서문 수학은 광대하고 끊임없이 성장하며 변화하는 ...

서문


수학은 광대하고 끊임없이 성장하며 변화하는 분야입니다. - P12

페르마의 마지막정리는 앤드루 와일스Andrew Wiles가 7년에 걸쳐 풀 때까지 350년간 수수께끼로 남아있었습니다. 푸앵카레 추측은 100여 년간 해결되지 않다가 괴짜 천재 그리고리 페렐만Grigori Perclman이 풀었는데 그는 자신의 연구에 대한 학문적 영예도, 100만 달러의 상금도 모두 거부했습니다. 리만가설은 150년 동안 여전히 세계 수학자들을 좌절시키는 난공불락으로 남아있습니다. - P12

수학은 대부분이 상상하는 것보다 새롭고 다양합니다. 대략 추산해보면 세계 수학자는 10만 명 정도 되며 그들은 매년 200만 쪽 이상의 새로운 수학을 생산해냅니다. ‘새로운 수‘를 생산해내는 것은 아닙니다. 사실 수학은 그런 것과 무관합니다. - P13

 최근 25명 정도의 수학자들이 팀을 이루어 수행해낸 대수를 ‘맨해튼 크기 계산‘이라고 칭했습니다. 이 이름은 사실적이지도 않고 지나칠 정도로 보수적입니다. 답이 맨해튼의 크기만 하기는 했습니다. 계산은 그보다도 훨씬 더 대규모였습니다. 양도 대단했지만 질은 더 우수했습니다. - P13

수학을 생각해보면 기호와 공식이 빽빽이 들어찬 책장冊張이 끝없이 이어지는 것이 떠오릅니다. 그러나 조금 전에 말한 200만 쪽에는 보통 기호보다는 단어가 더 많이 들어있습니다. - P14

그러나 공식을 거의 배제하면서도 개념을 설명하는 것이 가능한 경우도 많습니다. 이 책은 이러한 점을 지침으로 삼습니다. 수학자들이 무엇을 하는지, 그들은 어떻게 생각하는지, 수학이 왜 흥미롭고 중요한지밝힙니다. (중략). 수학은 인류의 가장 위대한 업적 중 하나로서 자리를 차지하고 있고, 그 위대한 문제들은 해결된 것이든 해결되지 않은 것이든 과거 1,000년 동안 우리를 이끌고 자극해왔고 앞으로 다가올 1,000년 동안도 그러할 것입니다.

2012년 6월 코번트리에서 이언 스튜어트 - P14

08

궤도의 카오스

3체 문제


예로부터 내려온 농담에 따르면 어떤 물리학 이론이 얼마나 발전된 것인지 알기 위해서는 그 이론이 다루지 못하는 상호작용하는 물체의 수가 몇 개인지 보면 된다고 했다. - P215

19세기 말까지 3개의 천체들의 운동에 대해서는, 그중 하나가 워낙 작아서 그 질량을 무시해도 될 정도라 하더라도 알려진 바가 거의 없었다. - P216

3개(혹은 그 이상)의 물체의 역학 관계에 대한 우리의 이해는 그 뒤로 극적으로 성장했다. 이러한 진보의 상당한 부분은 이 의문이 얼마나 어려운지, 그리고 그 이유는 무엇인지 점점 더 깨달아갔다는 것이다. - P216

고대 철학자, 천문학자, 수학자 들은 하늘을 연구하면서 행성들이 마구잡이로 돌아다니는 것은 아니라는 것을 깨달았다. 복잡하지만 상당히 예측이 가능한 경로를 따르고, 상당히 규칙적인 간격으로 밤하늘의 거의 똑같은 자리로 돌아온다. - P217

행성의 운동을 정량적으로 정확하게 묘사한 최초의 모형은 프톨레마이오스계인데, 이는 서기 150년경에 자신의 저서 <알마게스트Almagest (최고의 논문)>에서 이러한 운동을 묘사한 클라우디오스 프톨레마이오스 Claudius Ptolemy의 이름을 딴 것이다. - P217

1600년 천문학자 튀코 브라헤Tycho Brahe는 자신의 관찰 결과를 분석하는 일을 돕도록 케플러를 고용했지만 정치적인 문제가 끼어들었다. 브라헤가 죽은 뒤 케플러는 루돌프 2세의 황실 수학자로 임명되었다. 남는 시간에 그는 브라헤의 화성 관찰 결과를 연구했다. - P219

