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무한의 신비 - 수학, 철학, 종교의 만남
애머 액젤 지음, 승영조 외 옮김 / 승산 / 2002년 6월
평점 :
무한의 신비
수학, 철학, 종교의 만남
애머 악셀 지음
승산
현재 고등학교 수학동아리인 아인즈 활동 중, 이 책을 읽고 발표를 해야해서 힘들게 읽었다. 이 책은 '무한'이라는 세계에 매료되어서 일생을 바친 수학자 게오르크 칸토어)1845~1918)를 한중간에 놓고서 풀어내는 무한의 수학역사서라고 한다.
무한이란 철학적 개념만이 아니라 수학적인 개념이기도 하고 19세기 후반, 무한이라는 개념이 부자연스러운 것으로 인식되어 무리수를 연구하는 타락한 젊은이로 매도되기도 한 집합론의 아버지로 알려지게 된 게오르크 칸토어의 삶을 엿볼 수 있다. 칸토어와 함께 현대 해석학을 발전시킨 리만, 바이어슈트라스 등의 업적과 칸토어 이후의 무한을 탐구하는데 기여한 러셀 괴델, 코언 등의 업적을 소개하고 있다.
목차를 살펴보니,
1. 고대 무한의 기원
2. 카발라
3. 갈릴레오 갈릴레이와 불치노
4. 베를린
5. 원을 정사각형으로 만들기
6. 학생시절
7. 집합론의 탄생
8. 최초의 원
9. "나는 그것을 안다, 그러나 그것을 믿지 않는다"
10. 악의적인 반대
11. 초한수
12. 연속체 가설
13. 셰익스피어와 정신병
14 선택공리
15. 레셀의 패러독스
16. 마리엔바트 온천장
17. 오스트리아 빈의 카페
18. 1927년 6월 14일과 15일 밤
19. 라이프니츠, 상대성, 그리고 미국 헌법
20. 코언의 증명과 집합론의 미래
21. 할루크의 무한한 광채
목차만 보아도 내용이 수월치 않다는 것을 파악할 수 있다.
이 중에서 <괴델의 불완전성 원리>라는 제목으로 PPT를 만들어서 동아리 시간에 발표를 해야 한다.
- 수학의 최고의 대상인 수 중에서도 특별한 의미를 지니고 있는 자연수는 핵심적인 수학적 대상임.
- 따라서 자연수에 관한 엄밀한 수학적 이론의 정립은 필수적임.
- 페아노에 의한 자연수에 관한 논리 체계로부터 모든 수의 이론이 정립됨.
- 이것에 기반을 두고 무모순적이고 완전한 공리체계를 이루고자 하는 노력이 있었음.
- 체코의 수학자 괴델이 발표한 불완전성 정리는 모든 학문 분야에 엄청난 충격을 가져옴.
- 페아노의 공리 체계를 포함하는 어떠한 논리 체계도 무모순적인 동시에 완전할 수 없다고 주장함.
- 무모순적이고 완전한 수학 체계 구현을 위한 노력이 실현 불가능임을 밝힘으로써 수학은 그 자체에 극복할 수 없는 근본적인 한계를 가졌음을 증명함.
- 이는 양자 역학에서의 불확정성 원리가 관찰 행위에 근본적인 한계가 있음을 주장함으로 기존 물리학의 기초와 수학의 기존의 절대적 권위를 흔들었고, 수학에 대한 완전히 새로운 인식을 초래했음.
- 불완전성 정리는 컴퓨터가 아무리 발전해도 인간의 두뇌에 이르지 못한다는 논증에도 활용됨.
- 그리고 이를 통해 궁극적 진리는 증명 가능한 것이 아님을 알 수 있음.
- 괴델의 불완전성 정리가 보통의 수학에는 의미가 없을 것이라고 생각할 수 있는데, 연속체 가설에 관한 괴델과 코언의 결과에 의하면 수학의 기초론에도 영향을 미침.
- 괴델수라는 개념은 한 체계 내의 기호, 논리식, 증명마다 붙힌 각 고유번호를 뜻함. 이 개념을 이용하면, 초수학적 표현과 분석이 훨씬 쉬워짐.
- 어떤 철학자가 주장하는 바에 따르면 불완전성 정리에 의하는 어떠한 형식 체계도 충분히 강력한 동시에 무모순적이고 완전할 수 없음.
- 그런데 어떠한 사유체계도 완벽할 수 없으므로 어떠한 사유체계도 제한적이거나 모순되거나 결정불가능한 주장에 다다를 수 있음.
내용을 제대오 숙지했다고 자신할 수 없지만, 또다른 수학적인 개념을 접할 수 있는 소중한 기회였다고 생각된다.
2017.8.9.(수) 이은우(고1)