수학 캠프 Algebra - 마이클 윌러스

수학캠프 - π에서 암호론까지, 수에 관한 모든 것 ㅣ 사이언스 캠프 시리즈 2
마이클 윌러스 지음, 유지수 옮김, 이한진 감수 / 컬처룩 / 2012년 11월

수학 책을 재미있게 읽는 법은 없을까

그게 수학 책이 아니면 재미 있을 것 같다. 숫자의 미로에 헤매다 나와본 사람은 도무지 수학의 언저리에 들어갈 마음이 안들 것이다. 수는 그러한 독특한 매력(?응)이 있는 것 같다.

이 책은 영어 제목이 'The Bedside Book of Algebra' 이다.

침대 머리맡에 놓고 잠들기 전에 취미 삼아 읽기에 좋은 수학 책이란 의미이다. 그런 목적으로 저자는 제목을 적었을테지만 국내 번역은 '캠프'라고 학교 방과후 활동 같은 느낌을 준다. 이것이 우리가 수학에서 받는 늬앙스의 차이가 아닐까? 따라서 이 책을 학교 활동이 아니라 그냥 취미 삼아 읽는 책 중에 하나로 읽으면 재미가 있을 것이다. 그런 책은 내가 얼마나 잘 아는지 모르는지 별로 따질 필요가 없으니까.

수학의 기본적 내용들을 재미있게 읽을 수 있었고, 또한 수학자들에 대한 이야기도 얻을 수 있었다.

책의 제목에 있는 Algebra는 '대수'라고 하며, 보통 선형대수를 대학1~2학년에 배운다.

어려운 말 같지만 사실상 '산수 + 방정식 + 그외' 정도의 내용이다.

이것 외에 더 어려운 수학으로 들어가는 Calculus(미적분), 미분방정식, 등은 나오지 않는다.

그런 면에서 중고등학생도 흥미를 가지고 읽을만한 책이 아닌가 싶다. 원래 저자가 의도한 바는 성인이 주요한 독자가 아닐까 하는 생각도 든다.

이 리뷰에서 그런 수학적 내용들을 적을 생각은 없고,

내가 이 책을 읽으며 기대한 내용, 즉 여러 수학자들의 흥미로운 이야기들을 나누고자 한다.

수학의 역사 이야기 책이기를 절반 정도 기대하며 읽었다. 다행히 기대를 충족시켜 주었다.

그런 위대한 수학자 중에서 몇몇의 이야기를 하고자 한다.

갈릴레오 갈릴레이

자연의 법칙은 수학의 언어로 쓰여 있다.

수학 언어에 대한 생각은 누가 처음 시작했을까. 보편적 생각이겠지만 갈릴레오가 이에 대해 언급한 것은 개인적으로 인상적이었다. 자연의 구성원리를 분석하기 위해서는 수학이 필요하다.

자연의 돌아가는 법칙을 하나씩 정립해 가다보니, 점차적으로 순수한 수학의 언어체계로 들어가게 된다.

대수/산술의 초창기에는 그 방법이 구술적이었다. 수사적 대수학이라고 하는데, 이는 초등학교 문제에 나오는 철수가 빵을 몇개 가져가면 몇개가 남나 라는 질문과 같은 형태이다. 이는 복잡한 계산에는 어려움이 있는데, 이것이 점차 축약적 대수, 상징적 대수학이 된다. 생활언어가 사라지고 상징이 남았다.

    수학에 아무런 말도 없이 이상한 표기들만 있는 이유가 수학을 쉽게 하기 위해서이다. !?

음... 어쨋든, 건너 건너서 8세기 경의 아라비아 수학자에게로 가보자.

'알 콰리즈마'로서 '대수학의 아버지'라 불린다. 대수학 Algebra와 알고리즘은 그의 이름에서 유래한다.

상당히 멋있게 나온 그림이어서.... 실었다.    대수학의 아버지라고 하지 않나.

수학은 그리스 그리고 아시아 등의 초기 수학이 인도와 아라비아를 거쳐, 이탈리아 르네상스를 거치면서 정립된 듯 싶다. 이후 좀 있다 보여줄 가우스를 비롯한 유럽에서 아주 복잡하게 발전한다.