이제 아이작 뉴턴이 등장할 차례이다. 1687년의 《자연철학의 수학적 원리Philosphiac Naturalis Principia Mathematica》에서 뉴턴은 케플러의 3가지 법칙이 단 1개의 중력 법칙과 동등한 것이라는 점을 증명했다. 2개의 물체는 둘의 질량에 비례하고 둘 사이의 거리의 제곱에 반비례하는힘으로 서로 당긴다는 것이었다. 뉴턴의 법칙에는 어마어마한 장점이있었다. 물체가 몇 개이든 상관없이 어떤 계에도 적용된다는 것이었다. - P220

2개의 물체에 대해서는 케플러가 이미 답을 내놓았고 그 답은 시간당 일정한 면적을 쓸고 지나가는 속도를 수반하는 타원궤도였다.
물체가 3개일 때는 어떨까? - P220

. 하지만 제정신 박힌 사람이라면 우주에 있는모든 물체에 대한 미분 방정식들을 써내려갈 생각은 하지 않을 것이다. 늘 그렇듯 성공하는 비결은 문제를 단순화하는 것이었다. 그러나 너무 단순화해서도 안 된다. 별들은 워낙 멀리 떨어져 있어서 태양계에 미치는 영향을 무시할 만하지만 은하계가 자전하면서 태양이 어떻게 움직이는지 설명하려면 무시할 수도 없다. - P221

1747년 숙명의 적수였던 장 달랑베르Jcan d‘Alembert와 알렉시 클레로Alexis Clairaut는 ‘3체 문제‘를푸는 파리과학원의 상에 도전했는데 두 사람 모두 수치 근사 방법을 통해 접근했다. 3체 문제는 이때 이름을 얻었고, 곧 수학에서 가장 위대한 수수께끼의 하나가 되었다.
- P221

특수한 몇몇 경우는 해결할 수 있었다. 1767년 오일러는 3개의 물체가 모두 선회하는 1개의 직선에 놓인 경우에 대한 해법을 발견했다. 1772년 라그랑주는 물체들이 회전하며 늘어났다 줄어들었다 하는 이등변삼각형을 이루는 경우에 대한 유사한 해법을 찾아냈다. - P222

1860년과 1867년에 천문학자이자 수학자인 샤를-유진 들로네Charles-Eugène Delaunay는 달에 대한 태양의 중력의 영향을 지구의 영향에 약간의 변화가 가해진 것으로 보는 섭동 이론을 이용해 구체적인 경우인 태양-지구-달 계를 공략해서 수많은 연속적인 항들을 더한 급수의 형태로 근사적인 공식들을 도출해냈다. - P222

 그런 모든 접근법에 대한 커다란 기술적 장애도 밝혀냈다. 이 장애는 작은 분모라고 알려졌다. - P222

타원에 근접하는 궤도들의 축이회전하는 속도 사이의 유리관계ratinoal relation인 영년공명secular resonances은 유난히 골치가 아픈데, 분모가 작으면 분수의 값을 구할 때 있을 법한 오차가 상당히 커지게 되기 때문이다. - P223

단기적인 예측을 위해서는 수치 근사 방법이 효과적인데 천문학에서는 1,000년도 단기이다. 태양계가 수억 년에 걸쳐 어떻게 전개될 것인가를 이해하는 것은 아예 다른 문제이다. - P223

1889년은 노르웨이와 스웨덴의 왕인 오스카르 2세의 환갑이었다. 축하 행사의 하나로 노르웨이의 수학자 예스타 미타그-레플레르 GostaMittag-Leffler는 n-체 문제에 대한 해법에 상을 걸라고 왕을 설득했다. 이미 지나친 요구라는 것이 명확해졌으므로 정확한 공식으로 해법을 내놓으라는 것은 아니었고 일종의 수렴급수로 내놓으라는 것이었다.  - P224

푸앵카레는 오스카르 왕이 내준 문제를 해결하지 않았다. (중략). 상을 받은 그의 연구 결과는 1890년 발표되었는데 그 결과는 제한된 3체 문제라 하더라도 규정된 종류의 답이 없을 수 있다는 것을 암시했다.  - P224

푸앵카레는 이 피할 수 없는 혼란을 자신이 개발하고 있던 다른 아이디어들에서 추론해냈는데 이로써 미분 방정식을 실제로 풀지 않고도 그 해를 묘사하는 것이 가능해졌다. - P225

