현대 수학이 어떤 것을 연구하는지 보여주는 책

숫자 없는 수학책 - 하버드 천재 소년이 보여주는 구조와 패턴의 세계
마일로 베크먼 지음, 고유경 옮김 / 시공사 / 2021년 9월

이 글에는 스포일러가 포함되어 있습니다.

대부분의 사람들은 학교에서 12년 동안 수학을 공부한다. 물론 대학에서 수학을 전공하거나, 혹은 수학을 활용하는 학문을 한다면 좀 더 수학을 공부하는 괴로움을 가지겠지만, 어쨌던 대학 입시를 위한 수학에 증오를 가졌다면 12년 동안만 고통받을 것이다. 초등 수학이 어려워 질 무렵 선생님이 수학은 정말 필요하고 그 이유를 물건을 사면 계산을 정확히 해야 한다는 말로 속일지 모른다. 하지만, 요즘은 계산기가 자동으로 계산하기 때문에 그 말은 사실이 아니다. 그런데, 왜 수학을 공부해야 할까 질문을 해 본다면, ‘숫자 없는 수학책’이란 책을 읽으면 어느 정도 수학의 필요성이랄까, 수학이 실제로 지향하는 것이 무엇인지 얼핏 알 수 있을 것이라 생각한다.

대학 때 위상수학을 수강하게 되었다. 그 전에 위상수학에 대해 알고 있는 것이라고는 컵과 도넛이 위상적으로 같다는 것 정도였다. 신기한 관점을 가진 학문이라고 생각하고 수강을 했는데, 그게 아니었다. 무수히 많은 집합 기호와 증명을 외우면서 컵을 부셔버리고 싶었다. 하지만, ‘숫자 없는 수학책’은 컵과 도넛 이야기도 하지만 좀 더 위상 수학에 대해 친절하게 쉽게 설명했다. 솔직히 말하면 실제 위상수학을 대학에서 듣는 것과는 차이가 많이 난다. 하지만, 책 속에 그러한 위상수학이 사용되는 현실 속에서의 활용 등을 설명하 부분을 보면 위상수학을 공부해야 할 이유가 생길 것이다.

대략 추상적인 수학의 연구 분야를 쉽게 설명하고 있다. 현대수학이라고 말하기는 좀 그런 것이 5차방정식의 해를 구하는 공식이 없다는 것을 밝힌 갈루아의 이론은 군론을 바탕으로 증명한다. 이것이 나온지가 200여년이 되어 가기 때문에 이 책은 어쩌면 200년 이후의 수학 발전을 이야기 하고 있을지도 모르겠다.

여기서부터 스포일러가 있다. 책을 읽다 보면 곁가지로 문제나 수학 정리 등을 소개했는데, 답이 안 주어져 있다. 그 답을 여기에 쓸 것이기에 책을 읽은 사람은 그 문제를 보고 모르겠으면 아래 글을 읽어 보면 될 것 같다.

153쪽에 있는 동전 게임이다. 두 사람이 경기를 하고, 번갈아 가며 주어진 기물이나 숫자를 지우거나 가져오는 게임을 님(Nim) 게임이라고 한다. 이는 필승전략게임라고 하여 반드시 이기는 방법이 있다. 책 속에는 1개 혹은 2개를 가져올 수 있다고 하는데, 내가 이기기 위해서는 3으로 나눈 나머지를 고려하면서, 상대방에게 그 나머지가 항상 같은 상태를 주면 이기게 된다. 책 속에는 동전으로 되어 있지만, 숫자로 21이라고 하자. 21이라는 숫자를 부르면 지는 게임이다. 그럼 내가 이기기 위해서는 20을 불러야 한다. 20은 3으로 나누었을 때, 나머지가 2가 된다. 이렇게 3으로 나누었을 때 나머지가 2가 되는 수는 17, 14, 11, 8, 5, 2가 된다. 내가 이 상태를 상대에게 계속 주면 나는 20을 부르게 되고, 마지막으로 상대는 21을 부르게 된다. 책속에 있는 두 번째 동전게임은 조금 이해가 되지 않았다. 그렇기에 다른 게임을 소개하고자 한다. 세 개의 접시가 있고, 각 접시에 3, 5, 7개의 동전(혹은 바둑돌)이 있다고 하자. 두 사람이 경기를 하며, 번갈아 가며 동전을 가져온다. 그런데 이번에는 가져오는 동전의 개수에 한계를 두지 않는다. 단, 1개 이상만 가져온다는 규칙과 하나의 접시에서만 가져온다는 규칙을 넣는 것이다. 방법은 경기자가 3개의 접시 중에서 하나의 접시를 선택하고 그 중에서 1개 이상의 동전을 가져온다. 그리고 다음 경기자가 3개의 접시 중에서 하나의 접시를 선택하고 동전을 가져온다. 이렇게 번갈아 하며 접시에서 동전을 가져오는데 마지막 동전(모든 동전에서)을 가져오면 지게 되는 경기이다. 이것은 가져오는 개수에 하나를 더한 것으로 나누어 생기는 나머지를 고려하는 것이 아니라 2진법의 쌍을 이용한 해법이 있다.

