수포자 고하다. "수학 오뎅끼데스까..."

수학에서 꺼낸 여행 - 프랑스, 영국, 미국으로 떠나는 수학문화 기행
안소정 지음 / 휴머니스트 / 2016년 3월

수학자와 함께 떠나는 근현대 수학의 발자취.

수능 점수에서 수학성적이 30점 미만을 받은 비율 34.1%
(출처: 국가수리과학연구소, 2014년 수능자료)

우리나라의 어떤 국회의원은 이 자료를 가지고 국정감사 때 이렇게 말했다고 합니다.
"수학이라는 과목이 어려워서 30점을 못받은 학생들의 비율이 34%가 아니라, 아예 수학을 포기했기 때문에 나온 점수다.
내신, 고등학교 기말, 중간고사를 분석하면 수포자의 비율이 48%에 달한다. 수포자를 막기 위한 정책이 절실히 필요하다."

이것이 어디 수포자만의 문제일까?
설사 수능에서 수학을 선택했다 하더라도 대학에 입학하는 순간 수학은 쓸모없는 학문으로 치부된다. 많은 대학생이 "지수, 로그, 함수, 미적분 등은 도무지 왜 배웠는지 모르겠다"고 입을 모은다.
사실 수학은 문명과 함께 발전하면서 시대 상황을 반영했다. 그래서 수학을 잘 이해하려면 그 시대의 역사와 문화를 살피는 것이 중요하다. 그러나 현실에서 수학은 우리의 실생활과는 머무나 멀고 먼 다른 나라의 이야기처럼 들린다.

저자는 ‘수학 포기자’가 된 사람들에게 수학의 진면목을 전달하고 그 재미를 알려주고자 근현대 수학의 발자취를 따라 여행한다.
수학이 우리의 일상생활속에서 얼마나 밀접하게 접해져 있을까?
이 책을 통해 저자가 우리에게 전달하고 싶은 수학의 재미를 느꼈으면 한다.

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대항해 시대 

  15세기 후반부터 18세기 중반까지 유럽의 배들이 세계를 돌아다니며 항로를 개척하고 탐험과 무역을 하던 시기이다.  중세 때만 해도 지구는 평평하며, 그 주위는 바다로 둘러싸여 바다 끝은 낭떠러지로 되어 있다고 믿고 있었다. 그러나 콜럼버스, 바스쿠 다 가마,  마젤란 등 많은 탐험가들이 대서양을 건너 신대륙을 발견하면서 대항해 시대는 열려진다.

항해를 함에 있어 로그자라는 도구는 반드시 필요한 필수품이었다.
이 로그자는 영국의 수학자 건터와 오트레그가 만든 발명품이었다.
뿐만 아니라 1700년대에는 로그자를 비롯한 각종 자와 각도기, 기하학 사분의, 네이피어 막대를 갖춘 수학용품 세트가 많이 제작되어 지성과 부를 과시하는 상품이 되기도 했다.

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네이피어 막대

네이피어가 발명한 계산 막대인 네이피어 막대는 막대에 곱셈표를 표시해 길고 복잡한 곱셈을 단순한 덧셈이 되도록 한 것이다.
그는 1617년에 펴낸 “막대 계산술”에서 이 계산법을 소개했다.

재미있는 것은 우리나라에도 네이피어 막대와 유사한 계산 도구가 있었다는 것이다. 
‘주산’(계산패)으로 불리는 이 계산 막대는 2~9단의 곱셈표가 적힌 막대 여덟 개로 구성되어 있다.

네이피어 막대나 계산패의 사용원리는 거의 비슷하지만 계산하는 방식이 조금은 다른 점도 있다.
사용원리에 따라 간편하게 구성해봤다.

먼저 긴 막대기를 구한후 1단부터 9단까지 구구단의 순서대로 숫자를 적어놓으면 준비는 끝난 것이다.

[ 문 제 ]
네이피어 막대의 사용법대로 872 x 49를 계산해 보자.

1) 872x49 이므로 막대기 중에서 8단, 7단, 2단을 순서대로 꺼내 놓는다.

