20장
수학 모임에 가입하자
힐베르트의 스물세 문제
1900년에 독일 수학자 다비트 힐베르트 David Hibert는 파리국제수학자총회에서 그때까지 수학자들이 풀지 못한 스물세 가지 문제를 발표했다. 힐베르트는 수학계가 단결해야만 수학의 ‘멸종‘을 막을 수 있다고 했다. - P138
힐베르트가 제시한 스물세 문제 중 아주 빨리 풀린 문제들도 있다. ‘두 사면체(삼각 평면 4개로 둘러싸인 입체 도형)의 높이와 밑면이 같다면, 두 사면체는 언제나 부피가 같은가‘ 하는 세 번째 문제가 그 예이다. 1902년에 맥스 덴 Max Dehn은 다음 쪽 상단과 같은 그림을 제시하면서 이 문제에 "아니다"라는 답을 내놓았다. - P140
힐베르트가 낸 여덟 번째 문제는 소수의 분포를 다룬 리만가설이다. 20세기가 끝나가는데도 리만가설이 풀리지 않자 클레이수학연구소(수학 지식을 보급하고 증진할 목적으로 미국에 세워진 수학 재단이다)는 내부적으로 리만가설을 21세기에 풀어야 할 문제 목록에 올렸다. - P141
힐베르트의 열여덟 번째 문제는 오렌지 같은 구형 물체를 가장 조밀하게 쌓는 방법을 고민한 케플러의 구 쌓기 추측‘을 증명하는 것이었는데, 20세기가 끝나기 직전인 1998년에 토머스 헤일스가 피라미드 형태로 쌓아야만 구를 가장 많이 쌓을 수 있음을 입증했다.
• 케플러의 구 쌓기 추측 문제는 17장에서 살펴보았다. - P141
힐베르트는 스물세 문제를 낸 직후에 말했다. "수학 문제는 어려워야 합니다. 그래야 우리를 유혹할 수 있으니까요. 하지만 전혀 풀 수 없는 문제여서도 안 됩니다. 우리의 노력을 조롱하려는 목적이 아니라면 말입니다."²⁸
힐베르트는 말했다. "모든 수학 문제를 결국 풀 수 있다는 확신이 수학자를 연구하게 합니다. 수학자들은 언제나 끊임없이 들려오는 내면의 목소리, 풀리지 않은 문제가 있다는 소리를 듣습니다. 우리는 그 문제를 해결해야 합니다."²⁸ (중략).
"다른 과학 분야들이 수많은 하위 분야로 쪼개진 결과 과학자들이서로를 거의 이해할 수 없어 연대가 느슨해지고 있습니다. 우리 수학도 그 운명을 받아들일지 결정해야 합니다."²⁸ - P142
28. D. Hilbert, "Mathematical Problems," Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 37, no. 4, pp. 407-36, 2000. A 10.orien - P387
문제 20 본문에서 밑면과 높이가 같아도 부피가 다른 사면체가 있다고 했다. 사면체의 부피 구하는 공식은 생각하지 말고, 밑면과 높이가 같지만 부피는 다른 두 사면체의 다른 예를 제시해보자. - P143
21장
마음이 맞는 친구를 찾아보자
쌍둥이 소수 추측
중국에서 미국으로 이민을 온 장이탕은 1991년에 퍼듀 대학교에서 수학 박사 학위를 받았다. (중략). 그래도 수학으로 위로를 받았던 그는 몇 년이나 시간을 들여 ‘쌍둥이 소수 추측Twin Prime Conjecture‘이라는 유명한수학 문제를 연구했다. (중략). 그저 쌍둥이 소수 추측이 옳은지를 알고싶었다. - P147
2013년 어느 날, 뉴햄프셔 대학교에서 시간 강사로 일하던 장이탕은 저명한 수학 학술지인 《수학 연보 Annals of Mathematics》에 논문을 보냈다. (중략). 정확히 말해서 장이탕은 차가 2인 소수 쌍이 무한히 존재한다는 사실을 입증하지 않았다. 대신에 두 소수의 차가 7000만보다 작은 소수 쌍이 무한히 존재한다는 사실을 입증했다. - P148
오랫동안 수학자들은 소수가 사람처럼 ‘행동‘한다고 생각했다. 소수들은 마음이 맞는 친구들 옆에 있는 걸 가장 중요하게 여기는 것 같았기 때문이다. 특히 먼 곳에 떨어져 있는 소수들은 마음 맞는 친구 찾기를 아주 중요하게 생각하는 것 같았다. - P149
장이탕의 발견에 수학자들이 그토록 놀란 이유는 무엇일까? 7000만이라는 수는 2에 비하면 너무나도 큰 수처럼 보이지만, 그래도 수직선 위에 존재하는 수이기 때문이다(무한이 아니다). 장이탕은 유한한 수가 두 수의 차가 되는 소수 쌍이 무한히 많다는 증거를 처음으로 제시했다. - P151