191쪽 모자 문제는 정답은 흰색 모자이다. 그리고, 모자는 모두 흰색 모자를 쓴 경우이다. 힌트(증명)은 검은색 모자 한 개만 씌워졌을 때와 검은색 모자 두 개가 씌웠졌을 때를 나눠 생각해 보면 된다. 문제 속에 세 번의 질문을 하고 나서야 답을 말하는 사람이 있다는 것이다.

초등 저학년에 맞는 어휘 학습

헷갈리기 쉬운 초등 필수 어휘 따라 쓰기
전기현 지음 / 북스고 / 2021년 2월

  요즘 아이들의 문재는 어휘에 대한 문해력이 낮다는 것이다. 이런 문제는 어릴적부터 많은 단어와 수준이 높은 단어를 접하며 나아질 수 있다. 하지만, 구어와 문어의 차이점이라면, 말로서 모르는 단어를 들으면 궁금증을 가지고 그 단어의 뜻을 물어 보는 아이들의 숫자는 많지 않다는 것이다. 그렇기에 책을 통해 단어를 접하면 그 단어에 대해 더욱 주목하게 되고 의미에 대한 호기심이 생기는 가능성이 크다. 

  헷갈리기 쉬운 초등 필수 어휘는 아주 고급스럽고 난이도가 있는 단어는 아니지만, 제목에서처럼 헷갈리기 쉬운 어휘를 중심으로 그 단어의 쓰임을 문장 속에서 보여주고 있다. 그렇기에 어휘 학습에서 아주 기초적인 단계라고 할 수 있겠다. 

  또한 초등 1,2학년 아동들의 특성이 글씨 쓰기를 좋아 한다는 것이다. 스스로 문장을 만드는 것보다 따라 쓰기를 아주 좋아하는 특성을 이용하여 어휘도 학습하게 하는 방법이 좋은 것 같다. 

[100자평] 대한민국은 왜 무너지는가

대한민국은 왜 무너지는가 - 특권과 반칙 극복할 돌파구, 신뢰와 법치에 대하여
정병석 지음 / 매일경제신문사 / 2021년 1월

논리적으로 저자의 주장을 잘 풀어갑니다. 재밌게 술술 읽히고요. 책 안에 저자의 주장을 강화하기 위해 외국 학자들의 저서도 많이 인용되어 있어요. 다른 독서를 위해 좋아요.

합법적 불공정 사회

합법적 불공정사회 - 세상은 왜 공정해질 수 없는가? 법은 어떻게 우리 사회 불공정을 보호하는가?
우리사회정의 엮음 / 독서일가 / 2021년 1월

이책은 여러 명의 저자가 우리 사회에 대해 분석하고 비판한 내용을 합친 것이다. 대표주제로는 ‘정의란 무엇인가’이며, 이 문제를 분석하기 위해 사회 각 계층의 전문가가 모여 쓴 책이다. 그렇기 때문에 다양한 학문의 시각으로 사회를 볼 수 있는 장점도 있지만, 조금은 통일적이지 않은 느낌도 들지 않을까 우려할 수 있지만, 대체로 한국을 더 좋은 사회로 만들기 위한 방향으로 글의 주제가 모아 지기 때문에 통합적 사고를 도울 수 있다.

한 명의 저자가 쓴다면, 중요하지 않은 챕터들도 있고, 조금 지루하게 읽을 부분들도 있지만, 여러 명의 저자가 썼기 때문에 자신이 쓰는 짧은 주제의 장들은 부차적인 것은 빼고 핵심적인 것만 쓰려고 한 것 같다. 그렇기 때문에 각 챕터들을 읽을 때 계속 집중하게 되는 것 같다.

