P와 NP문제

수학의 매력 - 세상의 모든 x값을 찾아 떠나는 여행
리여우화 지음, 김지혜 옮김 / 미디어숲 / 2024년 1월

"만물은 수이다." 고대 그리스의 수학자 피타고라스의 말이다. 과학자와 수학자에게는 십계명 제1조에 해당하는 문구지 싶다. 비록 내 수학지식이 여전히 저공비행의 차원에 머물고는 있지만, 피타고라스의 말에 공감하지 않을 수 없다. 수학자나 물리학자의 전기를 읽다보면, 수학의 아름다움을 찬양한다는 공통점을 발견한다. 비록 수포자 수준이지만, 그런 내게도 수학의 매력을 느끼게 해준 네 가지가 있었다. 165, 오일러 등식, 그리고 원주율 π와 루트2다.

165는 내게 수의 매력을 처음 알려주었다. 165를 계속 더하면 주판을 9999로 계속 채워나갈 수 있기 때문이다. 지금도 그렇지만 주산을 배우지 않은 이들의 연산과 암산은 대체 어떤 식으로 진행되는지 늘 호기심의 대상이다. 난 언제나 주판이 심상으로 그려진 상태에서 연산하기 때문이다. 오일러 등식은 오가와 요코의 소설 《박사가 사랑한 수식》을 통해 처음 접했다. 엄청 감동했지만 오일러 등식을 전혀 이해하진 못했다. 수학계에서 가장 아름다운 등식이라고 소문이 났는데, 이런 수식이야말로 수학자만이 느낄 수 있는 수학의 찐매력인가 어림할 뿐이다. 수학은 정답을 추구하는 증명의 학문으로 유명한데, 원주율 π와 루트2는 끝없는 미완의 신비를 알려주었다. 참, 루트2는 영화 〈이상한 나라의 수학자〉에 등장해 내 호기심을 끌었다.

중국의 수학 마니아 리여우화는 수학 팟캐스트를 운영하며 수학의 대중화와 수학의 문화를 홍보하는 데 앞장서고 있는 IT업계 종사자다. 저서로 《이토록 재미있는 수학이라니》와 《수학의 매력》 등이 있다. 《수학의 매력》 책 표지에 나오는 "수학으로 세상을 이해하는 법"이란 문구와 "여러분에게 수학이 결코 지루한 과목이 아니라 창의성과 재미, 도전성으로 가득 차 있다는 인식을 심어 줄 수 있"다는 UCLA 수학과 교수의 추천사에 혹해서, 본서를 펼쳐 들었다. 내 수준보다 차고 넘치게 어렵다.

최상위 난제의 풀이에는 두둑한 현상금이 붙는다. 일테면 클레이 수학 연구소에서 현상금을 걸고 있는 밀레니엄 7대 수학 난제가 있다. 푸앵카레 추측, P와 NP문제, 호지 추측, 리만 추측, 양-밀스 질량 간극 가설, 나비에-스토크스 방정식 해의 존재성, 버치-스위너턴다이어 추측이다. 이중에서 저자는 알고리즘의 복잡도 문제에서 가장 중요한 'P와 NP문제'에 대해 소개한다. 여기서 P는 다항식의 이니셜이다. 대표적인 P문제는 버블 정렬 같은 정렬 문제와 어떤 정수가 소수인지 아닌지를 판정하는 소수 판정 문제다. 한편, NP문제는 다음과 같다.

"만약 어떤 문제와 이 문제에 대한 어떤 해답이 주어질 때, 다항 시간 알고리즘이 존재하여 이 해답의 정확성을 검증한다면 이 문제는 NP문제이다."(281쪽)

P와 NP문제를 해결하면 백만 달러의 상금을 받을 수 있다고 하니, 여러분이 수학 마니아거나 여러분의 자녀가 수학 천재라면 한번 도전해보면 어떨까.

