계산 수학의 빛나는 순간들
(전략).
우리가 생각하는 것은 과학과 공학의 문제들이며 이것을 가지고 수학적인 모델을 만들어 해석합니다. 그 내용을 토대로 효율적인 알고리즘을개발해 수치적인 방법을 작성해서 컴퓨터 작업으로 결과를 도출하죠. - P97
계산과학의 다양한 예측
계산 과학은 다른 과학과 어떻게 다를까요? - P98
사칙연산은 수학이 아니다
(전략).
위에 보시는 그림은 제가 가르치는 KAIST 수리과학과 학생들이 만든학과 후드 티셔츠예요. 주변 사람들이 하도 많이 계산을 시켜 대니까 "커피값 계산하는 데 나를 사용하지 마라. 그리고 우리도 계산기(calculator)를 사용한다."라고 써 놓았습니다. 이 말인즉 수학은 단순한 사칙 연산수준을 뛰어넘는 역할을 해야 한다는 뜻입니다. 그런 본격적인 의미에서 수학이 어디에 쓰이는지, 그 일부를 우리가 지난 시간에 살펴본 것이고요. - P100
고해상도 TV의 난점
(전략).
그런데 해상도 향상에는 문제가 있습니다. 화면이 정밀해지면 방송국에서 고해상도를 수용할 수 있는 대량의 신호를 송출해야 합니다. 전파망은 한계가 있습니다. 앞으로 이런 고해상도로 가려면 신호는 Full HDTV신호로 받고 보여 주기는 UHDTV로 실행해야 합니다. - P101
깔끔한 화면 너머의 수학
TV가 풀어야 할 또 하나의 과제는 1초당 프레임 수의 증가입니다. 아시는 분도 계시겠지만, 우리의 눈은 1초에 24프레임만 보이면 연속적으로 느낍니다. 다시 말해 어떤 영상을 1초에 24장만 찍어서 보여 주면, 우리 눈이 파악하기에는 불연속성이 없이 연속적으로 동작하는 것처럼 느낀다는 뜻입니다. - P102
1초당 30프레임을 받아서 어떻게 증가시킬까요? 여러 기술들이 있는데 가장 발전된 방식은 광학 흐름 추정(optical flow estimation)이라는 것입니다. - P102
실제로 많은 동영상에서 이렇게 삽입하는 중간 단계는 동영상 속 물체의 움직임을 분석해서 만들어 내야 합니다. 그래서 쉽지 않죠. 여기에 우리가 자연 현상의 모의실험에서 이용한 계산 수학의 원리들을 바로 적용할 수 있습니다. 유체나 탄성체의 움직임을 재현, 예측하는 데 쓴 계산들이 이곳에서도 똑같이 활용됩니다. - P103
우리는 TV에서 계산 결과를 본다
다음은 TV에서 1초당 프레임 수를 증가시키는 방식을 봅시다. 수학적으로 굉장히 복잡한데 결국은 동일한 원리입니다. 즉 어떤 에너지를 만들고 그것을 최소화시켜 주는 상태가 무엇인지 보는 거예요. - P105
레벨 셋의 원리
유체의 움직임을 계산하는 데 사용하는 나비에-스토크스 방정식은지금까지 여러 번 들으셨는데요. 이 방정식은 2000년에 클레이 수학 연구소에서 제시한 7개의 밀레니엄 문제 중 하나이기도 합니다. 응용 수학쪽의 쟁점인 3차원에서 나비에스토크스 방정식의 해의 유무에 대한 문제와 해가 존재한다면 얼마나 매끈하게 있는지에 대한 문제는 아직 풀리지 않았습니다. - P109
오셔와 세시언은 연속에서 불연속으로 진행되는 현상에 관한 문제를 그 영역의 차원을 높여서 접근했습니다. 그들은 2차원 곡선의 형태가 어떤 3차원 물체의 수평 단면이 보이는 경계와 일치할 것이라고 가정했어요. 무슨 얘기인가 하면, 앞 그림의 상단처럼 점점 연속성이 줄어드는 2차원 영역을 하단처럼 3차원 함수의 단면으로 보겠다는 뜻입니다. - P110
오셔와 세시언의 업적을 정리하자면 3차원 함수를 만들어서 그 변화를 관찰함으로써, 2차원 영역의 분할과 결합을 효과적으로 표현하는 방식을 고안한 것이라고 하겠습니다. - P110
불과 물의 함수
레벨 셋처럼 수학적으로 획기적인 방법을 창안했더라도, 실제로 컴퓨터에서 구현하면 오류가 자주 발생합니다. 오셔 교수가 컴퓨터상에서 면적이 소실되지 않도록 보정하는 방법까지 고안한 덕에 현재는 보다 오차가적은 계산이 가능해진 것입니다.