 
2)  곱하기 49를 해야 하므로 위에서 아래방향으로 4번째와 9번째 칸을 이용하면 된다.

3)  위에서 아래 방향으로 4th를 보면 3/2  2/8  0/8 로 되어 있다.
   "/"를 구분표시로 생각하고 더한다.
   3 / 2+2 / 8+0 / 8
   = 3488이다. 이것은 십의 자리이므로 끝에 0을 붙여주어야 한다.
   = 34,880

4)  위에서 아래 방향으로 9th를 보면 7/2  6/3  1/8 로 되어 있다.
   "/"를 구분표시로 생각하고 더한다.
    7/ 2+6 / 3+1 / 8
   = 7848이다. 이것은 일의 자리이므로 끝에 붙여주는 것이 없다.

5)  위에서 나온 34,880과 7,848를 더해준다.
   872x 49의 정답은 42,728이다.

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계산패를 사용하는 방법은 조금은 다르다.

1)  872x49 이므로 막대기 중에서 8단, 7단, 2단을 순서대로 꺼내 놓는다.
2)  곱하기 49를 해야 하므로 위에서 아래방향으로 4번째와 9번째 칸을 붙여서 이용한다.

(기다란 세로축을 다사용하지 않고 일부만 사용한다. )

3)  계산을 하되, 대각선으로 자른 후 아래칸과 윗칸을 더해서 사용한다.

어딘가 같지만... 다른 동양과 서양...
항상 신기하기만 하다.

신은 주사위 놀이를 하지 않는다

신은 주사위 놀이를 하지 않는다 - 로또부터 진화까지, 우연한 일들의 법칙
데이비드 핸드 지음, 전대호 옮김 / 더퀘스트 / 2016년 4월

신은 주사위 놀이를 하지 않는다.

모든 일에는 원인과 결과 있다. 그러나 이유를 모르는 혹은 어쩔 수 없는 우연한 일들이 우리 주위에서 벌어진다면 그것들을 어떻게 인식해야 할까?

말 그대로 재수가 없는, 우연한 일로 치부해야 하는 것일까?

옷깃만 스쳐도 인연이라는 말이 있다.

이 세상에서 내가 사랑하는 사람을 만날 수 있는 확률이 얼마나 될까?

현시대를 살고 있는 사람들 중에서 사랑하는 사람을 같은 지역에서 만날 수 있는 확률은 얼마나 될까?

또한 수많은 별들 중에서 지구에서 그것도 대한민국에서 만날 수 있는 확률은 얼마나 될까?

우주적인 차원에서 지금의 사랑하는 사람을 만난다는 것은 사실 확률적으로 거의 ‘0’에 수렴한다고 볼 수 있다.

하지만 현실은 그 ‘0’에 수렴하는 일상 속에서 펼쳐진다.

어떻게 그럴 수 있을까?

이는 우리가 언뜻 보기에 거의 가능성이 없는 일 뒤에도 엄밀한 수학적 통계법칙이 존재하기 때문이다.

이 책은 우리 생활 속에 숨겨져 있으나 실제로는 존재하는 수학적인 이야기들을 소개하고 있다.

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영아돌연사증후군.

1997년, 젊은 법률가 샐리 클라크의 생후 11주 된 아기가 잠자던 중 사망했다. 사망원인은 영아돌연사증후군(SIDS)였다. 그녀는 슬픔에 빠졌으나 다행스럽게도 1년 후 아기를 다시 가지게 된다.

그런데 둘째 아기도 똑같은 원인으로 생후 8주만에 사망을 하게 된다.

하지만 이에 대한 슬픔이 채 가시기 전에 경찰은 샐리를 영아 살해 혐의로 체포하여 종신형에 처한다. 그녀가 자신의 아기들을 살해했다는 증언도 목격자도 없었으나, 소아과 의사인 로이 메도우의 증언이 그녀를 종신형에 처하게 하는 결정적인 역할을 했기 때문이다.

그는 영아돌연사증후군이 한 가정에서 두 번이나 일어날 확률은 7300만분의 1이라고 단언했는데, 이는 보렐의 법칙을 적용할 만큼 매우 낮은 확률로 실제로 현실에서 일어날 확률이 거의 없는(‘0’에 수렴하는) 경우였다.

