(논리학 연습- Russell의 한정기술구 분석에서 존재구절과 유일성구절 결합식들 및 상호동치관계 증명)
그 FThe F =df | 단 하나의 F한 것이 존재한다. |
| F한 것이 존재하고 기껏해야 하나 존재한다. |
| (존재구절과 유일성 구절의 연언) |
존재구절 | F한 것이 존재한다. |
| 그러한 x가 존재한다(x는 F하다). |
| (∃x)Fx |
| |
유일성구절 | F한 것은 기껏해야 하나 존재한다. |
| 부정: 그러한 x와 y가 존재한다(x는 F하고 y는 F하고 x와 y는 동일하지 않다). |
| ∼(∃x)(∃y)(Fx&Fy&x≠y) |
| |
유일성 구절 | ∼(∃x)(∃y)(Fx&Fy&x≠y) |
변형 | ≡(∀x)(∀y)∼(Fx&Fy&x≠y) |
| ≡(∀x)(∀y)(∼(Fx&Fy)∨x=y) |
| ≡(∀x)(∀y)((Fx&Fy)→x=y) |
존재구절과 유일성 구절의 결합 형태들 |
| 가. | (∃x)Fx&(∀x)(∀y)((Fx&Fy)→x=y) |
| 나. | (∃x)(Fx&(∀y)(Fy→x=y)) |
| 다. | (∃x)(∀y)(Fy↔x=y) |
동치관계 증명 (가↔나, 나↔다)
가→나: (∃x)Fx&(∀x)(∀y)((Fx&Fy)→x=y) → (∃x)(Fx&(∀y)(Fy→x=y)) |
1. | (∃x)Fx&(∀x)(∀y)((Fx&Fy)→x=y) | 전제 |
2. | (∃x)Fx | 1, &제거 |
3. | Fa | 2, ∃제거 |
4. | (∀x)(∀y)((Fx&Fy)→x=y) | 1, &제거 |
5. | (∀y)((Fa&Fy)→a=y) | 4, ∀제거 |
6. | b | (Fa&Fb)→a=b | 5, ∀제거 |
7. | | | Fb | | 가정 |
8. | | | Fa&Fb | 3, 7, &도입 |
10. | | | a=b | | 6, 8, →제거 |
11. | | Fb→a=b | | 7-10, →도입 |
12. | (∀y)(Fy→a=y) | 6-12, ∀도입 |
13. | Fa&(∀y)(Fy→a=y) | 3, 12, &도입 |
14. | (∃x)(Fx&(∀y)(Fy→x=y)) | 13. ∃도입 |
나→가: (∃x)(Fx&(∀y)(Fy→x=y)) → (∃x)Fx&(∀x)(∀y)((Fx&Fy)→x=y) |
1. | (∃x)(Fx&(∀y)(Fy→x=y)) | 전제 |
2. | Fa&(∀y)(Fy→a=y) | 1, ∃제거 |
3. | Fa | 2, &제거 |
4. | (∃x)Fx | 3, ∃도입 |
5. | (∀y)(Fy→a=y) | 2, &제거 |
6. | b | c | | Fb&Fc | | 가정 |
7. | | | | Fb | 6, &제거 |
8. | | | | Fb→a=b | 5, ∀제거 |
9. | | | | a=b | 7, 8, →제거 |
10. | | | | Fc | 6, &제거 |
11. | | | | Fc→a=c | 5, ∀제거 |
12. | | | | a=c | 10, 11, →제거 |
13. | | | | b=c | | 9, 12, =제거 |
14. | | | (Fb&Fc)→b=c | | 6-13, →도입 |
13. | (∀x)(∀y)((Fx&Fy)→x=y) | 6-14, ∀도입 |
14. | (∃x)Fx&(∀x)(∀y)((Fx&Fy)→x=y) | 4, 13, &도입 |
나→다: (∃x)(Fx&(∀y)(Fy→x=y)) → (∃x)(∀y)(Fy↔x=y) |
1. | (∃x)(Fx&(∀y)(Fy→x=y)) | 전제 |
2. | Fa&(∀y)(Fy→a=y) | 1, ∃제거 |
3. | Fa | 2. &제거 |
4. | (∀y)(Fy→a=y) | 2. &제거 |
5. | b | Fb→a=b | 4, ∀제거 |
6. | | | a=b | | 가정 |
7. | | | Fb | | 3, 6, =제거 |
8. | | a=b→Fb | 6, 7, →도입 |
9. | | Fb↔a=b | | 5, 8, ↔도입 |
10. | (∀y)(Fy↔a=y) | 5-9, ∀도입 |
11. | (∃x)(∀y)(Fy↔x=y) | 1, ∃도입 |
다→나: (∃x)(∀y)(Fy↔x=y) → (∃x)(Fx&(∀y)(Fy→x=y)) |
1. | (∃x)(∀y)(Fy↔x=y) | 전제 |
2. | (∀y)(Fy↔a=y) | 1. ∃제거 |
3. | Fa↔a=a | 2. ∀제거 |
4. | a=a | =도입 |
5. | a=a→Fa | 3, ↔제거 |
6. | Fa | 4, 5, →제거 |
7. | b | Fb↔a=b | 2, ∀제거 |
8. | | Fb→a=b | | 7, ↔제거 |
9. | (∀y)(Fy→a=y) | 7-8, ∀도입 |
10. | Fa&(∀y)(Fy→a=y) | 6, 9, &도입 |
11. | (∃x)(Fx&(∀y)(Fy→x=y)) | 10, ∃도입 |
11. | (∃x)(∀y)(Fy↔x=y) | 1, ∃도입 |