. 하지만 한 가지 문제가 있었다. 과연 모든 원자 대칭군이 절단면을 지닐까? 다시 말해서 원자 대칭군의크기는 짝수인가? 바로 그렇다는 것을 파이트와 톰슨이 증명했다. 파이트와 톰슨의 정리는 엄청난 성과였다. - P160
톰슨은 예일 대학교 학부생이었다. 그곳에서 그는 신학 공부를 시작했다. 하지만 1년 뒤에 신학에서 수학으로 옮겨갔다. 톰슨은 수학에서 뛰어난 능력을 보여주었고 맥 레인은 시카고 대학교 대학원으로오라는 요청을 했다. 톰슨은 유한수학(유한 대칭군)에 관심을 갖게 되었다. 당시에는 별다른 주목을 끌지 못하던 분야였다. - P163
파이트와 톰슨이 서로 연락을 취하며 공동 연구를 시작하면서 원대한 목표를 세웠다. 앞에서 언급했듯이 아이디어는 모든 원자 대칭군의 위수는 짝수임을 보이는 것이었다. 혹은 홀수 위수인 대칭군은 원자 대칭군이 될 수 없다는 것을 보여도 된다. - P165
그 덕분에 톰슨은 시카고 대학교로 돌아왔고 그와 파이트는 공동연구에 박차를 가했다. (중략). 다시 말해서 크기가 홀수인 원자 대칭군을 취하고 나서 그런 대칭군이 존재할 수 없다는 사실을 보이는 방법이다. 두 사람은 지표 이론이라는 정교한 기법을 사용했다. - P166
파이트-톰슨 정리의 의의는 모든 원자 대칭군을 분류하는 길을 열었다는 데 있다. 따라서 후속타는 당연히 그 목표를 향해 나아가는것이다. - P167
1962년에 자리를 얻어 시카고 대학교로 돌아온 톰슨은 A1 타입의절단면을 연구하기 시작했다. (중략).
순위가 높은 A2 A3보다 A1 타입의 절단면이 더 다루기 쉽다고 생각할지 모르겠다. 하지만 실제로는 전혀 그렇지 않다. 비유를 하자면 A1, A2, A3는 각각 외발자전거, 두발자전거, 세발자전거와 같다. - P168
톰슨이 아직 논문 출간을 준비하지 못한 채 다른 연구를 하고 있을때 오스트레일리아에 있는 츠보니미르 양코(Zvonimir Janko, 1932~)라는 수학자로부터 편지 한 통을 받았다. (중략). 양코는 절단면이 A1 집합에서 가장 작은 원자 대칭군일 때에는 모순을 이끌어낼 수 없다는 사실을 발견했다. (중략).
톰슨은 이미 양코에게 답장을 보냈지만 편지를 부치고 나서 자신의 답변에 오류가 있다는 것을 깨달았다. - P169
11
판도라의 상자
버섯 한 송이를 발견하거나 하나의 새로운 진리를 발견했다면주위를 잘 살펴보아야 한다. 버섯과 진리는 무리를 지어 자라나기 때문이다.
- 게오르그 뽈야
다른 창조 활동과 마찬가지로 수학에서도 더 이상 한걸음도 나아가지 못하는 상황이 생겨날 때가 있다. (중략). 톰슨과 양코가 타입 절단먼에 대한 연구 결과를 발표하기로 했지만 톰슨이 처리하지 못한 경우는 제외했고 양코는 제외된 경우를 해결하기 위해 계속해서 연구를 진행했다는 사정은 10장 말미에서 언급했다. - P170
표에 없는 원자 대칭군이 혹시 있는 것은 아닐까? (중략). 이미 19세기에 표에 등장하지 않는 원자 대칭군 다섯 개를 찾아냈다. 하지만 이 다섯 개는 매우 두드러진 속성을 공유하고 있었다. 어느 누구도 그와 비슷한 원자 대칭군이 더 있다고 생각하지 않았다. - P171
만일 치환군이 한 쌍의 원소를 다른 어떤 한 쌍의 원소로도 옮겨갈때 그 치환군을 2중 추이적이라고 한다. 2중 추이성은 흔하지 않은 성질이다. 예컨대 정사각형의 대칭군은 추이적이지만 2중 추이적은 아니다. - P172
물론 모든 치환을 택하거나 아니면 모든 짝치환을 택해 군을 구성하면 2중 추이성은 당연히 만족된다. 하지만 이들 군은 지나치게 커서 별 도움이 되지 않는다. - P172
6중 추이성 정도까지 가면 그 정도의 추이성을 만족하는 치환군은 그것 외에는 없다. 이 사실은 모든 원자 대칭군을 담고 있는 목록을 이용하여 증명되었다.⁴⁹ - P174
49) 다중 추이성을 보이는 군은 원자 대칭군을 포함해야 한다. - P307
5중 추이성의 경우로 조건을 약간 낮추면 두 가지 희한한 예가 나온다. 이 예는 19세기 중반에 프랑스 수리물리학자 에밀 마티외 (ÉmileMathieu, 1835~1890)가 발견했다. - P174
추이성에 관한 박사학위 논문을 쓰기 시작했다. 이 연구에서 그는 다섯 개의 예외적인 원자 대칭군을 찾아냈다. 순수수학에서는 이들 원자 대칭을 찾아낸 것으로 그를 주로 기억하지만 생전에는 수리물리학자로 명성이 더 높았다. - P174
마티외는 자신이 발견한 내용을 1861년에 발표했다. 그는 5중 추이적인 치환군 두 개를 발견했다. 그 가운데 하나는 12개의 기호에 작용하는 치환이고 다른 하나는 24개의 기호에 작용하는 치환군이다. 지금은 이 둘을 각각 M12와 M24로 부른다. - P175
마침내 1934년에서 1935년 사이에함부르크에서 열린 학술회의에서 에른스트 비트(Ernst Witt, 1911~1991)는 M24의 존재를 명료하게 밝혀 보여주었다. 이로써 모든 이들이M24의 존재성을 받아들이게 되었다. - P176
마티외의 M24를 구성한 비트의 디자인은 앞에서 살펴본 일곱 개의기호와 각기 세 개의 기호로 구성된 무리들의 사례와 유사하다. 앞에서 살펴본 예에서는 기호 한 쌍을 택하면 그 쌍은 정확히 한 무리 안에 들어있었고 대칭군은 일곱 개 기호 위에서 2중 추이적이었다. - P178
원자 대칭군 하나를 상정하고 이로부터 모순을 이끌어내는 작업에몰두하고 있는 양코로 되돌아가 보자. (중략).