이러한 아라비아의 수학자 중에서 오마르 카얌의 말이 인상적이었다.

오마르 카얌

철학자를 흉내 내는 대다수의 사람들은 참과 거짓을 구별하지 못하며

그들이 하는 일이라고는 지식을 기만하고 가장하는 것이다.

또한 그들은 과학에 대해 아는 것들을 기본적이고 물질적인 목적을 제외한

어느 곳에서 사용하지 않는다.

                                               <'대수학 문제들의 입증에 관한 논문' 중에서>

 마지막으로 가우스에 대해 이야기하며 마치려 한다.

  

  옆의 그림의 제목은 원래 책에는 없지만 내가 붙인다면 '수학 천재 가우스'이지 않을까. 본문의 소제목과 묘한 일치감을 준다.

 역사상 천재는 갈릴레오, 뉴톤, 아인슈타인, 그리고

 가우스.

 이들의 노력이 우리에게 도움일지 아닐지는 개개인이 판단할 몫이겠지만, 최소한 나는 이들의 삶에 대한 태도는 본 받을 만 하다고 생각한다. 사생활이나 여러 면에서 문제가 많았어도 자신이 하는 일에서 부끄럽지는 않았을테니까.

 아래에 가우스의 말을 인용하며 글을 마친다.

칼 프리드리히 가우스

수학자들에게 어떤 특이한 단점들이 있다는 말은

어느 정도 사실일지 모르나 그것은 수학자들만의 문제가 아니다.

한 가지 일에만 몰두하는 사람들은 다 마찬가지일 테니까

시빌라이제이션, 서양과 나머지 세계 - 니얼 퍼거슨

니얼 퍼거슨의 시빌라이제이션 - 서양과 나머지 세계
니얼 퍼거슨 지음, 구세희.김정희 옮김 / 21세기북스 / 2011년 7월

역사 책을 읽은 것은 정말 오랜만이다. 물론 전형적 역사책이라기 보다는 역사를 기반으로 사회를 분석한 책이라 볼 수 있지만. 고등학교 때는 거의 역사책만 읽었던 것 같다. 그게 문제였긴 하지만, 역사책은 너무 재미 있었다. 아직도 그 재미는 유효하다는 걸 알았다.

이 책은 문명의 성장과 붕괴에 대한 분석 책이면서 이야기 책이다. 비록 짧게 끊어진 이야기들을 바탕으로 이론을 설명하고 있지만 역사가 가진 본질적 이야기의 특성을 가지고 있다. 주제목 보다 부제목이 더 이 책의 관점을 보여준다. 서양과 나머지 세계. 서양이 어떻게 16세기부터 전세계를 앞서갔는지, 지금은 그 서양 전성기의 마지막이 아닐까 하는 궁금증에서 출발하였다.

어떤 리뷰에서는 서양인 관점에서 바라보는게 싫다고 하는 의견도 있었지만, 그건 역사를 많이 읽지 않는 인문학 성향의 사람이 하는 말이라 생각된다. 어차피 관점은 다 다르기에 이 저자의 관점이 궁금했다. 그는 자기가 포함된 서양이 어떻게 상대 문명을 압도했는지 그 원인의 분석과 서구문명의 유지 여부에 초점이 맞추어져 있다.

그는 6가지 무기를 "1. Competition 경쟁 장려 체제, 2. Science 17세기 이후 과학혁명, 3. Property 법치와 대의제 정치 확립, 4. Medicine 현대 의학의 발달, 5. Consumption 소비 지향 사회 체계, 6. Work 프로테스탄트 직업윤리"로 정의하고 있다.

6가지 비장의 무기를 자세히 살펴보면, (p.479)

1. 경쟁

   유럽자체가 정치적으로 분열, 각 왕국이나 공화국 내에도 경쟁을 펼치는 다수 조직

2. 과학혁명

  17세기 수학, 천문학, 물리학, 화학, 생물학 분야의 주요 혁신

3. 법치주의와 대의제

  사회적, 정치적 질서를 세울 최적의 체제가 생겨났다.

