1811년에 이르러 앙드리앵 마리 르장드르Adrien...

1811년에 이르러 앙드리앵 마리 르장드르Adrien-Maric Legendre는 이러한 적분에 대한 3권짜리 대작 논문의 1권을 발표했는데, 이 적분은타원 일부의 호의 길이와 관련이 있어서 ‘타원 적분‘이라고 알려졌다.
(중략). 사인 및 코사인과 유사하고 그 역함수는 간단한 방식으로 적분값으로 표현되는 새로운 함수들의 존재가 그것이다.⁵⁰ - P172

아벨은 1826년 프랑스 과학아카데미에 제출했지만 원장인 코시Cauchy가 원고를 엉뚱한 곳에 두는 바람에 안타깝게도 아벨이 폐병으로 요절한 지 12년 뒤인 1841년에야 발표되었다. 그러나 같은 주제로 아벨이 쓴 또 하나의 논문은 1827년 발표되었다. - P172

이러한 과정을 반복하면 함수의 값은 변수에 2개의 주기의 임의의 정수 결합 integer combination을 더하더라도 변하지 않는다는 결론이 나온다. 이러한 결합은 기하학적으로 해석할 수 있다. - P173

y²=ax³+ bx²+cx+d

이 방정식은 변수와 계수에 어떤 제한을 가하느냐에 따라서 몇 가지 다른 맥락으로 생각할 수 있다. 실수라면 방정식은 평면에서의 곡선을 정의한다. - P174

y가 제곱 형태이니 곡선은 수평축에 대해 대칭이다. 계수에 따라 단일한 파형 곡선이 되기도 하고 별도의 타원형 요소를 지니기도 한다.  - P175

변수와 계수를 유리수로 한정하면 정수론이 할 역할이 생긴다. 이제 우리 앞에 있는 것은 디오판토스 방정식이다. - P175

그 하나는 피타고라스 방정식의 두 해를 연관된 각을 더해 결합할 수 있는 방식과 아주 닮았다. 타원곡선 위의 두 점은 그림 28에서처럼 이 둘을 지나는직선을 그어 이 직선이 곡선과 세 번째 만나는 지점을 살펴서 결합할수 있다. (그와 같은 세 번째 점은 반드시 존재하는데, 이 방정식이 3차이기 때문이다. 그러나 ‘무한원점無限遠點일 수도 있고, 이 선이 곡선과 접하는 경우 앞의 두점 중 하나와 일치할 수도 있다.) - P176

이 새로운 연산은 일반적인 대수의 기본 법칙 몇 가지를 따르며 O는 0과 같이 행동하는데 모든 유리점의 집합을 대수학자들이 군이라고 부르는 것으로 바꿔놓는다. (중략). 핵심은 피타고라스 수처럼 임의의 두 해를 ‘더해‘ 세 번째 해를 얻을 수 있다는 것이다. - P177

1908년경 푸앵카레는 군 연산을 반복하여 적용해서 나머지 모든해를 얻어낼 수 있는 유한한 수의 해가 존재하는가 하는 의문을 던졌다. (중략). 1922년의 눈부신 논문에서모델은 푸앵카레의 의문에 대한 답이 ‘그렇다‘라는 것임을 증명했다. - P177

(전략).
피타고라스 학파는 자신들의 방정식에 흥미를 가졌는데 그 이유는우주가 수에 근거를 두고 있다고 믿었기 때문이다. - P177

1부터 시작해서 2나 3을 반복적으로 곱하면 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12 등 2ᵃ3ᵇ 형태의 수가 얻어진다. 음악적인 연관성 때문에 이들은 조화수harmonic number라고 알려지게 되었다. - P178

드 비트리의 조화수 쌍들 중에 가장 흥미로운 것은 (8, 9)이다. 앞의 것은 2³으로 세제곱수이다. 뒤의 것은 3²으로 제곱수이다.  - P178

그는 벨기에의 수학자 외젠 샤를 카탈란EugèneCharles Catalan 으로, 1844년 그는 당시의 유수한 수학 학술지인 <순수및 응용 수학 저널Journal für die Reine und Angewandte Mathematik>에 편지를 보냈다.