예를 들어 주기적인 해는 스스로 닫혀 고리를 이루는 경로이다. 시간이 흐르면서 상태는 고리를 따라 돌고 또 돌며 똑같은 행태를 무한히 반복한다. 그렇다면 이 계는 주기적이다. 푸앵카레는 그러한 고리를감지해내는 좋은 방법은 고리를 가로지르도록 다차원 곡면을 놓는 것이라고 제안했다. 오늘날 이것을 푸앵카레 절단이라고 부른다. - P225

푸앵카레의 위대한 아이디어는 두 번째로 복잡한 종류의 해인 몇개의 주기적 운동의 조합을 만났을 때 진가를 발휘한다. - P226

오늘날 그의 그림(그림 31)은 호모클리닉 엉킴Homoclinic tangle, 자신과연결된 엉킴이라고 부른다. 1960년대 스티븐 스메일Stephen Smale이 도입한 새로운 위상수학 개념들 덕에 이제는 이 구조를 오랜 친구처럼 인식한다. - P227

대체로는 그렇다는 것이다. 오랜 세월 수학사가들은 그렇게 말했다.
그렇지만 1990년경 준 배로-그린 June Barrow-Green이스톡홀름에 있는미타그-레플레르 연구소 깊숙한 곳에서 푸앵카레의 연구논문 사본을 발견해 대충 훑어보다가 전 세계의 수많은 수학장서에서 찾아볼 수 있는 것과는 다르다는 것을 깨달았다. - P228

푸앵카레는 이러한 카오스적 해들이 급수 전개와는 양말하지 않는다고 생각했던 것 같지만, 그 생각도 틀린 것임이 밝혀진다. 그렇게 억측하는 것도 무리는 아니었던 것이, 급수는 카오스를 표현하기에는 지나치게 규칙적인 것 같기 때문이다. - P229

 핀란드의 수학자 칼 프리티오프 순드만Karl Fritiof Sundman이 1912년에 이 모든 것을 발견했다.
드문 예외는 있지만 n-체 문제에도 비슷하게 성립하는데, 이러한 결과는 1991년 왕추동 Qiudong Wang이 얻어냈다. 하지만 4개 이상의 물체에 대해서는 급수가 수렴하지 않는 정확한 상황에 대한 어떠한 분류도 이루어지지 않았다. - P229

1993년 크리스토퍼 무어 Christopher Moore는 3개의 물체가 모두 같은 궤도를 따라 ‘날 따라해봐요 이렇게‘ 놀이를 하는 경우의 3체 문제에 대한 해법을 찾아냈다. 더욱 놀라운 것은 궤도의 모양이다. 그림 32에서 보듯 8자 모양이었다.  - P230

무어의 계산은 컴퓨터를 사용했고 수치적이었다. 그의 해법을 2001년 알랭 헨치네르Alain Chenciner와 로버트 몽고메리 Robert Montgomery가독립적으로 재발견했는데, 그들은 ‘최소 작용‘이라고 알려진 고전 역학의 오래된 법칙과 참으로 정교한 위상 수학을 결합해 그와 같은 해가 존재한다는 것을 엄격하게 증명해냈다. - P231

2000년 더글러스 헤기Douglas Heggie는 그러한 세쌍둥이 별의 수가 은하계마다 하나씩에서 우주마다 하나씩 사이일 것으로 추정했다. - P231

(전략). 수치적인 증거는 3개를 초과하는 물체의안무가 존재한다는 것을 밝혀준다. 그림 33은 그 예이다. 특히 시모는엄청난 수의 안무들을 발견해냈다.⁵⁸ 
이 경우에도 수많은 질문이 아직 답을 얻지 못했다. 이러한 안무의 존재에 대한 철저한 증명이 없다. 3개를 초과하는 물체에 대해서는 모두 불안정해 보인다. 이것은 필시 옳겠지만, 그래도 증명을 해야 한다. - P233

58 동영상과 추가적인 정보는 다음에서 찾아볼 수 있다.
http://www.scholarpedia.org/article/N-body_choreographies - P473

그렇다면 태양계는 안정적인가?
그럴 수도 있고 그렇지 않을 수도 있다. - P233

 위르겐 모저Jurgen Moser와 블라디미르 아르놀트Vladimir Arnold의 연구는 태양계의 단순화된 다양한 모형들이 거의 모든 초기 상태에 대해 안정적이라는 증명으로 이어졌다.  - P233

 1961년 아르놀트는 이상화된 모형 태양계가 이러한 의미에서 안정적임을 증명했지만 행성들이 중앙의 별에 비해 매우 작은 질량을 가지고 있고 궤도들은 원형에 대단히 가까우며 공통의 평면에 대단히 가깝다는 가정하에서만 그렇다. 엄밀한 증명에 관한 한 여기서 ‘대단히 가깝다‘는 것은 ‘많아야 10^(-43)배 정도의 차이가 있다‘는 의미이고, 그렇다 하더라도 완벽하게 말하자면 불안정할 확률은 0이라는 것이다. - P234

