학교 수학에 대한 재밌는 배경 설명

이런 수학이라면 포기하지 않을 텐데 - 문제가 쉽게 풀리는 짜릿한 수학 강의 ㅣ 지식이 터진다! 포텐 시리즈
신인선 지음 / 보누스 / 2021년 11월

한국에 비해 일본은 수학 문화가 발달되어 있다. 학생들이 수학을 공부하는 것은 전 세계가 공통적이지만, 성인이 되어서도 취미 생활로 수학을 공부하는 비율이 일본이 한국보다 월등히 높다. 이런 문화는 출판에서도 수학 관련 도서가 많이 나오는 현상을 보더라도 알 수가 있다. 십년 전만 하더라도 ‘이런 수학이이라면 포기하지 않을 텐데’와 같은 도서는 한국에서 나오지 않았다. 대체적으로 이런 류의 책은 일본 수학 도서를 번역한 책이 많았다. 초등학생용으로는 고지마 히로유키의 책을 읽으면 좋다.

이런 일본의 수학 문화에 힘입어 많은 수학 관련 번역서들이 번역이 되었고, 한국 출판 업계에서도 자체적으로 수학 관련 도서들이 나왔지만, 그렇게 좋은 책들이 많지 않았다. 대체적으로 수학 문화사와 관련된 책이거나 수학적으로 사고하는 종류의 책보다는 수학 관련 이야기거리에 치중하였다. 그런데, ‘이런 수학이라면 포기하지 않을 텐데’는 수학적 사고력을 기르고, 깊이 있는 수학 문제를 다루고 있다. 대체적으로 대학 이상의 내용이라기 보다는 고등학교 수학에서 다루는 무한의 개념을 쉽게 설명하고 관련 문제로 생각할 수 있게 하였다.

현직 교사가 쓴 책이라 그런지 학교 수학의 배경을 설명하는 측면이 강하게 느껴진다. 대체적으로 학생들이 읽어도 좋을 책이고, 성인들이 학교 수학에 대해 안 좋은 기억이 있거나 혹은 취미 생활로 읽어도 좋을 책이다.

초등공부, 스스로 끝까지 하는 힘

초등공부, 스스로 끝까지 하는 힘
김성효 지음 / 해냄 / 2021년 10월

이 책은 자녀가 있고, 자녀들이 공부를 어떻게 하면 잘하게 할 수 있을까 고민하는 학부모라면 읽으면 좋을 책이다. 그런데, 교사가 자신이 가르치는 아이들을 변화시키기 위해 이 책을 읽는다면 한 가지 점에서 문제점을 발견하게 될 것이다. 학교는 공부하는 곳이 아니라 그냥 즐겁게 시간 보내고 오는 곳이라고 생각하는 학부모와 학생에게는 이런 종류의 책이 별로 필요없다는 것이다.

학교는 공부하는 곳이라는 생각이 상식이 아니라 이제는 고리타분한 패러다임으로 변해 가는 것 같다. 초등학교에서 공부를 왜 하냐 중학교 들어가서 그때부터 하면 된다는 학생과 학부모가 요즘은 심심찮게 많아지고 있다. 이런 학부모와 학생이 다른 이들의 학습을 방해만 안하면 괜찮겠지만, 그렇지 않은 것이 현실이다. ‘초등공부, 스스로 끝까지 하는 힘’은 공부를 하러 학교에 오는 학생들과 적어도 학교는 공부는 하는 곳이라는 것을 받아들이는 사람들을 위한 책이다. 이런 상식적인 것을 중요하게 말하는게 현 대한민국의 교육현실 같다.

20년 전 대학에서 교육학을 배우고, 학습심리학을 수강했다면 대부분 행동주의 학습심리학을 배웠을 것이다. 하지만, 그 이후로 인지주의 심리학이 부상하기 시작했다. 한국에서만 그렇다는 것이다. 실제로 미국에서는 1990년부터 인지주의 심리학이 강조되었다. 이러한 교육과 심리학의 조류를 한국의 주류가 받아들이는 것은 20, 30년이 지나서야 대학강단에서 가르치게 되고, 아직은 이런 지식이 교육 현장에서는 낮설기도 할 것이다. 왜냐하면 행동주의 방식으로 가르친 교사들이 아직도 많으며, 그런 사람들이 교장, 교감이 되어 있는데, 인지주의 방식으로 아이들을 가르치는 것이 가능할 것인가이다.

