34장
균형을 찾자
부호 이론
(전략).
당신은 위험에 처한 것이 분명하다. 하지만 CHIXZ가 어디일까? 당신의 뇌는 ‘CHIXZ‘라는 단어가 진짜 단어가 아님을 깨달았다. (중략). Chi로 시작하고 5개 알파벳으로 이루어진 나라 이름이 있을까? 당신은 곧바로 ‘중국(China)‘을 떠올렸다. (중략). 생각해보니 칠레(Chile)도 Chi로 시작하는 다섯 글자 나라였다. 당신은 어디로 가야 할까? 정답을 알려면 암호의 오류를 수정할 방법을 찾아야 했다. - P238
채널에 있는 방해 전파와 같은 ‘잡음 noise‘은 제대로 된메시지 전송을 막는다. 따라서 오류가 생겼음을 감지할 수 있을 뿐아니라 오류를 수정할 수 있게 설계된 부호가 좋은 부호이다.•
• 부호 이론에서 부호가 꼭 비밀일 필요는 없다. 비밀 암호는 부호 이론과는 또 다른 수학분야인 암호학 cryptology에서 다룬다. - P238
이 암호를 해독할 때는 ‘다수 해독법 majority decoding‘을 사용할 수 있다. 3개씩 짝지은 글자 짝에서 가장 많이 나오는 글자를 진짜 암호라고 판단하는 것이다. (중략).
물론 글자를 반복하는 횟수가 반드시 3회일 이유는 없다. 30회, 300회, 3000회여도 상관없다. - P239
하지만 암호가 길어지면 전송 시간도 길어진다. - P240
그렇다면 이런 질문이 이어 떠오른다. 암호를 제대로 해독할 수 있으면서도 빠른 속도로 암호를 전송할 수 있는 적절한 글자 반복 횟수를 찾을 수 있을까? 1948년에 수학자 클로드 섀넌Claude Shannon은 「통신에 관한 수학적 이론 A Mathematical Theory of Communication」이라는 논문에서 ‘최적‘ 부호가 존재함을 입증했다. - P240
문제 34 ISBN(국제 표준 도서번호)은 출간된 책에 부여하는 13자리 고유 번호이다. 13개 번호는 다음 순서대로 다섯 부분으로 나누어지고, 각 부분은 붙임표(-)로 분리해 표기한다.⁴⁵
•접두부 ISBN의 첫 번째 부분으로 978이나 979 를 쓴다.
・국별 번호 책을 발행한 나라 번호나 지역 번호를 두 자릿수로표기한다.
•발행자 번호 책을 출간한 발행자의 번호를 네 자릿수로 표기한다.
•서명 식별 번호 책의 제목이나 판본을 나타내는 수를 세 자릿수로 표기한다.
체크 기호 접두부, 국별 번호, 발행자 번호, 서명 식별 번호를 공식에 넣어 계산한 한 자릿수로 표기한다. - P241
(4) ISBN은 오류를 고칠 수 있는 암호인가? - P243
45. International ISBN Agency, "International ISBN Agency," About ISBN, 2014. Avail-able at:2019.
https://www.isbn-international.org/content/whatisbn. Accessed May 20, - P388
37장
답이 있는 문제에 고마워하자
브라우어르의 부동점 정리
국립 공원, 도심지, 병원에 걸려 있는 안내 지도에는 현재 위치가표시되어 있는 경우가 많다. 낯선 곳에서 이 표지를 발견할 때마다 나는 안심한다. - P255
(전략). 이 세상과 수학이 당신을 정신없이 휘감을 때는 브라우어르의 부동점 정리 Brouwer‘s Fixed Point Theorem를 생각하면서 잠시 평온한 시간을 누려보자.
브라우어르의 부동점 정리에 따르면 ‘어떤 장소에 그 장소를 그린지도를 들고 서 있으면, 그 지도 위에는 그 사람이 서 있는 위치를 표시한 점이 적어도 1개는 있다.‘ - P255
부동점은 변화가 생긴 뒤에도 위치가 바뀌지 않는 점이다. 변화란 지형에 존재하는 실제 도로나 자연물을 지도에서는 줄이는 작업을 의미할 수도 있고, 아이들이 바람개비를 돌리며 가지고 노는 일처럼 간단한 행동을 의미할 수도 있다. - P257
브라우어르의 부동점 정리를 적용하려면 세 가지 조건을 만족해야한다. 첫째, 변형하는 물체나 장소는 반드시 경계가 있는 한정된 공간을 차지하고 있어야 한다. (중략). 둘째, 변형하는 물체나 장소에는 구멍이 없어야 한다. (중략). 셋째, 변화가 진행될 때는 모든 점이 연속적인 방식으로 움직여야 한다.(후략). - P258
브라우어르의 부동점 정리는 공학, 의학, 경제학 등 여러 분야에 폭넓게 적용할 수 있다. 존 폰 노이만John von Neumann 은 1937년에 부동점 정리를 이용한 경제 모형을 제시하면서 "모든 상품은 공급과 수요가 같아지는 가격이 항상 존재한다"라고 했다.⁴⁶ - P260
46. H. Scarf, "Fixed-Point Theorems and Economic Analysis: Mathematical Theorems Can Be Used to Predict the Probable Effects of Changes in Economic Policy," Ameri-can Scientist, vol. 71, no. 3, pp. 289-96, 1983. - P388
17장
구체적으로 추측하자
케플러의 구 쌓기 추측
한정된 공간에 오렌지를 가장 많이 넣으려고 할 때 시도해볼 수 있는 방법은 무한할 것이다. 되는대로 마구 쌓으면서 많이 들어가기를 바랄 수도 있고, 한 오렌지를 다른 오렌지 위에 겹쳐지게 쌓을 수도있다. 전 세계 오렌지 판매상들의 방법을 따라 할 수도 있다. - P125
케플러는 말했다. "진리는 시간의 딸이고, 나는 시간의 산파가 되는일이 조금도 부끄럽지 않다." (중략). 마침내 케플러가 구 쌓기 추측을제안하고 나서 거의 400년이 지난 1998년, 미국 수학자 토머스 헤일스Thomas Hales가 250쪽이 넘는 논문을 발표해 케플러의 구 쌓기 추측이 실제로 옳다는 사실을 입증했다. - P126
수학을 공부할 때도 인생을 살아갈 때도, 추측은 우리가 나아갈 방향을 제시한다는 사실을 기억하자. 추측을 통해 게으름을 피우지 않고 진지하게 생각할 수 있다. 일단 구체적으로 추측하면 그 뒤로는 그 추측이 옳은지 그른지를 제대로 확인하고 싶다는 소망이 생긴다. - P127
문제 17 크기가 같은 동전 9개, 자, 연필, 종이를 준비하자. 이제사각형 안에 3개, 4개, 5개, 6개, 7개, 8개, 9개, 10개 동전을 최적의 방법으로 채워보자. 최적의 방법이란 동전끼리 하나도 겹치지않는 상태로 한 사각형 안에 모두 들어가게 한다는 뜻이다. - P127
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