(15장, 구문론으로의 도정, '단일언어 프로젝트' 절 중)
...Carnap이 칭한바 논리-수학적 표현에 대한 "구성주의적constructivist" 해석과 "절대주의적absolutistic" 해석 간의 충돌... (중략) 비록 Carnap은 수학적 진술에 관한 구성주의적 해석이 옳다고 생각하긴 했지만, 이 사안에 관해서는 중립적인 입장을 유지하려 하였다. 그에 따라 각각의 메타수학적 개념들에 대해 a-버전(절대주의적 버전)과 c-버전(구성주의적 버전) 모두를 도입한 뒤(대체로 c-버전에는 c-접두어가 붙는 반면 a-버전에는 그렇지 아니하다), 어느 해석을 활용할지에 대한 결정은 독자의 손에 맡겨두었다.
첫 번째로 설명되는 개념은 한 공리체계axiom system(이하 'AS'로 약칭)에 대한 모형model 개념이다. f(R, S, T)를 하나의 AS라 해보자(여기서 'R', 'S'. 'T'는 그 체계 내의 유일한 원초용어primitive 내지는 자유변항free variable이다). 그 경우, R1, S1, T1이 PM 내에서 정의 가능한 적절한 유형의 관계들이고 f(R1, S1, T1)가 "참"일 때, 우리는 관계체계relation system (R1, S1, T1)이 f(R, S, T)의 모형이라고 말한다("탐구Untersuchungen", 44쪽). (PM 내에서의(혹은 여타 올바른 논리체계 내에서의) 참 개념과 증명가능성 개념을 Carnap이 적절히 구분했는지 여부는 다소 의심스럽다.) 非-추상적인 대상들을 관계항으로 갖는 관계체계 역시 f(R, S, T)을 참이게 만들긴 하지만, Carnap은 '모형'이라는 용어를 오로지 수학적인 관계체계로만 제한하고, 그러한 비-추상적 구조는 별도로 "실현realization"이라 칭하였다.
어떤 공리체계 f(R)이 모형을 갖는 경우 즉 (E)f인 경우 그 체계는 "만족된다satisfied(erfuellt)". 그에 따라서, 그 체계에 대한 모형이 제시될present 수 있는 경우 그 체계는 "c-만족된다c-satisfied". f(R)이 아무런 모형도 갖지 않을 경우 즉 ~(E)f일 경우 그 체계는 '공허하다empty'. (Carnap의 표기법에서 '(E)f'는 '(ER1) ... (ERn)f(R1 ... Rn)'의 축약형이다; "탐구", 46쪽) 非-일관적 명제함수란 하나의 명제함수와 그 부정의 연언이다. "어떤 AS가 모순적인 귀결을 가질 경우 즉 (Eh)(f → (h & ~h))일 경우, 그 체계는 '비-일관적inconsistent'이라 말해진다. 그에 따라서, 그러한 모순적인 귀결이 제시될 수 있는 경우 그 체계는 'c-비일관적이다c-inconsistent'[강조는 인용자]. ... 어떤 AS가 비-일관적 귀결을 갖지 않을 경우 즉 ~(Eh)(f → (h & ~h))일 경우, 우리는 그 체계를 '일관적consistent'이라 칭한다." (46-7쪽)
다음으로 Carnap은 여러 정리들을 증명하는데, 개중에는 다음과 같은 것들이 있다: (a) 비-일관적 공리체계는 공허하다, (b) 공허한 공리체계는 비일관적이다, (c) c-공허한 AS는 c-비일관적이다, (d) 그 역도 성립한다. 이에 대한 흥미로운 증명절차는 다음 절에서 탐구될 것이다.