전문 통계학자나 확률론 연구자가 아니었지만 소아과 의사인 그의 증언은 그녀를 거의 확실한 살인자로 몰고 갔다.

과연 메도우의 증언은 정확했던 것일까?

그는 ‘영아돌연사증후군이 연속적으로 발생할 가능성이 상호 독립적인 것’이라는 가정하에 확률을 계산했다.

그러나 그는 이러한 확률을 계산하면서 몇가지 치명적인 실수를 했다.

클라크의 두 아기가 모두 남자였다는 사실을 간과한 것이다. 남자아인 경우 영아돌연사증후군이 연속적으로 발생할 확률은 상호독립적인 경우보다 높았다.

또한 한 데이터에 따르면 한 아기가 영아돌연사증후군으로 죽었을 경우 그 동생이 같은 이유로 죽을 확률은 평균보다 약 10배다 더 높았다.

결국 영아돌연사증후군이 연속적으로 발생할 가능성이 상호 독립적이다’라는 가정은 잘못된 것이었다. 만약 타당한 결론에 도달하려면 두 아기가 살해되었을 확률과 영아돌연사증후군로 사망했을 확률을 서로 비교해야 했다.

영국 샐퍼드 대학의 레이 힐 교수는 이에 대한 가능성을 모두 포함시켜 다시 계산해보았는데, 결국 영아돌연사증후군 사례가 두 번 발생했을 확률이 영아 살해가 두 번 일어났을 때의 확률보다 더 크게 나왔다.

다시 말하자면 두 명의 아기들 모두가 영아돌연사증후군으로 사망했을 가능성이 그녀가 두 명의 아기들을 죽일 가능성보다 더 크게 나왔다.

통계학적 증거의 오용과 오해에 대한 비판 끝에 샐리 클라크는 무죄판결을 받았고, 그녀는 2003년에 석방되었다.

이는 모형의 미세한 변화가 확률에 큰 영향을 미친다는 것을 확인하는 좋은 사례였다.

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참고.

보렐의 법칙 : 개연성이 아주 낮은 사건은 일어날 수 없다.

보렐은 확률이 ‘아주 낮다’는 말의 의미를 다음과 같이 정량적으로 제시한다.

생각의 시크릿

생각의 시크릿 - 부와 행복을 끌어당기는 단 하나의 마법
밥 프록터.그레그 S. 레이드 지음, 박상진 옮김 / 진성북스 / 2016년 3월

카네기는 자신이 막대한 부와 성공을 이룬 비결을 잘 알고 있었다. 그리고 자신만의 독특한 성공 이론도 확립하고 있었다.

모든 위대한 업적이나 사업의 성공은 단 몇가지의 특별한 일을 특별한 방법으로 행하는 데 있다고 확신했다. 그리고 특별한 일이란 성공한 사람들이라면 누구나 가지고 있는 공통분모라고 믿었다.

카네기는 사람들이 단계적으로 이 공식을 파악하고 스스로 상세하게 기술하고 실천할 수 있다면, 어떤 배경이나 환경에 처했든 성공할 수 있다고 보았다. 누구든지 그 성공 원칙을 따라 하는 것만으로도 부자가 된다고 확신했다.

카네기는 자신의 이론을 증명하고자 했다. 이때 카네기를 만난 사람이 바로 ‘나폴레온 힐’이었다. 카네기는 나폴레온 힐에게 당대의 가장 영향력 있고 성공한 사람들을 만날 수 있는 특권을 줄테니 성공철학을 집대성 해볼 것을 타진한다. 대신 그 성공철학을 집대성할 20년 동안은 무급이라는 조건이 달았다.

나폴레온 힐은 그 조건을 받아들였고, 그로부터 20년후 성공철학의 바이블, “생각하라, 그러면 부자가 되리라”는 책이 나오게 되었다.

성공철학은 13개의 개별 원칙으로 만들어졌다.

