논리학 연습-한정기술구 분석문 동치관계 증명

(논리학 연습- Russell의 한정기술구 분석에서 존재구절과 유일성구절 결합식들 및 상호동치관계 증명)

그 FThe F =df	단 하나의 F한 것이 존재한다.
	F한 것이 존재하고 기껏해야 하나 존재한다.
	(존재구절과 유일성 구절의 연언)

존재구절	F한 것이 존재한다.
	그러한 x가 존재한다(x는 F하다).
	(∃x)Fx
유일성구절	F한 것은 기껏해야 하나 존재한다.
	부정: 그러한 x와 y가 존재한다(x는 F하고 y는 F하고 x와 y는 동일하지 않다).
	∼(∃x)(∃y)(Fx&Fy&x≠y)
유일성 구절	∼(∃x)(∃y)(Fx&Fy&x≠y)
변형	≡(∀x)(∀y)∼(Fx&Fy&x≠y)
	≡(∀x)(∀y)(∼(Fx&Fy)∨x=y)
	≡(∀x)(∀y)((Fx&Fy)→x=y)

존재구절과 유일성 구절의 결합 형태들
	가.	(∃x)Fx&(∀x)(∀y)((Fx&Fy)→x=y)
	나.	(∃x)(Fx&(∀y)(Fy→x=y))
	다.	(∃x)(∀y)(Fy↔x=y)

 동치관계 증명 (가↔나, 나↔다)

가→나: (∃x)Fx&(∀x)(∀y)((Fx&Fy)→x=y) → (∃x)(Fx&(∀y)(Fy→x=y))
1.	(∃x)Fx&(∀x)(∀y)((Fx&Fy)→x=y)						전제
2.	(∃x)Fx						1, &제거
3.	Fa						2, ∃제거
4.	(∀x)(∀y)((Fx&Fy)→x=y)						1, &제거
5.	(∀y)((Fa&Fy)→a=y)						4, ∀제거
6.	b	(Fa&Fb)→a=b					5, ∀제거
7.			Fb				가정
8.			Fa&Fb				3, 7, &도입
10.			a=b				6, 8, →제거
11.		Fb→a=b					7-10, →도입
12.	(∀y)(Fy→a=y)						6-12, ∀도입
13.	Fa&(∀y)(Fy→a=y)						3, 12, &도입
14.	(∃x)(Fx&(∀y)(Fy→x=y))						13. ∃도입

나→가: (∃x)(Fx&(∀y)(Fy→x=y)) → (∃x)Fx&(∀x)(∀y)((Fx&Fy)→x=y)
1.	(∃x)(Fx&(∀y)(Fy→x=y))										전제
2.	Fa&(∀y)(Fy→a=y)										1, ∃제거
3.	Fa										2, &제거
4.	(∃x)Fx										3, ∃도입
5.	(∀y)(Fy→a=y)										2, &제거
6.	b	c			Fb&Fc						가정
7.					Fb						6, &제거
8.					Fb→a=b						5, ∀제거
9.					a=b						7, 8, →제거
10.					Fc						6, &제거
11.					Fc→a=c						5, ∀제거
12.					a=c						10, 11, →제거
13.					b=c						9, 12, =제거
14.				(Fb&Fc)→b=c							6-13, →도입
13.	(∀x)(∀y)((Fx&Fy)→x=y)										6-14, ∀도입
14.	(∃x)Fx&(∀x)(∀y)((Fx&Fy)→x=y)										4, 13, &도입

나→다: (∃x)(Fx&(∀y)(Fy→x=y)) → (∃x)(∀y)(Fy↔x=y)

1.

(∃x)(Fx&(∀y)(Fy→x=y))

전제

2.

Fa&(∀y)(Fy→a=y)

1, ∃제거

3.

Fa

2. &제거

4.

(∀y)(Fy→a=y)

2. &제거

5.

b

Fb→a=b

4, ∀제거

6.

a=b

가정

7.

Fb

3, 6, =제거

8.

a=b→Fb

6, 7, →도입

9.

Fb↔a=b

5, 8, ↔도입

10.

(∀y)(Fy↔a=y)

5-9, ∀도입

11.

(∃x)(∀y)(Fy↔x=y)

1, ∃도입

다→나: (∃x)(∀y)(Fy↔x=y) → (∃x)(Fx&(∀y)(Fy→x=y))
1.	(∃x)(∀y)(Fy↔x=y)			전제
2.	(∀y)(Fy↔a=y)			1. ∃제거
3.	Fa↔a=a			2. ∀제거
4.	a=a			=도입
5.	a=a→Fa			3, ↔제거
6.	Fa			4, 5, →제거
7.	b	Fb↔a=b		2, ∀제거
8.		Fb→a=b		7, ↔제거
9.	(∀y)(Fy→a=y)			7-8, ∀도입
10.	Fa&(∀y)(Fy→a=y)			6, 9, &도입
11.	(∃x)(Fx&(∀y)(Fy→x=y))			10, ∃도입
11.	(∃x)(∀y)(Fy↔x=y)			1, ∃도입