이 함수를 이용하면 불이 타오르는 모습까지도 실감나게 계산해 낼 수있습니다. - P111
우리 몸을 계산하는 현대 수학
요즘에는 계산 수학을 적용한 인공 장기 제작을 시도하고 있습니다. - P120
컴퓨터 속의 환자를 수술한다
마지막으로 의학에서 계산 수학이 활용되는 사례가 수술 계획과 모의수술입니다. 말 그대로 실제 수술하는 부위들의 물성을 계산으로 재현해서 그것을 절개, 제거, 봉합하는 등의 처치 과정을 컴퓨터로 모의실험하는 것입니다. 자, 이런 기술이 왜 중요할까요? - P120
수술 계획에서 핵심 요소는 무엇일까요? 그렇습니다. 정확한 모델을 만드는 것입니다. 지금 보시는 사진은 가상수술 시스템을 테스트하는 모습입니다. 의사가 짠 계획에 따라서 기계를 조작하면 모니터 속에서 그대로 가상의 수술이 진행되는 거죠. - P121
미래가 요구하는 계산의 규모
최근 공학 분야에서 중요하게 대두되는 3가지 문제가 있는데, 바로 연소, 기상, 재료입니다. (중략). 기상 분야 역시 지구 온난화를 비롯해 최근 들어 발생하는 여러 기후 현상 때문에 기존의 자료와 패턴만으로는 앞으로의 변화를 예측하기 어렵고, 현재의 요인들까지 반영한 더욱 큰 용량의 계산이 필요합니다. (후략). - P122
(전략). 앞에서도 말씀드렸지만 20년 전이나 지금이나 개별 하드웨어의 클락 속도는 3.5기가헤르츠입니다. 이러한 하드웨어적인 한계에는 전력 소모, 발열량과 같은 물리적인 요인도 작용한다고 말씀드렸어요. 그래서 3.5기가헤르츠 수준의 컴퓨터들을 병렬적으로 계속 결합시켜서 대단히 거대한 규모의 컴퓨터를 만들어 계산하는 것입니다. - P123
앞으로 무엇을 계산할 것인가
급속히 증가하는 계산 규모에 맞는 알고리즘을 계속해서 개발하는 것이 앞으로 계산 수학의 과제이며, 수학 전공자들의 역할과 중요성은 더욱커질 것입니다 - P123
하지만 이렇게 예상하기 어려운 수준으로 과학 기술이 발달하더라도 변하지 않는 것이 있습니다. 바로 우리 인간의 건강한 삶, 행복한 삶, 안전한 삶입니다. - P124
Q&A
참석자: 부동 소수점 표현을 말씀하시면서 저장되지 않은 숫자들은 나중에 무작위로 추출된다고 말씀하셨는데, 그 숫자는 컴퓨터 프로그램이 추출하는 것인지. 다른 어떤 원리가 있는지 궁금합니다.
이창옥: 그것은 컴퓨터나 프로그램에 따라서 다릅니다. 무작위로 아무 숫자나 뽑아서빈 자릿수를 채울 수도 있고, 모두)을 집어넣기도 해요. 계산 결과는 두 방식에 어떤 차이도 없으니까요. - P128
참석자: 계산 수학으로 기상 변화를 예측하는 부분을 말씀해 주시면서, 한국에는이런 시스템이 갖춰지지 않았다고 하셨는데, 아직 계산해 내는데 시일이 오래 걸리기 때문인지, 정부에서 이런 예측 시스템을 믿지 않아서인지 궁금합니다.
이창옥: 일단 가장 큰 이유는 현재 한국에는 이런 예측을 잘할 수 있는 전문가의 수가 많지 않습니다. 아쉬운 일이죠. 다음으로는 계산 수학에 능한 기상 전문가가 적기 때문에, 이 방식으로 신뢰도 높은 결과가 잘 나오지 않습니다. 그리고 한국에서는 예측 시스템의 성과를 전면에 세우는 데 아직 소극적입니다. (후략). - P129
참석자: 지금 계산 수학으로 구현하는 시뮬레이션들을 심리학적인 측면에서도 사용이 가능한지, 현재의 수준으로는 어느 정도 이용할 수 있는지 말씀해 주셨으면합니다.
이창옥: 굉장히 좋은 질문을 해 주셨습니다. 어떤 가상 현실을 만들어서 사람을 심리적으로 치료하는 것도 가능할 것입니다. (중략).
하지만 아직은 이런 시뮬레이션을 실시간으로 제작하지는 못하는 상태입니다.
사람들의 심리적 문제에 실시간으로 반응해서 시뮬레이션하려면 계산 능력이 대단히 뛰어난 슈퍼컴퓨터를 써야 할 텐데, 이런 컴퓨터를 자유롭게 활용하는 것은아직 불가능하기 때문입니다. - P132
참석자: 애니메이션 「디지몬 영상」을 보여 주셨는데요. 그 영상은 서로 다른 두 몬스터의 사진을 놓고서, 그 둘의 변화를 방정식으로 작성해서 A라는 몬스터가 B라는몬스터로 바뀌는 영상이 있습니다. 그런 방식이 아니라 몬스터들의 각 부위가 더듬이, 몸통, 팔다리와 같은 순치로 변한다는 알고리즘을 세워시 영상을 만들 수도 있지 않을까요?
이창옥: 지금 말씀하신 그 내용이 바로 일반적인 영상 제작 방식입니다. 이런 애니메이션을 만들 때 마크 포인트라는 것을 설정합니다. 서로 다른 두 몬스터에 각각 대웅되도록 짐을 찍는 거죠. 눈에는 눈, 코에는 코와 같은 식으로 마크 포인트를 찍어서 서로 따라가며 변화하는 방식입니다. 이것이 지금 하신 말씀과 유사합니다. (후략). - P133
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