1982년 아치 로이 Archi Roy의 롱스톱 계획Project Longstop은 슈퍼컴퓨터로 외곽 행성들(목성 밖)을 모형화했는데 대규모 불안정성은 발견하지 못했지만 몇 개의 행성들은 기이한 방식으로 다른 행성들의 에너지를 희생시키면서 에너지를 얻었다.  - P235

카오스의 영향을 줄이는 한 가지 방법은 약간씩 다른 초기 데이터로 수많은 시뮬레이션을 시행해 가능한 미래들의 범위와 각각의 미래의 가능성에 대한 상을 얻어내는 것이다. - P236

1999년 노먼 머리Norman Murray와 매슈 홀먼Matthew Holman은 안정성을 나타내는 아르놀트와 같은 결과와 불안정성을 나타내는 시뮬레이션 사이의 불일치를 조사했다. ‘수치적인 결과가 틀린 것인가, 아니면 그저 종래의 계산을 적용할 수 없는 것인가?‘ 하는 의문을 가졌다.
계산적인 방법이 아니라 해석학적인 방법을 사용해 그들은 종래의 계산은 적용되지 않음을 보였다.⁶⁰ - P236

60 좀 더 정식으로는 랴프노프 시간Lyapunov time이라고 한다. - P473

같은 방법으로 태양계의 과거를 조사할 수도 있다. 같은 방정식들을 사용해 시간을 뒤로 돌린다는 간단한 수학적 요령을 통해서이다. 최근까지 천문학자들은 행성들이 발생기의 태양을 둘러싼 기체와 먼지구름에서 응축되어 나온 이래로 현재의 궤도에 늘 가까이 있었다고 추측하는 경향이 있었다.  - P237

태양계에서 작은 천체에 속하는 나머지들도 이러한 변화의 영향을받았다. 안정적으로 보이는 우리 태양계의 현재 배치도는 거인들의 복잡한 춤을 통해 생겨났고, 그렇게 춤을 추면서 그 거인들은 카오스의 폭동 가운데 작디작은 천체들을 서로에게 집어던졌다. 그렇다면 태양계는 안정적일까? - P238

06

오래된 것에 대한 새로운 해법

모델 추측

(전략). 2002년 앤드루 그랜빌과 토머스 터커Thomas Tucker는 이 문제를 다음과 같이 소개했다.⁴⁸


(1922년) 모델Mordell은 수학 사상 가장 위대한 논문을 썼다. ...... 논문말미에 모델은 디오판토스 산술에 대한 20세기의 중요한 연구 상당 부분에 동기를 부여하는 데 도움이 된 5개의 질문을 던졌다. 가장 중요하고 어려운 질문에는 1983년 팔팅스Faltings가 수학 사상 가장 심오하고강력한 개념 몇 가지를 창안해 답했다. - P165

모델 추측은 정수론의 주요 분야인 디오판토스 방정식에 속한다. - P166

에우클레이데스의 방법은 무한히 많은 피타고라스 수를 만들어낸다. 모델은 무한히 많은 해를 낳는 공식이 있는 디오판토스 방정식을몇 개 더 알고 있었다. 그는 무한히 많은 해가 있지만 공식으로 규정되지 않는, 다른 유형의 디오판토스 방정식도 알았다. 이것을 타원곡선이라고 한다. - P167

디오판토스 방정식만이 모든 해를 가지는 유일한 공식은 아니지만그런 공식은 상대적으로 드물기는 하다. 다른 것으로는 소위 펠 방정식Pell equation이라는 것이 있다. x²=2y²+1 같은 것이다.  - P169

(전략).
‘간단한 계산‘이라고 어물쩍 넘어간 것은 삼각법을 사용한다. 사인이나 코사인 함수 같은 전형적인 삼각 함수들은 원의 기하학과 직접적인 연관이 있다.  - P170

18세기와 19세기의 해석학은 이러한 적분에 대한 광범위한 일반화를 발견해냈고 그와 더불어 익숙한 삼각 함수와 유사한 흥미롭고 새로운 함수들도 많이 발견했다. 이러한 새로운 함수들은 호기심을 자극했다. 사인 함수나 코사인 함수처럼 주기적이지만 그 주기성은 더욱 정교했다. - P171