행동주의 방식으로 아이들을 가리치면 그 결과가 즉각적으로 나온다는 장점이 있다. 하지만, 그렇게 하면 장기적인 학습에 문제가 있다는 것이 인지주의 심리학이 밝혀낸 것이다. 인지주의 학습은 우리 방식의 학습이 행동주의보다 좋아요라는 것도 있지만, 행동주의 학습이 장기적인 면에서 좋지 않아요라는 것을 보여주는 실험과 데이터가 많다는 것이다.

‘초등공부, 스스로 끝까지 하는 힘’은 그런 인지주의 학습심리학의 후반기 연구와 정서 측면의 연구를 모아 실제 현장에서 가르친 경험을 바탕으로 쓴 책이다. 대학 교재의 두꺼움과 상세한 내용들은 없지만, 충분히 쉬운 내용으로 핵심만을 전달했기에 한번 읽어 볼 만한 책이다. 책 중간 중간에 부모의 역할의 중요성을 강조하고 있다. 캐롤 드웩의 마인드셋을 설명했는데, 지능이 고정된 것이 아니라 변화한다는 것은 좋은 지적이다. 참고문헌에도 캐롤 드웩의 책이 있다. 그런데, 드웩의 책을 보면 초등 저학년이나 유치원 때 착한아이에 대한 칭찬도 안 좋다는 것을 말하고 있다. 미주로 인용만을 달아서 그런지 대학 수준으로 독서를 하려는 사람들에게는 조금 부족한 책 목록이 아닌가 한다. 저자가 더 많은 책을 읽었을 것 같은데, 자신이 공부했던 참고문헌을 모두 달아 줬다면 좋았을 것 같다.

공부에 있어 메타인지를 소개한 것은 좋았다. 하지만, 메타인지 이전에 나왔던 인지 관련 학습법은 아직도 유용한데 그런 소개가 없어서 조금 아쉽기는 하다. 또한 벤저민 블룸의 인지학습 6단계가 없다는 것이 더더욱 아쉽다. 인지 학습의 단계는 지식, 이해, 적용, 분석, 종합, 평가의 단계이다. 여기서 지식은 관련 지식을 명제로 암기하는 것이다. 이것이 안되면 이후의 학습 단계가 안되는 것은 당연한 것이지요. 하지만, 요즘은 외우기를 싫어하는 세대인지 관련 지식을 간과하는 경향이 강하다. 메타인지가 좋은 것은 맞는데, 이전의 연구들을 알고 있다면 왜 메타인지가 좋은지 더 잘이해하게 될 것이다.

전반적으로 초등학생에게 공부를 잘하도록 하는 좋은 내용들이다. 그런데 교사들이 이 책을 읽는다면 책 속에 다 담지 못한 관련 지식이 있고, 더 공부해야 할 것이 있다는 것만 알아 두면 되겠다.

심리실험

세상에서 가장 재미있는 62가지 심리실험 - 욕망과 경제편 ㅣ 세상에서 가장 재미있는 심리실험
나이토 요시히토 지음, 니나킴 그림, 한은미 옮김 / 사람과나무사이 / 2021년 10월

’세상에서 가장 재미있는 62가지 심리실험‘(이하 심리실험)은 자기계발서라고 할 수 있다. 그런데 대부분의 자기계발서는 성공한 사람이 자신의 경험을 일반화시켜 이렇게 하면 성공할 수 있다는 내용들이라 보편적이지 않은 특별한 경우가 많거나, 혹은 누구나 알고 있는 노오력을 강조하는 글로 되어 있다. 그래서 읽을 때는 그래 그렇지 하면서도 다 읽고 나면 남는 것이 없는 허전함을 느끼게 한다.

그런데, 심리실험은 어떤 특정인의 경험이 아니며, 누구나 알고 있는 속담이나 경구같은 이야기가 아니다. 과학적 실험을 통해 얻어낸 인간 행동의 보편성을 보여준다. 62가지 실험들이 있으며, 8가지 주제를 가지고 10개 이하의 실험들로 구성이 되어 있다. 꽤 양이 많은 듯 보이지만, 학문적인 내용을 다 걷어내고 핵심적인 정보만 넣었기 때문에 술술 익힌다. 이 점이 심리학 실험에 대해 관심을 가지는 사람이 읽기에는 조금 부족하지 않나 생각이 든다. 하지만, 인간 행동에 대한 다양한 호기심을 밝혀 주는 실험이 있다는 사실만으로 인간 행동에 대한 증명이 실험으로 가능하다는 사실을 알게 해 준다. 더불어 인간 행동의 특성을 이해할 수 있다.

