도 기대하기 어렵다. - P222
두뇌 활동을 늘리고 사고력을 발달시키기 위해서는 먼저 문제를 충분히 읽어서 완전히 이해한 후 문제를 덮고 연필도 책상위에 놓아둔다. 그리고 가만히 앉아서 생각만 한다. 생각만으로 이 문제를 푸는 방법에 대해 대략적인 구상을 하는데, 이렇게 문제를 덮고 나면 생각을 해야 하는 양이 늘어나서 머리를 쓸 수밖에 없다. 책을 덮었기 때문에 문제를 다시 볼 수도 없으니 문제의 난도는 높아질 수밖에 없다. 물론 문제가 제대로 기억나지 않는 부분은 책을 펼쳐 다시 보면 된다. - P222
문제를 읽은 후 덮어두고 생각만으로 풀려고 하면 문제를 푸는 데 소요되는 시간이 길어진다. 하지만 문제의 난도 자체는 그리 높지 않으므로 스트레스가 크게 작용하지는 않는다. 문제를 푸는 전략이나 구상이 떠오를 때까지 계속 생각한다. 전략이나 구상이 떠오르면 그 다음은 단순한 계산 작업인 경우가 많다. - P223
전략이나 구상이 떠오르면 다시 책을 펼쳐놓고 문제를 보면서 구체적인 수치를 적용하고 계산을 해서 답을 얻어낸다. 이 단순 계산 과정은 고도의 두뇌 활동을 요구하지는 않지만 이 과정을 생략하면 실제 시험에서 계산 실수가 많아지므로 직접 훈련해 보는 것이 좋다. - P223
초보자들이 이런 방식으로 공부를 하다 보면 은근한 두통을 느끼게 될 것이다. 이는 두뇌를 사용하면서 자신도 모르게 긴장을 했다는 뜻이다. 이때도 천천히 생각하는 것이 좋다. 천천히 생각하면 지치지도 않을뿐더러 더 깊은 집중이 이루어져 생각하는 것을 쉽게 즐길 수 있기 때문이다. - P223
물론 쉬운 문제를 천천히 생각하면 빨리 생각하는 경우보다 문제를 푸는 시간은 더 걸린다. 그러나 천천히 생각하는 훈련을 충분히 하는 것이 더 높은 단계로 발전하기 위하여 바람직하다. - P223
아이가 싫증을 느끼지 않고 재미를 유지할 수 있도록 난도를 조절하여 문제 푸는 훈련을 시키면 아이의 사고력은 놀라운 속도로 발전한다. 또한 적절한 칭찬을 던져주면서 난이도를 조절해 나가면 아이는 문제를 또 내달라고 조를 정도로 재미를 느낀다. - P224
어릴 때부터 난이도를 조절하면서 수준 높은 사고를 훈련하는 것이 바로 영재교육이다. 사고력을 향상시키는 교육, 그리고 사고의 즐거움을 경험하게 하는 것은 빠를수록 좋다. 반대로 단순한 주입식 교육에 의한 선행학습은 아무리 어릴 때 시작해도 결코 영재교육이 될 수 없음을 기억하라. - P225
가치를 높게 인정받을 수 있는 것은 사고력, 창의력, 문제 해결 능력이다. 이러한 능력은 아무리 발달시켜도 부족할 만큼 중요하다. - P225
미지의 문제를 스스로 생각해서 해결하는 훈련을 통해 문제 해결의 경지에 이른다면 더 이상 바람직한 학습 방법은 없을 것이다. - P225
자신이 갖고 있는 지식과 원리를 다양한 상황에서 응용해야한다. 따라서 사고력으로 무장되어 있지 않은 단순한 지식은 효용가치가 급격히 떨어지고 만다. - P226
역사적으로 뛰어난 과학자 중에는 독학으로 새로운 분야를 개척한 이들이 많다. 어떤 내용을 남에게 배우지 않고 스스로 깨우치려면 자연스럽게 생각을 많이 해야한다. 이런 점에서 보면 독학도 영재교육의 한 방법이 될 수 있다. - P226