이름 없는 수학자에서 갑자기 수학계의 슈퍼 스타가 된 장이탕은말했다. "제 마음은 아주 평온합니다. 돈도 명예도 크게 욕심이 없습니다. 그저 조용한 곳에서 혼자 연구를 할 수 있다면 그걸로 충분합니다."³⁴ - P151
34. E. Klarreich, "Unheralded Mathematician Bridges the Prime Gap," Quanta, May 19,
2013. Available at: https://www.quantamagazine.org/yitang-zhang-proves-land-mark-theorem-in-,distribution-of-primenumbers-20130519/. Accessed March 23,
2019. - P387
44장
호기심을 쫓아가자
공간을 가득 채운 곡선
1800년대에 이탈리아 수학자 주세페 페아노Giuseppe Peana는 정사각형 같은 공간을 완전히 채우는 곡선이 존재하는지 궁금했다. - P300
우리가 반드시 알아야 할 내용은, 선분은 길이는 있지만 너비는 없는 1차원 물체이고 정사각형은 길이와 너비가 있는 2차원 물체라는것이다. - P301
선분은 너비가 없기 때문에 우리가 사는 유한한 세상에서는 공간을 채우는 곡선이 존재할 수 없음을 페아노도 알았다. 하지만 무한세상에서도 그런 곡선이 존재하지 않는지 알고 싶었다. - P302
페아노는 점점 더 등분하는(세분하는) 선분(곡선)이 점점 더 등분하는 정사각형(곡선으로 완전히 채우고자 희망하는 ‘공간‘) 안에 배치될 수 있는 일련의 유한 그림에 관한 정의를 내리기로 했다. - P302
유한 물체를 무한히 그려 무한 구조물을 만들려면 단계마다 따라야 할 규칙이 있음을 페아노는 알았다. 첫째, 단계마다 선분은 필요한만큼(원하는 만큼) 늘릴 수 있어야 한다. 그리고 정사각형 안으로 들어가기 전에 선분 위에서 ‘가까이 있었던 점들은 정사각형 안으로 들어간 뒤에도 반드시 ‘가까이‘ 있어야 한다. - P304
그런데 안타깝게도 페아노의 모형에서 구부러진 곡선은 이 필수규칙 가운데 최소한 하나를 어길 수밖에 없다. - P304
독일의 수학자 다비트 힐베르트는 페아노의 곡선을 살펴보다가 조금 더 단순하고 정교한 곡선을 찾아냈다. ‘의사(가짜) 힐베르트 곡선pseudo Hibert curve‘이라고 알려진 다음 곡선을 그려보면 힐베르트 공간채움 곡선Hilbert space-filling curve을 이해할 수 있을 것이다. - P305
뉴턴은 자신의 저서 <프린키피아 Principia》에서 공간을 채우는 곡선을 금하려고 했다. 1차원 선을 2차원 정사각형으로 변형한다는 생각이 뉴턴이 아는 기하학의 기반을 위태롭게 흔들었기 때문이다. 하지만 지금은 공간을 채우는 곡선(힐베르트의 공간을 채우는 곡선이 가장 유명하다)이 없다고 의심하는 수학자는 거의 없다. - P306
45장
상상력을 길러보자
분수 차원
3차원 세상에 사는 우리는 1차원, 2차원, 3차원에 속한 물체를 쉽게 볼 수 있다. - P308
그런데 이 세상에는 1, 2, 3 같은 정수로 표현할 수 없는 차원을 가진 물체도 존재한다. 예를 들어 코흐 곡선 Koch curve은 1차원인 선과 2차원인 종이 사이에 놓인 차원에 존재한다. 다시 말해서, 코흐 곡선은 대략 1.26185 차원에 존재한다. - P309
한 물체의 차원을 결정하려면 일단 그 물체를 몇 번 복사해야 길이는 2배이고 모양은 같은 물체를 만들 수 있는지를 알아봐야 한다. - P311
즉, n차원의 물체의 길이를 S배로 늘리려면 그 물체가 Sⁿ개 있어야한다. 차원에 관한 이 정의는 1차원 선, 2차원 종이, 3차원 상자뿐 아니라 코흐 곡선의 차원을 결정할 때도 적용할 수 있다. - P314
원본 코흐 곡선의 길이를 3배 늘리려면 원본 코흐 곡선이 4개 있어야 한다. 코흐 곡선 4개면 원본 코흐 곡선보다 3배 길고, 모양은 같은 코흐 곡선을 만들 수 있다. - P315
코흐 곡선을 통해 우리는 신기한 분수 차원의 세상을 살짝 들여다봤다. 분수 차원을 볼 수 있는 상상력을 기르면 독특한 가능성을 향해 마음을 활짝 열 수 있을 것이다. - P316
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