동탁과 화신

간신 : 간신전 ㅣ 간신
김영수 엮음 / 창해 / 2023년 12월

사마천 전문가 김영수의 《간신전》(창해, 2023)은 역대 가장 악랄했던 중국의 거물급 간신 중 18명을 시대 순서로 추려 그들의 행적을 추적한 인문서다. '간신전'에 더러운 악명을 올린 이들은 진의 조고, 동한의 양기와 동탁, 북주의 우문호, 수의 양소, 당의 이의부와 이임보, 양국충, 노기, 북송의 채경과 황잠선, 남송의 진회와 가사도, 명의 유근과 엄승, 엄세번, 위충현, 온체인, 그리고 청의 화신이다. 역대급 간신을 국내 독자들에게 한마디로 어떻게 인식시키면 좋을지, 저자의 고심이 드러난 대목이 있다. 일테면, 소제목에서 조고를 '지록위마'의 간신으로, 동탁을 '무간'의 시대를 연 무부로, 이의부를 웃음 속에 비수를 감춘 인간 삵괭이로, 이임보를 입에 꿀을 바르고 다닌 간신 등으로 소개한 문구에서다.

저자는 전작 《간신론》(창해, 2023)에서 간신의 핵심 특징으로 간(奸), 탐(貪), 치(恥) 세 글자를 꼽은 바 있다. '간'이 야심, 반역, 표리부동, 비열, 사악 등의 의미를 내포한다면, '탐'은 재물을 탐하는 '탐재', 권력을 탐하는 '탐권', 색을 탐하는 '탐색', 자리를 탐하는 '탐위'라는 네 가지 특성을 강조한다. 그리고 '치'는 식견과 포부가 결여된 추악한 탐욕의 비참한 말로를 드러내는 본질적인 특징이 아닐까 싶다.

나는 앞서 언급한 18명의 간신배 가운데 동탁과 화신이 '간ㆍ탐ㆍ치'를 가장 잘 대변하는, 그리고 그나마 우리에게 친숙한 캐릭터라고 생각한다. 삼국지 마니아라면 삼국시대의 본격적인 서문을 연 동탁의 피살을 기억할 것이다. 또한 중국 드라마 마니아라면, 청나라를 배경으로 한 사극에서 황제의 오른팔로 등장하는 화신이 결코 낯설지 않을 것이다.

영화 〈서울의 봄〉이 천만 관객 돌파라는 대박 행진중이라고 하는데, 동탁과 같은 정치군인이 더이상 나오지 않길 기도할 뿐이다. 그런데 화신과 같은 '역대 최고의 탐관오리 간신'은 여전히 뉴스 지면에서 심심치 않게 마주칠 것 같아 유감천만이다. 잠시 화신의 부정축재의 규모를 들어보시라.

"집 2천여 채, 논밭 1억 6천만 평, 개인금고 열 군데, 전당포 열 군데, 20년 동안 청나라 10년 세금 수입에 해당하는 80억 냥을 갈취한 탐욕의 대명사다. '화신이 죽자 가경제가 배부르게 먹고 살았다'는 말이 있을 정도로 재물을 닥치는 대로 긁어모은 탐욕형 간신의 대명사이다."(11, 12쪽)

이런 부정축재의 꿈을 꾸는 정치 모리배가 작당하고 본격적인 기지개를 켜는 소리가 귓가에 들려온다. 이게 과연 내 환청일까.

아들러 심리학, 직장인 활용편

회사생활이 힘드냐고 아들러가 물었다 - ‘일잘러’로 거듭나는 아들러의 가르침 : 직장생활 실전편
오구라 히로시 지음, 박수현 옮김 / 지니의서재 / 2024년 1월

서구 심리학의 삼대 거장은 지그문트 프로이트, 칼 구스타프 융, 알프레트 아들러다. 각각 리비도와 상징적 원형에 집중한 프로이트와 융의 심리학이 '영웅 시대'의 심리학이라면, 아들러의 심리학은 '포스트 영웅 시대'의 심리학이라고 할 수 있다. 프로이트가 오이디푸스와 모세 이야기에 주목했고, 융이 대지모신을 비롯한 동서양 문화의 신화에 주목했다면, 아들러는 육아와 같은 보다 현실적인 소시민적 과제에 주목했다. 아들러가 중시한 인간 유형은 영웅이 아니라 '유익한 사람'이다.