심리실험은 대부분 인지주의와 뇌과학을 바탕으로 하는 것 같다. 행동주의 심리학은 이제 더 이상 우리 주변에 볼수 없는 듯하다. 사회심리학의 실험들도 있다. 그런데, 미국 심리학 실험 위주이기 때문에 문화적으로 다른 사회에서 이런 인간 행동이 통용될 수 있을까라는 의문이 든다. 사회심리학은 유럽과 미국에서 시작했지만, 지금은 한국에서도 그들이 했던 실험들을 한국에서 했는데, 어떤 것은 서양인과 한국인의 행동에는 차이가 없었지만, 어떤 주제에 대해서는 문화적으로 다른 결과가 나오기도 한다. 이런 점들을 설명해 주었다면 좋았겠지만, 저자가 많은 심리실험을 소개하는 것이 중점이었던지 그런 설명은 없었던 것이 아쉽다.

심리실험은 한번의 실험으로 유명해지지 않는다. 어떤 실험이 특이한 인간 행동을 실험으로 증명하면, 후속 실험들이 그걸 다시 검증한다. 아마 이 책에 있는 실험들이 그러하리라 본다. 하지만, 저자가 각 실험들의 후속 실험들이 얼마나 있었고, 처음 결론이 지지되는지도 알려 주었다면 심리학에 관심이 있는 수준 높은 독자들에게도 도움이 되었을 것이다. 하지만, 이 책은 실험 심리학에 대해 처음이신 분들이 재밌게 읽을 수 있는 책이다.

혈액형으로 성격유형 따지는 사람들도 한번 읽어 볼만한 책이다. 아니다. 꼭 읽어야 할 것이다.

현대 수학이 어떤 것을 연구하는지 보여주는 책

숫자 없는 수학책 - 하버드 천재 소년이 보여주는 구조와 패턴의 세계
마일로 베크먼 지음, 고유경 옮김 / 시공사 / 2021년 9월

이 글에는 스포일러가 포함되어 있습니다.

대부분의 사람들은 학교에서 12년 동안 수학을 공부한다. 물론 대학에서 수학을 전공하거나, 혹은 수학을 활용하는 학문을 한다면 좀 더 수학을 공부하는 괴로움을 가지겠지만, 어쨌던 대학 입시를 위한 수학에 증오를 가졌다면 12년 동안만 고통받을 것이다. 초등 수학이 어려워 질 무렵 선생님이 수학은 정말 필요하고 그 이유를 물건을 사면 계산을 정확히 해야 한다는 말로 속일지 모른다. 하지만, 요즘은 계산기가 자동으로 계산하기 때문에 그 말은 사실이 아니다. 그런데, 왜 수학을 공부해야 할까 질문을 해 본다면, ‘숫자 없는 수학책’이란 책을 읽으면 어느 정도 수학의 필요성이랄까, 수학이 실제로 지향하는 것이 무엇인지 얼핏 알 수 있을 것이라 생각한다.

대학 때 위상수학을 수강하게 되었다. 그 전에 위상수학에 대해 알고 있는 것이라고는 컵과 도넛이 위상적으로 같다는 것 정도였다. 신기한 관점을 가진 학문이라고 생각하고 수강을 했는데, 그게 아니었다. 무수히 많은 집합 기호와 증명을 외우면서 컵을 부셔버리고 싶었다. 하지만, ‘숫자 없는 수학책’은 컵과 도넛 이야기도 하지만 좀 더 위상 수학에 대해 친절하게 쉽게 설명했다. 솔직히 말하면 실제 위상수학을 대학에서 듣는 것과는 차이가 많이 난다. 하지만, 책 속에 그러한 위상수학이 사용되는 현실 속에서의 활용 등을 설명하 부분을 보면 위상수학을 공부해야 할 이유가 생길 것이다.

대략 추상적인 수학의 연구 분야를 쉽게 설명하고 있다. 현대수학이라고 말하기는 좀 그런 것이 5차방정식의 해를 구하는 공식이 없다는 것을 밝힌 갈루아의 이론은 군론을 바탕으로 증명한다. 이것이 나온지가 200여년이 되어 가기 때문에 이 책은 어쩌면 200년 이후의 수학 발전을 이야기 하고 있을지도 모르겠다.