절단면만이 알려져 있는 원자 대칭군의 존재성을 입증하는 방법은 먼저 지표 일람표(Character table)를 작성하는 것이다. (중략).
지표 일람표를 모두 작성하고 나자 양코는 그 이상한 원자 대칭군은 7차원에서 작용할 수 있어야 한다는 결과를 얻어냈다. - P180
1965년에 학술지에 제출한논문에서 (1966년에 출간됨) 양코는 이 새로운 원자 대칭을라고 불렀다. 지금은 J1이라고 부르는데 이후로 양코는 원자 대칭군을 더 발견했기 때문이다.
양코가 J1을 발견했을 때 일부 사람들은 7차원에서 그 군에 의해보존되는 기하학적 패턴을 이해하면 J1을 좀 더 깊이 이해하게 될 것이라고 기대했다. 하지만 기하학적 패턴이 다소 기괴했기 때문에 그런 기대는 이루어지지 않았다. - P181
양코가 발견하지 못했더라도 다른 사람이 1을 찾아냈을 것이다. 하지만 분명히 엄청난 노력을 투입한 뒤에나 나왔을 것이다. - P182
J1의 크기는 175,560 이기 때문에 그 과정에서 J1을 찾아냈을 터이다. 그런데 이 수치는 예외적 원자 대칭군으로서는 작은 수치이다. 가장 작은M11은 그 크기가 7,920 이고 그다음으로 작은 M12는 95,040 이다. J1은 세 번째로 작다. - P182
처음에는 하나만이 있는 듯 보였다. 양코는 그 크기가 50,232,960이 되어야 한다는 사실을 알아냈다. 그 군의 모든 절단면은 동일한 형태를 하고 있었다. 하지만 두 개의 서로 다른 절단면을 갖는 또 따른 예가 존재할 가능성이 대두되었다. - P183
양코는 두 개의 새로운 원자 대칭군의 존재성을 뒷받침하는 강력한 증거를 확보했다. 나중에 이 두 원자 대칭군에 각각 J2와 J3라는 이름이 붙여졌다. 양코의 논문이 나올 때에는 이미 J2가 100개의 기호 위에 작용하는 치환군의 형태로 만들어져 나왔다. 하지만 J3는 만들어내기가 쉽지 않았는데 J3를 구성해내려면 최소한 6,156개의 기호가 필요하기 때문이다. - P184
J2의 존재성은 양코가 증거를 발견하고 나서 곧 확립되었다.⁵³ - P185
53) 그리고 나중에 옥스퍼드 대학의 그래함 히그먼과 몬트리올 대학의 존 맥케이가 컴퓨터를 이용하여 J3을 구성해냈다. 여러 해 뒤에 보스턴 대학교의 리처드바이스가 컴퓨터를 사용하지 않고 직접 J3를 치환군으로 구성해냈다. - P309
10년 전에 홀이 옥스퍼드에서 강연을 하고 그 강연에서 영감을 받아 히그먼과 심즈가 새 원자 대칭군을 찾아냈을 때 예외적 원자 대칭군은 곳곳에 있는 듯 보였다. 먼저 양코가 하나를 찾아냈다. 다시 원자 대칭군을 찾아 나서자 이번에는 두 개가 발견되었다. - P189
판도라의 상자 열렸고 이제곧 또 다른 놀라운 결과가 등장할 채비를 하고 있었다. 다중 기하학을 이용해 얻은 결과였다. 완전하게 파악하지는 못했지만 24차원의 놀라운 구조가 막 발견되었던 때였다. (중략). 그런데 24차원 구조를 연구한 동기는 새 원자 대칭군을 찾으려는 것이 아니라 라디오 송출 문제를 해결하려는 것이었다. - P189
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