"인생은 복잡하지 않다. 당신이 인생을 복잡하게 만드는 것이다"라는 말이나 "자신을 바꿀 수 있는 사람은 타인이 아닌 자신밖에 없다"는 말은 아들러 심리학의 기본 태도를 잘 보여준다. 작금의 일본 사회에서 아들러 붐이 크게 일어났는데, 이는 '소확행'과 '가성비'를 중시하는 문화적 트렌드와 밀접한 관련이 있다고 생각한다. 일본의 심리상담사 오구라 히로시는 아들러 심리학을 직장과 비즈니스에서 적극 활용하는 방안을 스토리텔링 방식으로 알려준다. 새롭게 부임한 들러 팀장이 부하직원인 료에게 한 수 한 수 아들러 심리학의 비전을 전수하는 유쾌한 오피스 드라마랄까.

저자는 아들러 심리학을 크게 '용기'와 '공동체 감각(사회적 관심)'이라는 두 가지 핵심 개념으로 설명한다. 이 두 개념은 각각 독립된 두 개의 축이지만 동시에 상호의존 관계이기도 하다. 아들러 심리학은 일명 '용기의 심리학'이라 불린다. 사람은 용기가 있어야 성장한다. 저자는 아들러가 강조한 참된 용기를 설명하기 위해 긍정적인 주목과 리프레이밍(인지의 틀을 다시 설정한다는 의미), 자기 일치, 기능 가치와 존재 가치, 자기 긍정과 자기 수용 등의 관련 키워드와 그 구체적인 적용법을 소개한다.

"아들러 심리학에서는 결점까지 그대로 인정하는 것을 '자기 수용'이라고 부른다. 자기 수용에서 세상을 멋지게 살아갈 힘이 나온다. '기능 가치'에 감정이나 심리가 좌우되어서는 결코 자신에게 용기를 북돋울 수 없다."(95쪽)

한편, 공동체 감각은 용기의 사회적 확장이라고 보면 된다. 참된 용기는 주위 사람들에게 공헌하고 싶다는 생각과 행동과 관련되기 마련이다. 그럼에도 아들러가 말한 매일 누군가의 마음에 연료를 넣는 공동체 감각은 행하기 쉽지 않다. 저자는 공동체 감각을 키우기 위한 과제의 분리, 지배와 복종, 호혜성의 법칙, 맡기기 등의 실천적 노하우를 알려준다.

전사들 얼티밋 가이드

전사들 얼티밋 가이드
에린 헌터 지음, 웨인 매클로플린 그림, 서현정 옮김 / 가람어린이 / 2023년 12월

세계관 정리가 필요한 시리즈물이 있다. 가령 '스타워즈', '건담', '원피스' 그리고 '전사들' 시리즈가 그러하다. 이에 비하면 '매트릭스'나 '해리 포터'는 초등 수준에 불과하다. 어릴 때 건담의 복잡한 세계관을 이해하기 위해 건담 백과사전을 열심히 읽던 기억이 난다. 나는 '전사들' 시리즈를 그래픽노블로 처음 접했기에, 전사들의 세계관에 빈 구멍이 많은 편이다. 그래서 영어원서로 읽어보려고 하는데, 매 시리즈마다 여섯 권이고 무려 7부를 넘어서는 그 방대한 분량에 조금 주저하게 된다. '전사들'의 각 부족은 지도자, 부지도자, 치료사, 훈련병, 전사, 킷, 원로 등으로 구성된다. 따라서 무수히 많은 캐릭터들이 대를 이어가며 이야기에 나오는데, 지도자나 치료사 같은 주요 캐릭터만 따져도 백을 채우고도 남는다. 우리에게 《전사들 얼티밋 가이드》(가람어린이, 2023) 같은 책이 필요한 이유다.