  이는 사유 재산권, 지주 계층 대표자들로 구성된 입법 기관에 기반을 둔다.

4. 현대 의학 

  공중 보건에서 거의 모든 혁신이 서유럽과 북아메리카인의 손에서 이루어졌다.

5. 소비 사회

  산업혁명이 일어난 곳에는 생산성 향상을 가져오는 기술 공급과

  면제품을 비롯해 더 많고, 좋고, 저렴한 상품을 원하는 수요가 있었다.

6. 직업윤리

  광범위하고 집중적인 노동을 높은 저축 금리와 결합시켜 꾸준히 자본을 축적했다.

                                 

나는 이중에서 가장 인상 깊었던 부분인 '소비 사회'에 대해 살펴 보고자 한다.

위 사진은 책에 있는 것으로서 메이지유신 이후에 일본이 어떻게 서양을 따라잡았는지 설명하는 핵심이라 볼 수 있다. 사진으로 영국의 섬유산업을 들 수 있으면 좋았겠지만, 사진으로 일본 사진만이 있기에 양해바란다. 일본은 메이지유신 이후에 서양을 전방위적으로 모방했는데 그중 소비를 살펴보면 의상에서 서양을 따라간다는 것이다.

이는 산업구조와 연결되어 있는데, 산업의 발달이 섬유산업에서 부터 출발하는 것이 대부분의 나라에서 있어 왔던 일이었다. 영국이 그랬고 일본이 그랬고 우리나라가 그랬다. 이후 철강을 거쳐 더 고급 산업으로 옮겨갔던 것이다. 이는 산업의 발달만이 아니라 소비를 요구한다. 무한히 생산된 물품은 노동자, 국민이 소비하게 된다.

이는 기본적으로 노동자의 비참함을 원인으로 사회혁명을 꿈꾸던 사람들이 놓친 부분이다. 국민은 노동자이면서 동시에 소비자였다. 따라서 국가는 소비자가 소비력을 가지게 하기 위해 노력하지 않으면 안되었다.이런 소비의 증가가 발전을 이루는 핵심 무기중의 하나였다.

                                           

또한 세계는 복장의 통일화를 가져왔다. 일본은 바로 서양의 양복을 가져왔고 이는 전세계적 현상이었다. 재봉틀을 가져와서 자신들의 전통의상을 만들지 않고 서양 의상을 만들어 입는 것은 어찌보면 매우 신기한 일이었다. 신기하게 느끼는 것은 내가 현대인이기 때문일 것이다.

왜냐하면 위의 청바지가 대표하듯 의상은 단순한 옷이 아니라 정신의 상징이었다. 공산주의 국가에서 가장 거부했던 것중의 하나가 청바지였다. 가장 노동자적인 의상이지만 가장 자본주의적 의상.

문명이라는 게임을 해본 사람은 알겠지만 국가의 사회체계를 5가지 가져갈 수 있는데, 현대의 체제로 주어지는 3개(평등,질서,독재) 중에서는 1개만 가져갈 수 있다. 평등이라고 번역된 서구체제를 선택해 본적이 없다. 전쟁을 하기 위해선 파시즘의 독재를, 전쟁과 산업을 늘리기 위해선 질서를 선택한다. 평등은 전쟁하기도 힘들고 우주선을 쏘거나 복지국가 만들어 끝내야 한다.

아마도 게임에서 놓치고 있으면서 실제로 벌어진 공산주의가 몰락한 원인은 다 소비의 힘이었다. 동독과 소련 사람들은 산업이 발전하고 핵무기가 늘어났음에도 시장에 물건이 없는 현상에 직면했다. 더구나 그들은 비교 상대를 가지고 있었다. 게임에서야 핵무기 쏘고 전진하면 되지만, 실제로 그런 일은 발생하지 않았다. 핵무기가 너무 많았고 위력이 너무 쎘다.

역사책은 보통 오래된 것을 읽어야 도움이 되는데, 이 책은 오히려 최근에 나온 책이라 의미가 있다. 이는 저자가 해석한 원인과 결론이 맞는지 아무도 모른다는 것이 문제이자 오히려 의미가 되었다. 어쩌면 원인은 대체로 맞겠지만 결론(혹은 향후 예상)은 저자 스스로 결론을 내릴 수 없는 일이기 때문이다.

