괴델의 증명

괴델의 증명 - 호프스태터가 서문을 쓰고 개정한
어니스트 네이글 외 지음, 곽강제.고중숙 옮김 / 승산 / 2010년 10월

괴델의 증명이 알려주는 가장 중요한 현실적 교훈은 과거의 논리학자의 수학자가 논리적 진리들과 수학적 진리들의 골리적 연역 체계에 걸었던 기대가 너무 지나치다는 사실과 종래의 공리적 방법보다 더 훌륭하게 진리들을 체계화하는 새로운 방법을 창조적으로 탐구해야 한다는 사실을 알 수 있습니다. '쿠르트 괴델'은 아리스토텔레스 이후 가장 위대한 논리학자로 꼽히며, 타임지가 선정한 '20세기 가장 영향력 있는 인물 100명'에 든 단 2명의 수학자 중 한 명이기도 합니다. 그의 주 연구 분야는 집한론, 수리논리학 뿐아니라 신학, 철학 등의 인문학과 인지과학, 우주론, 컴퓨터 과학까지 그 범위가 방대해서 다양한 분야의 학자들이 그에게 영향을 받고 연구하였다고 합니다.

p.39 19세기는 수학의 연구가 엄청나게 외적으로 확장되고 내적으로 강화된 시기였다. 예전의 수학자들이 최선의 노력을 했는데도 오랫동안 풀지 못했던 수많은 근본 문제가 해결도었고, 수학 연구의 새로운 영역들이 창시되었으며, 수학의 여러 분야의 토대가 새로이 마련되거나 훨씬 더 정밀한 분석 기법의 도움을 받아 완전히 개조되었다.

고대 그리그 수학자들은 초등기하학의 세 가지 작도 문제를 해결하려고 고심했었다. 그 세 가지 문제는 컴퍼스와 직선 자만을 사용해서 임의의 각을 삼등부하는 문제, 주어진 정육면테의 부피보다 2배의 부피를 갖는 정육면체를 작도하는 문제, 주어진 원의 넓이와 똑같은 넓이를 갖는 정사각형을 작도 하는 문제였다. 그후 2000년이 넘도록 수학자들은 이 세 문제를 해결하려고 노력했지만 성공하지 못하였다. 마침내 19세기에 이르러서야 수학자들은 이 세 가지 작도가 논리적으로 불가능하다는 것을 증명하였다.

p.149 우리가 수학적 증명 과정을 통해서 이해하는 것이 형식화된 공리적 방법을 활용하는 것과 일치하지 않는다는 결론에 도달하게 된다. 형식화된 공리적 절차는 출발에 앞서 미리 결정한 일련의 명확한 공리와 변형 규칙에 기초를 두고 있다. 괴델 자신의 논증이 보여준 바와 같이 이전의 어떤 제약도 수학자드리 증명을 위한 새로운 규칙을 고안하는 작업을 할 때 수학자들의 창의력을 제한할 수 없다. 따라서 타당한 수학적 증명의 정확한 논리적 형식에 대한 최종적인 설명은 있을 수 없다.

그동안 괴델에 관한 일반인을 대상으로 하는 교양서적이 부족한 편이어서 그의 위대한 업적이 보편적으로 알려지지는 않은 실정이었다고 합니다. 저는 서점에서 책을 보다가 우연히 눈에 띄어 구입해 읽게 된 책입니다. 이 책은 20세기 수학 기초이론의 핵심이 되고, 계산 가능성과 알고리즘이라는 개념으로 발전해 현대 컴퓨터 설계의 이론적 배경을 제공하는 괴델의 정리를 이해하기 쉽게 정리하였기 때문에 수학, 과학, 논리학, 철학을 연구하는 학자 뿐 아니라 일반 교양인들이 접근하기에 쉬운 책입니다.