충실한 가이드북답게, 이 책은 '전사들'의 주요 캐릭터를 생생하고 정교한 삽화와 더불어 소개하고, 각 종족의 배치도는 물론 숨겨진 비화를 들려준다. 천둥족, 그림자족, 바람족, 강족, 하늘족, 물여울부족 6개 부족과 각 부족의 주요인물은 물론, 고대 고양이들과 종족에 속하지 않는 고양이들과 다른 동물들에 대한 소개까지 해주고 있다. 잘 알다시피, 천둥족은 낙엽수가 많은 지역, 바람족은 탁 트인 황무지, 강족은 물고기가 풍부한 강가, 그림자족은 습지와 소나무가 주를 이루는 지역을 영역으로 차지하고 있다. 한편, 하늘족은 본래 숲에 살았던 최초의 종족인데, 숲에서 쫓겨난 뒤 모래 바위가 깎여 만들어진 협곡에서 살게 된다. 그리고 물여울부족은 거칠고 황량한 산의 동굴에서 산다.

'삼국지' 입문자가 제갈량의 매력에 푹 빠져들듯, '전사들' 입문자라면 누구나 천둥족의 용맹하고 너그러운 지도자 파이어스타(불꽃별)에 빠지기 마련이다. 파이어스타는 '구약'에 비유하면 모세와 같은 그런 리더다. 파이어스타가 숲에 살던 종족들이 새로운 보금자리를 찾아 호숫가로 이동한 '위대한 여정' 동안 천둥족을 이끌었기 때문이다. 참고로 천둥족은 다른 종족보다 '전사의 규약'을 가장 잘 준수하는 가장 전투적인 부족이다. 또한 별족에 대한 믿음에서 비롯되는 연민과 용기가 가장 넘쳐나는 부족이기도 하다. 독자들은 여섯 부족 가운데 천둥족을 자신의 거울 이미지로 삼기 쉽다. 가령 천둥족에게서 미국인은 미국인의 모습을, 유대인은 유대인의 모습을, 그리고 한국인은 한국인의 모습을 보곤 한다.

파이어스타 이전의 천둥족 지도자인 블루스타, 파인스타에 대한 정리도 유익하지만, 파이어스타의 뒤를 이은 천둥족 지도자이자 타이거스타의 아들인 브램블클로(가시나무발톱)라는 새로운 리더에 대해 알게 돼 반갑다. 본 시리즈에 등장하지 않은 비화인 브램블스타와 타이거스타가 별족에게서 아홉 개의 목숨을 받는 이야기가 매우 흥미롭다.

조선의 실천적 지성 율곡

경연일기 - 조선의 미래를 고민한 실천적 지성의 기록 ㅣ 클래식 아고라 4
이이 지음, 유성선.유정은 옮김 / arte(아르테) / 2023년 12월

율곡 이이의 학문은 이학으로서의 성리학과 기학으로서의 경세학으로 구성되어 있다. 율곡은 학문을 통해 인간의 변화를 시도한 성리학자이면서, 정치를 통해 사회개혁에 매진한 경세가였다. 다시 말해서, 율곡은 이기일원론을 정립한 조선 유학의 거두이면서, 이론에 매몰되지 않고 현실에 기반해 개혁을 주장한 노련한 정치가였다. 율곡의 정신을 이은 후대의 학자들, 즉 율곡학파는 외적인 실천규범과 질서를 중시한 도문학을 강조했다. 조선의 대표적인 '실천적 지성' 율곡의 생강처럼 매운 기풍을 맛보려면 『경연일기』(아르테, 2023)를 펼쳐보면 된다.