귀 저널에 제가 아직 완전히 증명하지는 못했지만 참이라고 믿는 다음의 정리를 실어주시기를 간청합니다. 어쩌면 다른 분들이 더 성공을 거두실수도 있겠습니다. 8과 9를 제외한 연속하는 2개의 범자연수는 연속하는 거듭제곱수일 수 없다는 것입니다. 달리 말하자면 xᵐ-yⁿ=1이라는 방정식에서 미지수들이 양의 정수라면 1개의 해만 받아들인다는 것입니다.

이 명제는 카탈란 추측이라고 알려지게 되었다. 지수 m과 n은 2 이상의 정수이다. - P179

부분적인 진전은 있었지만 카탈란 추측은 계속 풀리지 않다가 2002년 프레다 미흐일레스쿠Preda Mihailescu가 해결했다. (중략). 그의 박사논문은 <환의 원분과소수성 시험법Cyclotomy of rings and primality testing>으로 정수론을 2장에 나온 소수성 시험에 적용한 것이었다. 이 문제는 카탈란 추측과 특별한 관계는 없었지만 미흐일레스쿠는 자신의 방법이 더할 나위 없이 확실하게 카탈란 추측과 관계가 있다는 것을 깨닫게 되었다. (중략). 증명은 대단히 전문적이고 수학계에는 충격으로 다가왔다. 이 증명은 2개의 거듭제곱수로 어떤 값을 취하건, 해의 수는 유한하다는 것을 알려준다. 그리고 0과 ±1을 이용한 명백한 해들을 제외하면 3²-2³=1이라는 해만 흥미를 끈다. - P180

어느 시점에서 그는 피타고라스 방정식이나 타원곡선처럼 무한히 많은 유리해를 가진 것으로 알려진 방정식들에 공통적인 특징이 있다는 것을 알아차렸던 게 분명하다. 그는 내가 피타고라스 방정식으로 했듯유리수 방정식으로 바꾼 후에) 2개의 변수만을 가진 종류의 방정식에 초점을 맞췄다. - P181

유한한 수의 해만을 가진 것으로 알려진 방정식은 모두 그 종수가최소한 2였다. 상태가 알려지지 않은 중요한 방정식들 역시 종수는 최소한 2이다. 당시에는 상당히 엉성한 것으로 여겨지던 증거에 근거해 무모하고도 용감한 비약을 통해 모델은 종수가 2 이상인 임의의 디오판토스 방정식에는 유한한 수의 유리해만 존재한다고 추측했다. - P182

1983년 팔팅스는 모델의 무모한 어림짐작이 실은 옳았다는 극적인 증명을 발표했다. - P182

곧 폴 보이타 Paul Vojta가 유리수로 실수의 근삿값를 계산하는 방법에 근거한 전혀 다른 증명을 찾아냈고, 1990년에는 엔리코 봄비에리Enrico Bombieri가 이와 같은 방식으로 단순화된 증명을 발표했다. 팔팅스의 정리는 7장에서 길게 다룰 페르마의 마지막 정리에 이용된다. - P183

 디오판토스의 꿈


버치 위너-다이어 추측


7장에서 디오판토스의 《산학》을 만나보았고, 나는 그 13권 중에서 여섯 권이 그리스어 사본으로 살아남았다고 밝혔다.  - P373

대수적인 언어로 풀면 문제는 이렇게 된다. x-d, x, x+d가 모두완전제곱수가 되는 유리수 x가 존재하는 정수 d는 무엇인가? 대번에 알 수는 없지만 이와 동등한 형태로 바꿔 쓸 수도 있다. 변의 길이가 유리수인 직각 삼각형의 면적이 될 수 있는 범자연수는 무엇인가? - P374

 즉 a, b, c가 유리수이고 a²+b=c²이라면 ab/2의 값이 될 가능성이 있는 양의 정수는 무엇인가? - P374

어떤 수는 합동이 아니다. 예를 들어, 1, 2, 3, 4는 합동이 아니라는 것을 증명할 수 있다. 5. 6. 7 같은 수는 합동이다. 사실, 3-4-5 삼각형의 면적은 3×4/2=6으로, 6이 합동수임이 증명된다. (24/5)², 
(35/12)², (337/60)²의 공차가 7인 것을 보면 7이 합동임이 증명된다. 5는 조금 있다가 다루겠다. - P372