1. 명확한 목표를 설정하라.
2. 마스터 마인드의 힘을 활용하라.
3. 남다른 노력을 경주하라
4. 자신의 신념을 실천하라
5. 유쾌한 성격을 지녀라
6. 자기 수양을 지속하라
7. 긍정적으로 사고하라
8. 열정적으로 도전하라
9. 자기 주도성을 추구하라
10. 역경과 실패를 통해 배워라
11. 창조적 비전을 구축하라
12. 구체적으로 사고하라
13. 우주적 습관의 힘을 활용하라

나폴레온 힐의 수고로 13가지 원칙들을 통해 성공의 길에 도달 할 수 있는 방법이 생겼지만, 성공을 이루는 것이 쉽지는 않았다. 사실 이 내용들은 명확하지 않은 점이 있어 일반인들이 쉽게 받아들이기 어려웠기 때문이다.

예를 들면 “마스터 마인드의 힘을 활용하라”를 챕터를 보면 마스터 마인드가 누구인지를 찾아야 하는데, 그에 대한 정의를 찾는 것도 쉽지 않기 때문이다.

(마스터 마인드는 협업의 개념에서 나온 것으로, 이는 명확한 목표를 달성하기 위해 2명 이상의 사람들이 지식과 노력을 조화롭게 공유하는 화합의 정신이다.)

“생각의 시크릿”이란 제목으로 번역된 이 책의 본래 제목은 “Thoughts are things (‘생각하는 것들은 실체다)“로서 생각한 것이 어떻게 눈에 보이는 실체(물질)로 만들 수 있는가에 대한 설명을 하고 있다.

저자는 생각을 실체화 하는데 있어 가장 큰 적을 두려움이라고 말한다.

여기서 두려움은 단지 어떤 일에 대한 실패와 그로 기인한 두려움만을 말하지 않는다.

완벽주의에서 기인하여 일을 자꾸 미루게 하는 생각도 두려움으로 분류하는 특징을 보이고 있다.

그렇다면,

‘좀 더 신중히 생각하는 것이 나쁘다는 것인가?’

‘실패의 위험성을 있는데, 그것을 무시하고 일단 행동부터 취하는 것이 과연 당연한 것인가?’라는 질문을 할 수 있다.

이것은 ‘생각과 행동을 고치는 것이 왜 그렇게 어려운가’?라는 질문을 통해 이해할 수 있다.

‘왜 습관을 바꾸는 것이 그렇게 어려울까?’

뉴턴의 운동법칙 중에서 제1법칙은 관성의 법칙이다.

관성의 법칙 : 물체에 힘이 작용하지 않으면 정지한 물체는 계속 정지해 있고, 운동하고 있는 물체는 현재의 속도를 유지한 채 일정한 속도로 운동을 한다.

생각은 눈에 보이지 않는 무형의 실체다.

따라서 관성의 법칙(가만히 있는 것은 계속 가만히 있으려고 하고, 잘못된 행동을 계속 잘못된 행동을 이끈다.)이 작용한다.

우리는 흔히 어떤 일을 할 때, 실패의 위험성 때문에 신중히 접근하는 태도를 갖는다.

하지만 이러한 태도에도 관성의 법칙이 강력하게 작용하기 때문에 결국 변화가 없는 상태로 유지될 가능성이 매우 높다는 것이다. 그렇기에 저자는 일단 ‘행동하라’고 말하는 것이다.

처음엔 이 책을 ‘시크릿’(저자 론다번)의 아류작 정도로 생각했었다.

하지만 책을 읽어볼수록 나폴레온 힐의 ’생각하라, 그러면 부자가 되리라‘라는 책을 좀더 명확하게 하고 실제화 하는데 도움을 준다는 생각이 든다.

핵심은 가계부채가 아닌 재정적자에 있다.

경제 전쟁 - 대한민국 경제, 어디로 갈 것인가?
최용식 지음 / 강단 / 2015년 12월

경제가 최악이다.
최악의 경제를 벗어나기 위해 정부가 지금껏 꺼내든 카드 중에 가장 기억나는 것은 재정적자와 부동산 완화정책이다.
그래도 경제는 여전히 바닥이다.
정부는 바닥경제에서 벗어나기 위해 우리가 가야 할 길이 아직도 먼데, 국회가 발목을 붙잡고 있다고 주장한다.
얼마 전 박대통령의 국민대담화의 내용에서도 이를 언급했다.