『경연일기』는 율곡이 정치의 현장에서 쓴 17년의 일기다. 율곡의 나이 30세 때인 1565년(명종 20년) 7월에 시작하여 46세 때인 1581년(선조 14년) 11월에 끝나는 약 17년간의 방대한 기록이다. 경연이란 국왕이 학문을 닦기 위해 신하 중에 학식과 덕망이 높은 이를 불러서 경전이나 역사서 등을 강론하던 일을 말한다. 강론이 끝난 뒤에는 국왕과 신하가 함께 고금의 도의를 논하고, 정치와 국정 현안 등을 토론하기도 했다. 『경연일기』는 당시 조정에서 일어난 왕과 여러 대신들의 정사 집행 내용과 함께 인물에 대한 평론, 그리고 율곡의 생각도 사론을 통해서 확인할 수 있는 경세서이면서 수양서이기도 하다. 율곡은 『경연일기』를 『금상실록』이라고 했는데, 이는 본인이 사관의 자의식을 갖고 쓴 글이기 때문이다.

율곡은 투철한 우환 의식을 갖고 16세기 조선을 걱정한 실천적 지성이었다. 유학은 본래 나라와 백성에 대한 우환 의식을 근본으로 한다. 율곡은 당시 조선의 상황을 경장기(更張期)로 진단하고 개혁의 당위성을 강력히 주장하였다.

"지금 나랏일을 하려는 이들의 계획은 틀렸다. 무슨 일을 하려면 마땅히 개혁이 있어야 한다. 지금 140년 동안 설치해 놓은 위패조차도 옮길 수 없는데, 하물며 140년 동안 시행해 온 제도를 어찌 바꿀 수 있겠는가? 궁색하면 변화하고 변화하면 통하는 법인데, 지금은 궁색해도 변화하지 않으니 무슨 까닭인지 나는 알 수 없다."(75쪽)

이러한 율곡의 우환 의식은 105편에 달하는 상소와 차자로 임금에게 올려졌다. 그는 당시 세도가의 처벌을 기탄없이 주장했고, 오직 능력에 따라 인재를 등용해야 함을 주장했으며, 동서 분당의 조짐이 보이자 이를 조화하고 화합시키려는 노력을 게을리하지 않았다. 『경연일기』에는 율곡이 선조에게 건의한 국정 전 분야의 구체적 개혁안이 수록되어 있다. 향약 시행은 물론 군정개혁과 공납개혁은 지속적인 정치 의제였다. 공납 문제는 이이가 제안한 수미법으로 개선되었고, 수미법은 후에 큰 변화 없이 대동법으로 정착되었다.

율곡은 경연일기에 당대 문사나 정치인 등 23명에 대한 솔직한 인물평을 남겼다. 선조 2년(1569년), 왕이 퇴계에게 인물 천거를 청하자 퇴계는 이준경과 기대승을 추천했다. 기대승이 누군가. 당대의 거유 이황과 그 유명한 사단칠정 논쟁을 펼치며 퇴계를 압도했던 걸출한 학자다. 그런데 당시 홍문관 교리 율곡은 이렇게 썼다.

“이준경은 영의정 자리에 있으면서 임금을 도학으로 인도하지 못했고, 인재들을 널리 불러들이지 못했다. 또 그는 뻣뻣하게 자기만 잘난 체했으며, 다른 사람을 받아들이는 도량이 없었고 단지 근래의 규칙만을 준수하여 사람들의 논의를 막아버렸으니, 숫자만 채우는 신하에 불과할 뿐이다. 기대승은 재주는 뛰어났지만 기질이 거칠어서 학문이 정밀하지 못하고 자신만 잘난 체하며 다른 선비들을 가볍게 여겼다. 또한 자기와 의견이 다르면 그 사람을 미워하고 자기와 의견이 같은 사람만 좋아하였다. 만약 그가 임금의 신임을 얻는다면 그의 비뚤어지고 고집스러운 병폐로 나랏일을 그르치고 말 것이다. 이황 같은 현명함을 가지고서도 그 추천하는 인물이 이와 같으니 사람을 알아보는 것이 어찌 어려운 일이 아니겠는가?"(77쪽)