중국이 과연 미국을 추월하는가, 일본처럼 주저앉는가. 서구문명이 예전 문명처럼 갑자기 종말을 고할 것인가, 되살아 날 것인가. 이 모든 것은 결론을 알아야 꺼꾸로 해석이 될 문제이다. 로마가 갑자기 무너질지, 공산주의가 갑자기 무너질지 아무도 예측을 할 수 없었던 일이었다.

저자는 서구를 따라온 문명, 특히 동아시아의 나라들을 보면서 이들이 서양의 6가지 무기 중에서 4~5개를 보유하고 있기에 따라왔다고 보았다. 즉, 6가지 무기의 영향력은 아직도 유효하다는 의견이다. 즉 새로운 동아시아의 중국을 비롯한 나라들이 서구문명의 라이벌로서 서양을 무너뜨리려는 것인가,라는 질문에 그렇지 않다고 결론을 내리고 있다.

"그때와 마찬가지로 오늘날에도 서양 문명을 향해 다가오는 가장 큰 의협은 다른 문명이 아니다.

 그것은 바로 우리 자신의 무기력함, 그리고 그것을 부추기는 역사적 무지다."

아무래도 역사책을 몇개 더 읽어봐야 하겠다.

[100자평] 표창원, 보수의 품격

표창원, 보수의 품격
표창원.구영식 지음 / 비아북 / 2013년 2월

솔직히 이 사람의 정치성향이 무엇인지 정확히 알 수 있는 사람이 있을까? 젊은 대중의 취향이 무엇인지 알고 발빠르게 대처하여 책을 낸 것이라 생각된다. 나르시즘을 위해서든, 돈을 위해서든.

[100자평] 표창원, 보수의 품격

표창원, 보수의 품격
표창원.구영식 지음 / 비아북 / 2013년 2월

사이비 보수 표창원이 쓴 사이비 책

과학적 상식을 사용한 음악책

과학으로 풀어보는 음악의 비밀 - 베토벤에서 비틀스까지, 물리학과 심리학을 넘나들며 재미있게 풀어보는 음악의 수수께끼
존 파웰 지음, 장호연 옮김 / 뮤진트리 / 2012년 2월

책의 원래 제목은 'How Music Works'이다.

음악이 어떻게 작동하는가 정도가 될텐데,

이를 '과학으로 풀어보는 음악의 비밀'이라고 번역서 이름을 붙였다

책에 과학이라는 이름이 들어가면 더 나을 것이라 보았나?

마치 음악을 과학으로 설명한 책으로 보이는데,

  그렇지 않다.

과학적 상식을 사용해서 설명한 '음악책'이다.

이 책에 과학이 있어 읽기 힘들거란 염려는 하지 않는 것이 좋다.

그렇다고 과학이란 도구가 사용되지 않았다는 것은 아니다. 저자는 수학이 나오지 않고 말로 설명될 수 있도록 노력하였다. 어쩌면 이는 저자가 전공한 학문의 조합의 결과일지 모른다. 저자는 석사는 작곡, 박사는 물리를 전공하였다. 그래서 과학으로 음악을 설명한다고 볼 수도 있는 것이다.

음악이라는 것을 이해하는데 필요한 기본적 단위는 리듬과 숫자라는 2가지 기본적 언어일 것이다.

뭐, 그렇지 않은것이 있으랴만은.

이 책에는 아래의 사진과 같이 음계를 설명하기 위해 사용된 가상의 하프를 그린 그림이 그나마 나은 그림이고 그외에 별다른 그림이 없다.

나오는 그림들은 파동을 보여주거나, 하모닉스가 무엇인지 설명하는 것과, 가끔 바이올린, 기타 등의 사진이 나올 뿐이다. 바이올린 사진도 내용과는 그다지 상관없고 단지 음을 정확히 집기 힘든 악기라는 것을 보여주기 위함이다.