박대통령은 “가계 부채와 부동산 문제는 동전의 양면 같은 것, 일관되게 관리해온 결과 전체 가계부채 규모는 늘었지만, 질적인 구조는 획기적으로 많이 좋아졌다”고 설명했다.

이 말은 높은 가계 부채가 경제 성장의 발목을 붙잡는다는 것을 기본전체로 이야기 한 것이다.

높은 가계부채가 정말로 경제 성장의 발목을 붙자고 있는 것일까?
‘이는 절대적으로 잘못된 이야기이다’라고 주장하는 이가 있다.

가계부채가 경제 성장의 발목을 붙잡는 것이 아니다.

최용식.
애널리스트이자, 참여정부 시절 노무현 전 대통령의 경제 개인교수였으며, 제15대 대통령직 인수위원회 경제2분과 행정관, 국회 정책연구위원 등을 역임했고 현재 21세기경제학연구소 소장이다(이하 “소장”).

최용식 소장은 다음과 같이 주장한다.
대부분 경제전문가들은 가계부채가 우리 경제의 가장 심각한 문제 중 하나라고 간주하지만, 그렇지 않습니다. 세계적으로 가계부채 비율이 높은 나라일수록 소득수준은 높고 경제도 안정적입니다. 오히려 가계부채가 낮을수록 국민소득이 낮거나 경제위기에 자주 노출되고 있습니다.

가계부채가 많다는 것은 자본축적이 충분하다는 뜻

가계부채 비율이 높은 나라일수록 소득은 높고 경제가 안정적이며 성장률도 상대적으로 높다고? 그렇다면 그 이유는 무엇일까?
가계부채가 많다는 것은 자본축적이 그만큼 충분하다는 것을 뜻하기 때문이다.

서브프라임모기지 사태는 정부의 정책 실패가 그 원인이다.
상당수 경제전문가는 미국 서브프라임모기지 사태를 거론하면서 가계부채가 이 사태의 주요원인이라고 주장한다.
그러나 이는 단순히 가계부채 때문에 일어난 일이 아니었다.
부시정권이 ‘소유 사회’를 내세워 550만 채의 주택을 못사는 사람에게 공급하면서 과도한 정책지원을 통해 주택가격의 거품을 발생시켰고, 재정적자까지 과도하게 누적시킴으로써 시장이자율을 상승시켰던 것이 미국 금융위기의 결정적인 원인이라는 것이다.
시장 이자율의 상승은 정상적인 상황에서 대출상환이 가능한 사람들을 주택담보대출이 어려운 상황으로 이끌어 그 어려움이 가중되었고, 여기에 관련 파생 금융상품의 가격이 폭락하여 금융위기가 발생했다는 것이다.
다시 요약하자면, 주택담보대출의 상환이 제대로 되지 못한 것은 과도한 가계빚 때문이 아니라 정부가 잘못된 정책으로 이자율을 상승을 시키는 데에서 문제가 일어났다는 것이다.

가계부채 탓은 정부의 정책실패를 가리기 위한 수단일뿐...

그렇다면 왜 정부는 경기 부진의 원인을 가계부채 탓으로만 돌릴까?
경기 부진원인을 가계부채로 돌려놓으면, 정부는 정책실패의 책임에서 쉽게 벗어날 수 있기 때문이다.

최용식 소장은 바닥경제에서 벗어나기 위한 방법으로 가계 대출을 제한하는 것이 아니라 오히려 정부의 재정지출을 줄여야 한다는 다른 주장을 펼친다.

진짜 위기는 정부의 과도한 적자 재정지출에 있다.
재정적자가 마치 대세적인 시대흐름인 것처럼 전 세계가 재정적자 정책을 펼치고 있다. 이러한 정부의 과도한 재정지출이야 말로 국가의 경제위기를 일으킨다는 주장을 어떻게 받아들여야 할까?
조금 더 조심스럽게 책을 읽어 봐야겠다.

