대다수 원자 대칭군은 예상할 만한 곳에서 발견되지만 일부는 전혀 뜻밖의 장소에서 발견되어 수학자들을 놀라게 한다. 그런 이례적 군의 예로 나중에 이 책에서 만나게될 두 가지 원자 대칭이 있는데 이 둘 모두 100개의 대상물에 작용하는 치환들을 구성원으로 하고 있다. - P60
문제는 ‘치환들로 들어찬 광대한 세계에서 진기한 원자 대칭군을 어떻게 찾아야 하는가‘이다. - P61
이 책의 주된 관심사는 ‘단순‘ 군을 찾는 것이다. - P61
4
군
아름다움의 주요 형식은 규칙과 대칭성과 명료성인데 수학은 그런 특성을 정확히 잘 드러낸다.
-아리스토텔레스
19세기 중반까지 군이라는 개념은 여전히 낯선 것이었고 ‘단순‘ 군을 찾는 방법으로는 치환군을 살펴보는 정도였다. - P62
(전략). 즉, 부분군의 크기는 전체 군의 크기를나눈다. 이 정리는 라그랑주가 증명한 것으로서(대수방정식에서의 라그랑주 업적은 이미 언급한 바 있다) 갈루아는 이 정리에서 큰 영향을 받았다. - P63
라그랑주의 치환 연구는 광범위한 업적 가운데에서 극히 작은 부분에 불과하지만 그의 정리는 없어서는 안 될 중요한 역할을 했다. - P65
정리는 필수이며 바로 그런 방식으로 수학은 발전해 나간다. 그런점에서 수학은 이론물리학과 차이를 보인다. (중략). 하지만 수학의 경우에는 정리를 언명하고 이를 증명하는 것이 주된 목적이다. - P66
라그랑주 정리로부터 흥미로운 질문이 제기된다. 크기 60짜리 군이있다고 하자. 예컨대 15는 60의 약수이기 때문에 크기 15짜리 부분군이 있을 가능성이 있다. 그런데 그만한 크기의 군이 반드시 존재할까? - P66
이 결과는 1845년에 오귀스탱 코시가 증명했다. - P67
라그랑주와 코시의 결과에 갈루아의 심오한 아이디어가 가미되면서 치환군을 체계적으로 다루어야 할 필요성이 생겨났다. 바로 그 일을 떠맡은 사람이 카미에 조르당 (Camille Jordan, 1838~1922)이었다. - P69
해석학은 한 값에서 다른 값으로 변하는 양을 다루는 수학 분야이다. 그는 1870년에 「치환에 대한 논고(Traite des Substitution)」를 발표했다. 이 논문은 그 후 30년 동안 군론에서 전범(典範)으로 대접받았다. - P70
외국 학생들도 그의 강의에 참석했는데 그들 가운데 두 사람, 즉 독일에서 온 펠릭스 클라인(Felix C. Klein, 1849~1925)과 노르웨이에서 온 소푸스 리(M. Sophus Lie, 1842~1899)는 나중에 군론에서 새로운 길을 여는 아이디어를 내놓게 된다. - P70
「치환에 대한 논고」에서 조르당은 갈루아 이론을 설명했으며 유한군을 좀 더 단순한 군으로 분해하는 방법도 보여주었다. - P70
대상물을 보다 단순한 구성 성분으로 분해한다는 생각은 과학에서 가장 기본이 되는 생각이다. 구성 요소가 최대한 간단한 형태의 단계에 이르게 하는 것이 기본 전략이다. - P71
그 때문에 흥미를 더욱 자아내기도 하지만 내용은 더욱 복잡해져만 간다. 수학자들에게는 그런 복잡한 상황을 피하는 묘수가 있다. 바로 추상화의 세계로 옮겨가는 것이다. 수학자들은 추상화된 개념으로서의 군을 연구한다. - P72
몬스터는 애초에 치환군이나 대칭군의 외양을 하고 등장하지 않았다. 몬스터는 엄청난 크기의 연산들의 모임으로 처음 그 모습을 드러냈다. 연구를 하고, 구성을 하고(실제로 존재한다는 증거가 당시에는 없었다), 파악을 해야 할 대상물로서 등장했다. - P73
전문적인 수학책에서는 군을 추상적 대상으로 다룬다. 하지만 이 책에서는 그렇게 할 필요가 없다. 군을 치환처럼 연산으로 이뤄진 집합으로 생각하면 된다. - P74
때로 추상적 군은 놀랄 만큼 상이한 두 가지 방식으로 등장하는데수학자들은 이 점을 매우 흥미롭게 여기고 있다. 그런 예 한 가지를 앞에서 이미 살펴본 바 있다. - P74
한편, 군론 연구는 예상치 못한 방향으로 나아갔고 새로운 방향의 연구에서 원자 대칭군의 ‘주기율표가 나왔다. - P75
5
소푸스 리
태양이 밝기에서 별을 무색하게 하듯이 대수학 문제를 제기하는 사람. 게다가 그 문제를 푸는 사람은 명성에서 다른 모든 사람들을 압도한다.
-브라흐마굽타
(전략). 갈루아는 그런 수학자 가운데 한 사람이있고 또 다른 사람으로 소푸스 리가 있다. 미분방정식(미분방정식에 대해서는 나중에 좀 더 자세히 다른 것이다)에 적용되는 갈루아 이론을 만들어내고자 했던 소푸스 리는 한 연산이 점진적으로 다른 연산으로 변환되는 군을 만들어냈다. 이들 군은 그 크기가 무한대이지만 모든 유한 원자 대칭을 찾는 데 큰 영향을 주었다. - P76
리는 차츰 수학에 관심을 갖기 시작했다. 마침 1868년 여름에 오슬로에서 큰 학술회의가 열렸다. 리는 그곳에 참석해 프랑스, 독일, 영국, 이탈리아 등지에서 온 수학자들의 연구 성과를 접했다. - P79
논문을 발표했다. 논문은 독일어로 번역되었고 레오폴트 크렐레(A.
Leopold Crelle, 1780~1855)가 1826년에 창간한 학술지로부터 게재 승인을 받았다. 그 덕분에 그는 연구비를 얻게 되어 그 이듬해 가을에 베를린으로 갔다. 리는 그곳에서 펠릭스 클라인이라는 젊은 독일 수학자를 만났다. - P80
리는 갈루아 이론에 매료되었다. 그는 대수방정식의 갈루아 이론을 미분방정식에 적용하고자 했다. - P82
이로부터 리는 ‘연속 변환군‘을 얻었다. 연속 변환군에서는 한 연산이 점진적으로 다른 연산으로 변화해 간다. - P83
미분방정식에 대한 리 이론에는 다차원 기하학이 사용되었다. 미분방정식을 전통적 방식으로만 다루던 당시 사람들은 그 때문에 리 이론을 이해하는 데 어려움을 겪었다. - P84
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