현대 수학이 어떤 것을 연구하는지 보여주는 책

숫자 없는 수학책 - 하버드 천재 소년이 보여주는 구조와 패턴의 세계
마일로 베크먼 지음, 고유경 옮김 / 시공사 / 2021년 9월

이 글에는 스포일러가 포함되어 있습니다.

대부분의 사람들은 학교에서 12년 동안 수학을 공부한다. 물론 대학에서 수학을 전공하거나, 혹은 수학을 활용하는 학문을 한다면 좀 더 수학을 공부하는 괴로움을 가지겠지만, 어쨌던 대학 입시를 위한 수학에 증오를 가졌다면 12년 동안만 고통받을 것이다. 초등 수학이 어려워 질 무렵 선생님이 수학은 정말 필요하고 그 이유를 물건을 사면 계산을 정확히 해야 한다는 말로 속일지 모른다. 하지만, 요즘은 계산기가 자동으로 계산하기 때문에 그 말은 사실이 아니다. 그런데, 왜 수학을 공부해야 할까 질문을 해 본다면, ‘숫자 없는 수학책’이란 책을 읽으면 어느 정도 수학의 필요성이랄까, 수학이 실제로 지향하는 것이 무엇인지 얼핏 알 수 있을 것이라 생각한다.

대학 때 위상수학을 수강하게 되었다. 그 전에 위상수학에 대해 알고 있는 것이라고는 컵과 도넛이 위상적으로 같다는 것 정도였다. 신기한 관점을 가진 학문이라고 생각하고 수강을 했는데, 그게 아니었다. 무수히 많은 집합 기호와 증명을 외우면서 컵을 부셔버리고 싶었다. 하지만, ‘숫자 없는 수학책’은 컵과 도넛 이야기도 하지만 좀 더 위상 수학에 대해 친절하게 쉽게 설명했다. 솔직히 말하면 실제 위상수학을 대학에서 듣는 것과는 차이가 많이 난다. 하지만, 책 속에 그러한 위상수학이 사용되는 현실 속에서의 활용 등을 설명하 부분을 보면 위상수학을 공부해야 할 이유가 생길 것이다.

대략 추상적인 수학의 연구 분야를 쉽게 설명하고 있다. 현대수학이라고 말하기는 좀 그런 것이 5차방정식의 해를 구하는 공식이 없다는 것을 밝힌 갈루아의 이론은 군론을 바탕으로 증명한다. 이것이 나온지가 200여년이 되어 가기 때문에 이 책은 어쩌면 200년 이후의 수학 발전을 이야기 하고 있을지도 모르겠다.

여기서부터 스포일러가 있다. 책을 읽다 보면 곁가지로 문제나 수학 정리 등을 소개했는데, 답이 안 주어져 있다. 그 답을 여기에 쓸 것이기에 책을 읽은 사람은 그 문제를 보고 모르겠으면 아래 글을 읽어 보면 될 것 같다.

153쪽에 있는 동전 게임이다. 두 사람이 경기를 하고, 번갈아 가며 주어진 기물이나 숫자를 지우거나 가져오는 게임을 님(Nim) 게임이라고 한다. 이는 필승전략게임라고 하여 반드시 이기는 방법이 있다. 책 속에는 1개 혹은 2개를 가져올 수 있다고 하는데, 내가 이기기 위해서는 3으로 나눈 나머지를 고려하면서, 상대방에게 그 나머지가 항상 같은 상태를 주면 이기게 된다. 책 속에는 동전으로 되어 있지만, 숫자로 21이라고 하자. 21이라는 숫자를 부르면 지는 게임이다. 그럼 내가 이기기 위해서는 20을 불러야 한다. 20은 3으로 나누었을 때, 나머지가 2가 된다. 이렇게 3으로 나누었을 때 나머지가 2가 되는 수는 17, 14, 11, 8, 5, 2가 된다. 내가 이 상태를 상대에게 계속 주면 나는 20을 부르게 되고, 마지막으로 상대는 21을 부르게 된다. 책속에 있는 두 번째 동전게임은 조금 이해가 되지 않았다. 그렇기에 다른 게임을 소개하고자 한다. 세 개의 접시가 있고, 각 접시에 3, 5, 7개의 동전(혹은 바둑돌)이 있다고 하자. 두 사람이 경기를 하며, 번갈아 가며 동전을 가져온다. 그런데 이번에는 가져오는 동전의 개수에 한계를 두지 않는다. 단, 1개 이상만 가져온다는 규칙과 하나의 접시에서만 가져온다는 규칙을 넣는 것이다. 방법은 경기자가 3개의 접시 중에서 하나의 접시를 선택하고 그 중에서 1개 이상의 동전을 가져온다. 그리고 다음 경기자가 3개의 접시 중에서 하나의 접시를 선택하고 동전을 가져온다. 이렇게 번갈아 하며 접시에서 동전을 가져오는데 마지막 동전(모든 동전에서)을 가져오면 지게 되는 경기이다. 이것은 가져오는 개수에 하나를 더한 것으로 나누어 생기는 나머지를 고려하는 것이 아니라 2진법의 쌍을 이용한 해법이 있다.

191쪽 모자 문제는 정답은 흰색 모자이다. 그리고, 모자는 모두 흰색 모자를 쓴 경우이다. 힌트(증명)은 검은색 모자 한 개만 씌워졌을 때와 검은색 모자 두 개가 씌웠졌을 때를 나눠 생각해 보면 된다. 문제 속에 세 번의 질문을 하고 나서야 답을 말하는 사람이 있다는 것이다.