타이거21회원들에게 묻습니다. 부자 되는 돈 관리법

부자 되는 돈 관리법 - 상위 1% 부자들에게 배우는 부의 법칙
폴 설리번 지음, 박여진 옮김 / 한국경제신문 / 2016년 2월

저자 : 폴 설리먼

현재 그는 뉴욕타임스에 칼럼을 쓰는 경제 전문 칼럼리스트이다. 트리니티 칼리지와 시카고 대학을 졸업했으며 “파이낸셜타임스”에서 기자 겸 편집자, 칼럼니스트로 일했다.

그는 역사를 전공했으나 어떤 이유에서인지 경제신문사에 취직하게 된다.

그리고 그곳을 통해 돈과 돈에 관련된 이야기들을 배우게 된다. 폴은 지난 10년간 미국 최고 부자들 사이에서 살면서 그들에 관한 글을 썼다.

부유한 사람들도 그들만의 사교모임을 갖는다.

최근에 떠오르는 모임 중에 타이거21이란 클럽이 있다.

타이거21은 21세기에 보다 좋은 결과를 위한 투자 그룹(The Investment Group for Enhanced Results in the 21st century)의 약어로 1999년 두 명의 기업가 출신 거부 마이클 소넨펠트와 리처드 라빈이 만들었다.

가입조건은 당장 투자에 쓸 수 있는 현금성 자산이 1,000만 달러가 넘어야 하고 반드시 자수성가한 사람이어야 한다는 것이다.

자수성가로 1,000만 달러 이상을 보유하다니 대단하다.

그러나 타이거21은 단순히 부자들만의 투자 클럽과 같은 모임이 아니다. 서로의 삶을 공유하는 것이 목적이라고 말하는 이들은 부자들만의 사적인 문제까지 조언을 아끼지 않는다.

폴은 부자에 대해서 연구하면서, 돈이 많다는 것과 부유하다는 것에 대한 차이점이 있음을 구별한다. 또한 부유한 사람과 그렇지 않은 사람들 사이에는 눈에 보이지 않는 가느다란 선이 있음을 발견한다. 폴은 그 선을 그린라인이라 부른다.

그는 자신도 그린라인 위에 있었으면 하는 소망을 품으며, 부자들의 투자와 저축, 소비 등의 경제생활, 그리고 기부와 돈에 대한 사고방식을 이렇게 기록하고 있다. 

part1 : 부자들이 돈을 생각하는 법

돈과 부에 대해서 어떻게 생각하는가? 돈에 대한 두려움과 불안함에 솔직해지는 것이 어떻게 합리적 결정으로 이어지는지 살펴본다.

part2 : 부자들이 돈을 버는 법

돈을 저축하는 3가지 방법을 살펴보면서 사람들이 저축을 얼마나 등한시 하고 사는지에 대해 이야기한다. 

part3 : 부자들이 돈을 쓰는 법

어떻게 하면 파산하지 않을지, 소비를 즐기는 방법은 무엇인지, 자녀 교육을 위한 소비는 어떻게 해야 하는지 살펴본다. 

part4 : 부자들이 돈을 주는 법

자선기부와 상속에 대해서 살펴본다.

part5 : 당신을 돈을 어떻게 생각하는가?

부자들도 돈에 대해서 이야기 할 때 스트레스를 받는다. 우리가 돈에 대해 생각하거나 이야기할 때 얼마나 스트레스를 받는지에 대한 과학적 실험을 보여준다. 

책을 통해 부자들의 행동이 나와 가장 크게 달랐던 몇 가지를 찾을 수 있었는데, 부자들은 [이름 없는 돈에 ‘이름표’를 붙인다]는 점이었다. 마음속의 회계장부를 작성하여 위기에 대응하고, 불필요한 지출을 줄이는 것이다.

또한 부자들은 자신이 원하는 것을 마음껏 소비할 것이란 생각을 했었는데, 실제 부자들은 원하는 것과 필요한 것에 대한 구분이 명확하고 필요한 것만을 구매한다는 점이었다.

무엇인가를 소비하고 싶다는 인간의 욕구와 한정된 자원을 어떻게 소비해야 하는 가에 대한 상반된 마음을, 부자들은 냉철한 이성을 통해 통제함을 배울 수 있었다.