사실 홀딱 속아 넘어가게 간단한 이 의문은 여전히 완전하게 풀리지 않았다. 가장 가까이 다가갔다는 게 1983년 제럴드 터Jerrold Tunnell 이 발견한, 합동수에 대한 특성부여다. - P375

레오나르도는 1202년에 나온 산술 교과서인 《계산판에 관한 책Liber Abbaci》에서 피보나치 수를 소개했는데 이 책의 주요 목표는 0부터 9까지 10개의 숫자에 근거한 아랍인들의 새로운 산술 표기법에 유럽인들의 관심을 끌고 그 유용성을 증명하는 것이었다. - P376

레오나르도 팀은 레오나르도였다. 황제 팀은 레오나르도에게 5를 더하거나 빼도 제곱수인 제곱수를 찾아보라고 요구했다. 늘 그렇듯 이수들은 유리수여야 한다. 달리 말하자면 x-5, x, x+5가 제곱수인 특정한 유리수 x를 찾아서 5가 합동수임을 증명하기를 원한 것이다. 이것은 결코 자명한 문제가 아니다. - P377

등차수열을 이루는 3개의 제곱수 묶음에 대해 라틴어 congruum이라는 단어를 붙인 것을 레오나르도에게서 찾아보게 된다. - P378

등차수열을 이루는 3개의 제곱수 묶음에 대해 라틴어 congruum이라는 단어를 붙인 것을 레오나르도에게서 찾아보게 된다. 나중에 오일러는 congruere라는 단어를 썼는데 이것은 ‘합치다‘라는 뜻이다. - P378

여기에 레오나르도와 안젤로게노키 Angelo Genocchi(1855), 안드레 게라르딘André Gérardin(1915)이 7,22,
41,69,77, 그 외에도 1,000 미만의 43개의 수를 더했다. 레오나르도는1225년 1은 합동수가 아니라고 했지만 증명은 제시하지 않았다. - P379

. 1986년에 이르러서는 이미 등장한 컴퓨터를 이용하여 G. 크라마르츠 G.Kramarz가2,000 미만의 합동수를 모두 찾아내었다. - P379

제곱수인 인수가 없는 수를 앞에서부터 몇 개나열해보면 다음과 같다.

123567 10 11 13 14 15 17 19

이제 터늘의 기준을 서술할 수 있게 되었다. - P381

(전략).

이러한 간단한 계산은 1,2,3,4(=2×1)는 합동수가 아니지만 5, 6, 7은 합동수라는 것을 보여준다. 이러한 분석은 쉽게 확장될 수 있는 것이라 2009년 일단의 수학자들이 터늘의 시험 방법을 1조까지의수에 적용하여 정확히 3,148,379,694개의 합동수를 찾아냈다. - P383

몇몇 새천년 문제가 그렇듯 버치-스위너튼-다이어 추측은 명확히 제시하기조차 어렵다. (쉬운 일을 해서 100만 달러를 받을 수 있을 거라고생각하는가? 순진하기도 하셔라.) - P384

추론의 이름을 꼼꼼히 보면 붙임표 하나가 다른 하나보다 길다. 버치, 스위너튼, 다이어라는 수학자들이 추측한 것이 아니라 브라이언 버치 Brian Birch와 피터 스위너튼-다이어 Peter Swinnerton-Dyer가 추측한 것이다. 이 추측을 완전하게 서술해놓으면 전문적인 것이 되겠지만, 디오판토스 방정식의 기본적인 문제에 관한 것이다. - P384

종수가 1이라면 곡선은 위상 수학적으로 원환면으로 타원곡선인 것과 동등한데 그렇다면 모든 유리해는 자연스러운 군의 구조를 적용하여 적절하고 유한한 목록에서 구성해낼 수 있다. - P384

종수가 2이상이면 곡선은 위상 수학적으로 g>2일 때의 구멍이 8개인 원환면으로 해의 수는 유한하다. 앞서 보았듯 팔팅스가 1983년에 이 놀라운정리를 증명해냈다. - P384

(전략). 여기에는 생성계system of generators를 찾는일이 필요하다. 생성소generator란 군의 연산을 반복적으로 사용하여 나머지 모든 해를 추론해낼 수 있는 유리해를 말한다. - P385