핏빛 자오선

핏빛 자오선 ㅣ 민음사 세계문학전집 378
코맥 매카시 지음, 김시현 옮김 / 민음사 / 2021년 6월

코맥 매카시의 핏빛 자오선을 읽고 있습니다.

p.177 두 무리는 자정의 고원에서 헤어져 서로가 온 길을 되짚어 나아갔다. 여행자란 으레 다른이가 이미 걸어간 길을 끝도 없이 가야 하는 운명이기에.

부대는 다시 행군을 시작했고 북진하는 이틀 동안 델라웨어 인디언이 멀리 산봉우리에서 피어오르는 연기를 읽어 냈습니다. 하지만 사흘째 부터는 연기가 전혀 피어오르지 않았습니다. 황혼녘에 그들은 행군을 멈추고 모닥불을 피워 사슴 고기를 구웠고 짙은 어둠이 사위를 에워싸 별 하나 보이지 않았고 다시 행군하다 쉬기를 반복, 소년은 전직 신부 토빈에게서 빌린 송곳으로 사죽 끈을 손질합니다. 하느님이 소년에게 손재주의 재능을 나눠주셨습니다. 전직 신부는 세상 만물은 하느님의 뜻에 따라 이루어지고 아무리 하찮은 미물에게도 하느님의 말씀이 담겨 있다고 말했다. 소년을 하찮은 미물에 표현하시다니,,, 인디언처럼 안장도 없이 말을 타거나 밤새 잠을 자지 않고 박쥐를 지켜보는 등 전직 판사는 종교인이었다는 것이 심히 의심스러워졌습니다.

네이버 독서카페 리딩투데이 지원도서입니다.

아르덴 대공세 1944

아르덴 대공세 1944 - 히틀러의 마지막 도박과 제2차 세계대전의 종막
앤터니 비버 지음, 이광준 옮김, 권성욱 감수 / 글항아리 / 2021년 4월

9월11일 미군의 갑작스런 진군은 독일군을 대혼란에 빠뜨렸다. 나치당관계자, 독일 공군 대공포 분견대, 지방간리, 경찰, 군인 할 것 없이 모두 동쪽의 퀄른으로 도주했다. 독일 제7군 참모장은 이렇게 고백했다. 공군이나 친위부대가 지휘관들의 인솔하에 패주하는 모습은 사기를 엄청나게 떨어뜨렸다 그들은 아무런 조치도 없이 그래도 차를 타고 도망가버렸다. 아헨에서는 이 때문에 폭동이 일어나기도 했다.

아헨전투는 제 2차 세계 대전의 중요한 전투중 하나로 1944년10월2일-21일까지 독일 아헨 (Aachen)과 그 주변에서 미군과 독일 국방군이 벌인 전투입니다. 10월18일 아헨전투가 끝날 즈음 아이젠하워와 브래들릴, 몽고메리가 브뤼셀에서 만납니다. 아이젠하워는 미 제1군이 궐른 납부의 라인강 교두보를 확보하는 선봉이 되고, 최근 도착한 제9군은 왼쪽 측면을 엄호하라는 지시를 받습니다. 나치들도 폭격기까지 동원하여 선전지를 뿌리는 등 군대의 결속을 다시기 위한 선전전에 나섰습니다. ”비밀리에“ 싸운다는 표현에는 나치는 끝까지 저항하되, 연합군에 협조하는 독일인들도 제거하는 베어볼트라는 레지스탕스를 계획하고 있다는 의미가 담겨 있습니다.

네이버 독서카페 리딩투데이 지원도서입니다.

핏빛 자오선

핏빛 자오선 ㅣ 민음사 세계문학전집 378
코맥 매카시 지음, 김시현 옮김 / 민음사 / 2021년 6월

p.158 계약이라는 것은 무릇 인간의 판단 이상으로 쉽게 깨지는 법이다. 흑인 잭슨이 파이프에서 고개를 들었다, 불가에 둘러앉은 사람 중에는 두개골에 박힌 뜨거운 석탄 같은 눈으로 불을 응시하는 이가 있는가 하면 그렇지 않은 이도 있었다. 하지만 흑인의 눈은 다듬어지지 않은 벌거벗은 밤에 나룻배가 정박지에서 나와 다음 정박지로 가는 물길처럼 깊었다.