이 책의 놀라운 점은 한국의 법체계를 공격한다는 점이다. 법 자체의 폭력성에 대한 데리다를 인용하여 법 자체의 문제점을 공격하는 것은 이해가 된다. 그리고, 법이 사회적 약자를 위하기 보다는 기득권 층의 이익을 대변하는 것으로 근로기준법을 부정의하게 해석한 대법원 판결의 예를 들고 있다. 하지만, 대법원의 법률 해석은 그 법률 자체의 모호성에서 그러한 해석이 나왔지 않았을까 생각이 든다. 이는 사법의 문제라기 보다는 입법의 문제가 아닐까 생각이 든다. 국회는 이 책에서도 말하고 있지만, 사회적 약자인 을을 대변하기 보다는 갑인 대기업을 대변하는 쪽이라고 한다. 그렇기 때문에 한국의 법률 자체가 대기업에 유리하게 해석될 여지가 있는 모호한 법률이 있기에 법원이 대기업에게 유리하게 판결하지 않을까 하는 생각이 든다.

불공정 사회를 해결하기 위한 여러 가지 방법이 나온다. 실천적으로 할 수 있는 것도 있고, 그러한 실천의 배경이 되는 사상, 정치 및 시민 의식에 대한 것도 나온다.

그런데, 책에서 말한 방법보다, 내 생각에는 대한민국 국민들이 좀 더 이성적인 비판정신을 가지는 것이 더 중요하지 않을까 한다.

대한민국은 왜 무너지는가

대한민국은 왜 무너지는가 - 특권과 반칙 극복할 돌파구, 신뢰와 법치에 대하여
정병석 지음 / 매일경제신문사 / 2021년 1월

사회 분석 및 비판의 인문 교양 서적은 한국인 저자보다는 외국인 학자가 쓴 글이 훨씬 깊이가 있고, 객관적인 논증이 돋보인다. 반면에 한국인 저자의 글들은 주관적이며, 비상적인 형태로 분석하고 어슬픈 자신만의 망상적 처방을 내 놓는 경우가 많은데, ‘대한민국은 왜 무너지는가’는 이러한 염려가 없이 아주 잘 써진 책이다.

선진국과 다른 외국의 사례와 앞선 연구자, 학자들의 저작 및 주장을 덧붙여 배경 지식을 얻을 뿐 아니라, 저자의 주장에 대한 권위에 의한 근거까지 제공하고 있다. 외국 학자의 책이 좋긴하지만, 번역서를 보게 되면 오역이라던지 자연스럽지 않은 번역으로 인해 이해하기 힘든 경우도 있지만, ‘대한민국은 왜 무너지는가’는 한국인 저자가 쓴 글이며, 이해하기 편하게 쓰여져 가독성이 아주 높다.

저자는 대한민국의 위기를 두 가지 점에서 짚고 있는데, 제도와 사회문화가 그것이다. 하지만, 이 책은 제도보다는 사회 전반의 문화와 구성원들의 인식에 대한 분석을 한다고 하였다. 저자의 전작인 조선에 대한 비판에서 제도적인 문제에 대해 논했기 때문에 현재 대한민국의 문제는 사회문화와 사람들의 인식에 대한 것에 중점을 두고 있다.

법치와 신뢰를 저자는 강조하고 있는데, 책을 읽으며 굉장히 동의하게 되는 주장이다. 신뢰에 대한 주장은 역사적인 맥락과 외국과의 비교를 통해 저자의 주장에 신빙성을 높여 준다. 또한 지금 우리 사회가 사회적 기득권, 지도층에서 신뢰가 무너진 것에 대해 강력하게 비판하고 있다.

능력주의 사회에 저자의 생각은 조금 동의하기는 힘들지만, 일견 저자의 주장도 의미가 있다. 한국 사회는 아직 능력에 따라 분배가 되지 않는 사회였다는 것은 맞는 말이다. 그런데, 능력에 의한 분배가 되기도 전에 사회 계층에 따른 학벌 사회로 전환되면서 학벌 능력주의 사회로 가고 있는 중이다.

전반적으로 잘 쓰여진 책이며, 한국 사회를 분석하며, 이성적 비판을 위한 여러 논의들이 있는 책이다.