유한한 목록이 모든 해를 생성해낸다는 모델의 증명은 이 군이 유한군과 격자군에서 만들어지는 게 틀림없다는 것을 알려준다. - P385

목록의 길이는 군의 계수rank라고 한다(그리고 기하학적으로는 격자의차원이다). 계수가 0이면 군은 유한하다. 계수가 0이 아니면 군은 무한하다. - P385

컴퓨터가 막 생겨나던 1960년대, 케임브리지대학교에는 EDSAC이라는 초기 컴퓨터가 있었다. ‘전자지연저장자동계산기‘Electronic DelayStorage Automatic Calculator의 약자로, 발명가들이 그 메모리 시스템을 얼마나 자랑스러워했는지 보여준다. - P386

피터 스위터튼-다이어는 타원곡선의 디오판토스적인 측면에 관심을 가졌고 특히 곡선을 원소의 수가 소수인 유한한 장의 유사한 대상으로 대체했을 때 해의 수가 얼마나 될지를 알고 싶어했다. 즉 ‘법p‘를 다루는 가우스의 요령을 연구하고 싶어 했던 것이다.  - P386

정수론 학자들은 일반적인 정수로 이루어진 모든 방정식을 어떤 법에 대한 정수로 재해석하는 것을 표준적인 방법으로 사용한다. - P386

따라서 타원곡선에 대해서 무엇인가 알아내려면 어떤 명확한 한계까지의 모든 소수를 고찰해볼 수 있다. 각각의 소수에 대해서 그 소수를 법으로 하여 곡선상에 몇 개의 점이 있는지 알아낼 수 있다. - P387

모두 어떤 직선에 가깝게 놓여 있는 것으로 보이며 이 직선의 기울기는 타원곡선의 계수이다. 이는 임의의 소수 법과 관련된 해의 수에 대한공식의 추측으로 이어진다.⁸³ - P387

당시에는 모든 타원곡선에 디리클레 L－함수가 있다는 것이 알려지지 않았기 때문이다. 빈약하기 짝이 없는 증거로 뒷받침되는 어림짐작이었다. 그러나 이 분야에 대한 지식이 늘어나면서 점점 더 탁월한 추측으로 여겨지게 되었다. - P388

복소해석학의 기본적인 도구 중 하나는 다항식과 비슷하지만 무한히 많은 항을 포함하는 멱급수로 함수를 표현하는 것인데, 이는 변수의 점점 더 큰 거듭제곱을 이용하고, 여기서 변수는 전통적으로 s라고 한다. - P388

여기서 결정적인 점은 필요한 정확한 수식이 아니다. 임의의 타원곡선이 주어지면 관련 복소함수를 이용한 해석학적 계산이 존재하며, 이는 모든 독립적인 유리해를 명시하려면 정확히 몇 개의 유리해를 찾아내야 하는지 알려준다는 점이 중요하다. - P389

어쩌면 버치스위너튼-다이어 추측에 참된 내용이 있음을 보이는 가장 간단한 방법은 알려진 가장 높은 계수가 28 이라고 말하는 것인지도 모른다. 즉 28개의 유리해로 이루어진 집합을 가진 타원 곡선이 있어서 이 유리해에서 모든 유리해를 추론해낼 수 있다는 것이다. - P389

명시적인 예에 대하여 알려진 가장 큰 계수는 18이다. - P389

버치-스위너튼-다이어 추측과 관련하여 가정이 대단히 기술적인수많은 정리가 증명되었지만 해법을 향한 진전은 상대적으로 보잘것없다. 1976년 코츠와 와일스는 이 추측이 참일 수도 있다는 기미를 처음으로 발견해냈다. 그들은 특별한 종류의 타원곡선은 디리클레 L-함수가 1에서 사라지지 않는 경우 그 계수가 0이라는 것을 증명했다. - P390

. 2010년 만줄 바르가바Manjul Bhargava와 아룰 샹카Arul Shankar는타원곡선의 평균 계수는 기껏해야 7/6이라는 것을 증명했다고 발표했다. 이를 포함하여 최근에 발표된 몇 개의 정리가 정밀한 조사를 버텨낸다면 버치스위너튼-다이어 추측은 모든 타원 곡선의 0이 아닌 비율에 대하여 참이 된다. - P391