여기서부터 스포일러가 있다. 책을 읽다 보면 곁가지로 문제나 수학 정리 등을 소개했는데, 답이 안 주어져 있다. 그 답을 여기에 쓸 것이기에 책을 읽은 사람은 그 문제를 보고 모르겠으면 아래 글을 읽어 보면 될 것 같다.

153쪽에 있는 동전 게임이다. 두 사람이 경기를 하고, 번갈아 가며 주어진 기물이나 숫자를 지우거나 가져오는 게임을 님(Nim) 게임이라고 한다. 이는 필승전략게임라고 하여 반드시 이기는 방법이 있다. 책 속에는 1개 혹은 2개를 가져올 수 있다고 하는데, 내가 이기기 위해서는 3으로 나눈 나머지를 고려하면서, 상대방에게 그 나머지가 항상 같은 상태를 주면 이기게 된다. 책 속에는 동전으로 되어 있지만, 숫자로 21이라고 하자. 21이라는 숫자를 부르면 지는 게임이다. 그럼 내가 이기기 위해서는 20을 불러야 한다. 20은 3으로 나누었을 때, 나머지가 2가 된다. 이렇게 3으로 나누었을 때 나머지가 2가 되는 수는 17, 14, 11, 8, 5, 2가 된다. 내가 이 상태를 상대에게 계속 주면 나는 20을 부르게 되고, 마지막으로 상대는 21을 부르게 된다. 책속에 있는 두 번째 동전게임은 조금 이해가 되지 않았다. 그렇기에 다른 게임을 소개하고자 한다. 세 개의 접시가 있고, 각 접시에 3, 5, 7개의 동전(혹은 바둑돌)이 있다고 하자. 두 사람이 경기를 하며, 번갈아 가며 동전을 가져온다. 그런데 이번에는 가져오는 동전의 개수에 한계를 두지 않는다. 단, 1개 이상만 가져온다는 규칙과 하나의 접시에서만 가져온다는 규칙을 넣는 것이다. 방법은 경기자가 3개의 접시 중에서 하나의 접시를 선택하고 그 중에서 1개 이상의 동전을 가져온다. 그리고 다음 경기자가 3개의 접시 중에서 하나의 접시를 선택하고 동전을 가져온다. 이렇게 번갈아 하며 접시에서 동전을 가져오는데 마지막 동전(모든 동전에서)을 가져오면 지게 되는 경기이다. 이것은 가져오는 개수에 하나를 더한 것으로 나누어 생기는 나머지를 고려하는 것이 아니라 2진법의 쌍을 이용한 해법이 있다.

191쪽 모자 문제는 정답은 흰색 모자이다. 그리고, 모자는 모두 흰색 모자를 쓴 경우이다. 힌트(증명)은 검은색 모자 한 개만 씌워졌을 때와 검은색 모자 두 개가 씌웠졌을 때를 나눠 생각해 보면 된다. 문제 속에 세 번의 질문을 하고 나서야 답을 말하는 사람이 있다는 것이다.

초등 저학년에 맞는 어휘 학습

헷갈리기 쉬운 초등 필수 어휘 따라 쓰기
전기현 지음 / 북스고 / 2021년 2월

  요즘 아이들의 문재는 어휘에 대한 문해력이 낮다는 것이다. 이런 문제는 어릴적부터 많은 단어와 수준이 높은 단어를 접하며 나아질 수 있다. 하지만, 구어와 문어의 차이점이라면, 말로서 모르는 단어를 들으면 궁금증을 가지고 그 단어의 뜻을 물어 보는 아이들의 숫자는 많지 않다는 것이다. 그렇기에 책을 통해 단어를 접하면 그 단어에 대해 더욱 주목하게 되고 의미에 대한 호기심이 생기는 가능성이 크다. 

  헷갈리기 쉬운 초등 필수 어휘는 아주 고급스럽고 난이도가 있는 단어는 아니지만, 제목에서처럼 헷갈리기 쉬운 어휘를 중심으로 그 단어의 쓰임을 문장 속에서 보여주고 있다. 그렇기에 어휘 학습에서 아주 기초적인 단계라고 할 수 있겠다. 

  또한 초등 1,2학년 아동들의 특성이 글씨 쓰기를 좋아 한다는 것이다. 스스로 문장을 만드는 것보다 따라 쓰기를 아주 좋아하는 특성을 이용하여 어휘도 학습하게 하는 방법이 좋은 것 같다.