미국 모든 이주민들이 그렇듯 소년은 정처없이 방황하며 약탈과 살인이 일상적으로 벌어지는 미국의 서부 지대를 지나갑니다. 폐허에서 연기가 피어오르는 저주 받은 땅을 지나고, 노새나 말의 부풀어 오른 시체를 시시때때로 스치며 하루종일 걸으며 가지고 있던 물은 바닥이 나고 모래위에서 잠을 자다가 새벽의 냉기에 깨는 날의 연속입니다. 아침에 부대는 약탈당한 인디언 마을을 통과했고 사슴 가죽은 땅바닥에 널브러져 있고 원시적인 도살장의 자갈 바닥에 흩어져 있었습니다. 소년의 방황은 언제 끝이 날까요. 오늘 당장 길에서 죽음을 당한다고 해서 하나도 이상하지 않은 상황이 전개됩니다.

네이버 독서카페 리딩투데이 지원도서입니다.

프루동 평전

프루동 평전
조지 우드코크 지음, 하승우 옮김 / 한티재 / 2021년 8월

도서출판 한티제에서 클라우딩 펑딩으로 구입한 프랑스의 무정부주의 사상가이자이며 사회주의자 <프루동 평전>을 읽었습니다. 국내에서는 프루동에 대한 서적이 많지 않아 꼭 읽어보고 싶은 책이었습니다. 정의는 해방의 결정판이고 실천적인 의미에서 인간 해방은 사회구조에 대한 인간의 지식과 실천을 발전시키며 필연성의 법칙에 대한 인간의 반란인 해방은 진보를 고취시키고 정의에 위엄과 힘을 준다고 했습니다. 종교 자체와 예술, 문학 이 모든 것들은 해방을 향한 충동에서 생겨난 것이구요.

p.130 인간은 사유하는 능력을 발전시키면서 권위를 첫 번째 사유 대상으로 삼았고, 이 과정에서 저항과 불복종, 결국에는 반란이 일어난다. 이 반란은 정치학의 출현으로 그 방향을 잡고, 사회를 움직이는 법칙이란 사회를 지배하는 몇몇 개인이나 집단의 생각에 달린 것이 아니라 사회의 성격에 있다는 점을 깨달아 간다. “정의의 힘이 점점 강해지면서 무력을 사용할 권리와 기만할 권리가 사라지듯이, 그리고 마침내 평등이 소멸시키듯이, 의지의 주권은 이성의 주권 앞에 굴복하고 마지막에는 과학적 사회주의로 귀결되어야만 한다. 인간이 평등 속에서 정의를 추구하듯이, 사회는 아나키 속에서 질서를 찾는다. 아나키, 즉 지배자나 주권자가 없는 상태는 우리가 매일 다가서고 있는 바로 그 통치 형태이다.” 그래서 프루동은 자신을 아나키스트라고 부른 최초의 인물이 되었다.

P.209 한편으로는 노동으로 실현되고 있고 다른 한편으로는 거대한 잠재력을 가진 사회로 표현되고 있는 우리 이념의 근본적인 모순은, 모든 사물이 발생해야 하는 것과 정반대로 발생하도록 만들어서 잘못 짠 장식물이나 안팎이 뒤집혀진 가죽 같은 모양새로 사회에 나타난다는 점이다. ... 생산하지 않는 자가 복종해야 하는데 정말 아이러니하게도 명령하는 사람은 생산하지 않는 자이다.

마르크스와 동시대를 살았지만 그와는 다른 길을 걸었던 프루동, 가난한 농민의 아들로 태어나 평생 가족을 위해 일하면서도, 사회와 시대에 대한 관심을 놓지 않았던 프루동, 스스로 아나키스트임을 선언하고 연방주의의 원리를 확립했던 프루동의 삶과 사상을 엿볼 수 있는 귀한 책입니다.