그(뉴턴)는 데카르트의《기하학》을 구입하여 혼자서 읽는 동안 수없는 난관에 봉착해야 했다. 두세 장, 서너 장을 넘어갈 때마다 이해할수 없는 구절들이 앞을 가로막았기 때문이다. 이때마다 그는 지독한 의지와 근면성을 발휘했다. 그는 주저 없이 책장을 맨 앞으로 넘겼고, 되돌아가 다시 처음부터 시작하여 조금씩 진행해 나갔다. 이런 식으로 계속하여 그는 어느 누구의 도움이나 가르침을 받지 않고 전체 내용에 정통하게 되었다. - P227
1분밖에 생각할 줄 모르는 사람은 1분 걸려서 해결할 수 있는 문제밖에 못 푼다. 60분 생각할 수 있는 사람은 그보다 60배나 난도가 높은 문제를 해결할 수 있으며, 10시간 생각하는 사람은 그보다 600배나 난도가 높은 문제를 해결할 수 있다. 하루에 열 시간씩 10일을 생각하는 사람은 6,000배의 난도까지, 100일을 생각하는 사람은 6만 배의 난도까지 해결할 수 있다. - P227
보통 사람이 해결할 수 있는 문제보다 수십 배 혹은 수백 배 어려운 문제를 해결하는 사람을 영재라 하고, 수천 배 혹은 수만 배 어려운 문제를 해결하는 사람을 천재라고 한다면, 앞에서도 언급한 것처럼 천재와 보통 사람 사이의 지적 능력 차이는 질보다는 양의 문제이다. - P227
풀리지 않는 문제를 오랜 시간 생각하여 스스로 해결하는 것이 최선의 학습 방법이라고 한다면 영재교육은 아이들에게 난도가 높은 문제를 내주고 오랜 시간을 생각하여 스스로 해결하도록 유도하는 교육일 것이다. - P228
교육의 효과는 보통 10년이나 20년 이상 시간이 지난 뒤에 나타나기 때문에 어떤 방식의 교육이 좋았는지 나빴는지를 추적해서 알아내기란 쉽지 않다. - P228
아이들의 재능을 알아보고 믿고 배려했으며, ...(중략)... 특별한 과제를 주고 다른 아이들보다 더 훈련을 시키면서 관심을 보였다. 또 교내 수학 잡지에 한 달에 한 번씩 새로운 문제를 출제해 아이들에게 지적인 자극을 제공했다. 이 문제들은 고등학생들이 한 달 동안 몰입하여 풀어야 할 정도로 어려웠다. 아이들은 이 문제를 풀기 위해 경쟁적으로 몰입적인 사고를 해야 했다. 이러한 경험은 아이들에게 어려운 문제를 가지고 지속적으로 사고하는 습관을 만들어주는 동시에 깊고 날카롭게 생각하는 사고력을 발달시켜주었다. - P228
1963년에 노벨 물리학상을 수상한 유진 위그너Eugune P. Wigner는 라즐로 라츠 선생 덕분에 수학에 대한 관심을 갖게 되었다고 밝힌 바 있다. "라츠 선생님만큼 학생들에게 문제 의식을 일깨워준 분은 없을 겁니다"라고 말하며 그의 인생을 바꾼 선생님으로 라츠를 손꼽았다. - P229
오늘날의 컴퓨터 이론을 최초로 탄생시킨 수학자 존 폰 노이만John Von Neuman 원자폭탄의 아버지라 불리는 물리학자 실라드 레오 Szilard Leo와 수소폭탄의 아버지라 불리는 에드워드 텔러 Edward Teller 역시 라츠의 가르침을 받았다. 전설적인 수학자 폴 에르되시도 라츠에게 직접 배우지는 않았지만, 라츠가 교내 수학잡지에 매달 출제한 문제를 풀었다고 하니, 라츠의 교육 방식은 영재교육의 표본으로 주목할 가치가 있다. - P229
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