그럼에도 이 책은 우선 재미있었다. (적어도 나에겐)

작곡과 물리라는 전혀 다른 두 분야을 배경으로 한 것이기에 음악의 새로운 면?이 아닌

기존에 있던 면을 새롭게 근본에서부터 보게해주는 음악 입문책이라 생각된다.

책의 내용은 17페이지에 기술한 음량, 음가, 음색, 음높이, 네가지에 대한 설명을 근간으로 하고 있다.

1) 음가는 따로 설명이 없이 음의 길고 짧은 지속시간이라고 설명하고 끝내는데,

나머지 것들이 알고보면 만만한 것들이 아니다.

2) 어릴때 한 옥타브의 아래음과 윗음을 구분하지 못했던 기억이 있다. 그걸 구분해 내고 나서는 노래를 나름 잘 부르게 되었다. 그 두 소리는 너무나 비슷한데다 (책에 나온 내용이다.), 변성기에 음역이 애매했던 것도 원인의 하나이다. 다른 원인은 그런 걸 제대로 설명해주는 선생이 없다는 것이다.

따로 피아노는 배웠으면 다른 이야기였을지 모르겠지만.

하여튼 이렇게 음높이에 대한 내용이 먼저 나온다.

좀 웃긴 건 절대음감에 대한 것이다. 사실 음높이가 완전히 확정된 건 1939년에 합의된 것이니...

그전에는 음악가들이 자신의 절대음감을 뽑냈는데, 그 음의 높낮이가 제각각이었다.

그런걸 절대음감이라 해야하나 상대음감을 아주 잘 외운 것이라 해야하나.

3) 음색은 조절하기 가장 힘든 부분일텐데,

왜 악기마다 음색이 다른지 설명해주고 있다. 특정 코드에서 주된 음 외에 발생하는 하모닉스의 구성에 따라 달라지는 문제라니. 나는 가수를 고를때 음색을 가장 먼저 본다.

알고보면 음높이와 박자는 훈련하면 되고, 소리를 조절하는 것도 연습하면 될텐데,

성대의 모양과 비강의 구조 등에 기인한 음색을 어찌할 수 있을까?

4) 네번째로 음량에 대한 것은 다음의 퀴즈를 내고 넘어가려 한다.

하나의 바이올린에 비해 10대의 바리올린은 몇배의 음량으로 들릴까?

(사실 음량에 대한 부분은 공학적 설명이 많아 재미없어진다. 스피커를 구매할 생각이 아니라면)

위의 4가지를 설명한 후에는 음계 Scale을 설명하고 있다.

예전에 처음 12가지 선법 modes 를 들었을때가 생각난다. 하나의 놀라운 고정관념의 타파였다.

이오니아 선법. 에올리아 선법. - 이에 대한 설명은 안할련다.

위에도 몇개 일부러 설명을 뺏지만 책을 읽으며 느끼는 즐거움을 뺏고 싶지는 않다.

하여튼 장조, 단조가 먼저 나오고 나머지 선법이 나온게 아니라

12가지 선법 중에서 2가지를 가장 많이 사용하게 되었다. 순서가 반대였다.

혹시 잘 아는 분은 딴지를 걸지 모르겠으나, 책에는 7가지 선법이라고 나와있다.

예전에 들었고 보았던 기억이 12가지 였고, 음도 12음 평균율이니 12가지 맞을거다.

12가지 중에서 이름이 있는 건 7개 뿐일지 모르지만, 내 호기심은 여기까지로 한정하겠다.

그외 여러 내용이 위의 내용들을 바탕으로 재미있게 설명해 주고 있다.

기억에 남는 한가지는 5음계와 7음계의 차이였다.

서양도 원래는 5음계만 사용하였다니, 최근에야 7음계로 발전하였고,

서양 음계를 벗어난 다양한 음악에 대한 설명도 조금 나온다. 이 책은 그걸로 충분하고,

인도의 음악이 왜 그런 식인지 이해하는데 도움이 되었다는데 의미가 있다.

책 뒷표지에 '앞으로 10년간 이보다 훌륭한 음악 입문서는 나오기 힘들다'라는 옮긴이의 평을 그대로 따르긴 힘들겠지만, 음악을 즐기는 사람이 머리로 음악을 이해하는데에는 분명 아주 도움이 된다