소수가 무한히 있는 것을 어떻게 알았을까? 무한히 있는 대상을 소수가 유한 개밖에 없다고 가정한다. 여기서는 소수가 2와 3과 5의 3개밖에 없다고 가정한다. 이 유한 개 소수의 곱에 1을 더해생기는 ‘31‘이라는 수(2×3×5+1 = 31)는 어떤 수일까?
소수는 2, 3, 5뿐이라고 가정했으므로 31은 소수가 아니다. 따라서 합성수이다. 합성수는 소수의 곱으로 이루어진 수이다. 따라 이서 31은 소수(2, 3, 5)로 나누어 떨어져야 한다.
그런데 31은 2, 3, 5로 나누어도 항상 1이 남는다. 이것은 31이합성수가 아니라 소수임을 의미한다. 그런다면 310이 소수가 아니라고 한 최초의 가정과 모순된다. 즉 ‘소수는 2와 3과 5의 3개밖에 없다.‘는 최초의 가정이 틀리고 4개째의 소수가 존재하는 셈이다(귀류법). 마찬가지 방법에 의해 소수가 1개(유한 개) 있으면1+1개째 소수가 존재한다는 사실을 보여 준다. 이 점에서 소수는유한 개가 아니라 무한히 있음을 알 수 있다.