2강
수학이 예측하는
우리 사회의 미래
이번에는 지난 강의에서 배운 편미분 방정식을 계산하기 위해 필요한 수치 기법들을 이야기해 보려고 합니다. 이어서 이러한 계산으로 자연 현상을 모사하는 방법을 말씀드릴 텐데, 보다 구체적으로는 기상, 자연 재해, 자동차 충돌, 비행기와 요트 디자인에 현대 수학이 적용되는 과정을 살펴보죠. - P63
방정식의 해는 근사하다
파동방정식, 나비에－스토크스 방정식, 맥스웰 방정식 등이 대표적인 방정식이에요. 이 방정식들은 모델링에서 도출되었으며, 수학 이론이 그해의 존재성, 유일성을 증명합니다. - P64
편미분 방정식의 수학적 해석도 중요하지만 이것을 실제로 구현하고 응용하기 위해서는 해가 필요하기 때문이죠. 계산을 해서 보여 주겠다는 것입니다. 그런데 일반적으로 정확한 해를 구하기는 불가능합니다. - P65
다른 형태의 미분도 유한 차분식으로 바꿔 보죠. 이제 우리가 풀려는 영역을 오른쪽 그림과 같이 가로 세로로 촘촘하게 잘라서 격자점들로 표현해요. 그 후에 미분 방정식에서 이 격자점들의 미분을 유한 차분식으로 변환하면, 미분 방정식이 격자점에서의 함숫값들의 관계식으로 바뀝니다. 미분 방정식은 무한히 많은 점 위에서의 연속 함수인데 이렇게 해서 유한한 개수의 격자점상에 있는 함숫값들의 문제가 됩니다. - P66
1960년대에 들어오면서 좀 더 수학적인 방식이 등장합니다. 이것이 바로 유한 요소법입니다. - P67
우리가 원하는 해 u는 연속함수로서 무한 차원인데, 조각 1차 함수들이 격자점에서 갖는 값만 알면이 함수들의 형태를 알 수 있습니다. 즉 삼각형들의 마디 위에서 갖는 함숫값만 찾으면 해결되는 거죠. - P68
비행기를 만드는 방정식
(전략).
유한차분법이든 유한 요소법이든 도출되는 행렬 방정식의 미지수는각 격자점에서의 함숫값들입니다. 고등학교에서는 보통 2행 2열 3행 3열정도의 행렬을 배웁니다만 이 방식은 100만 행 100만 열과 같은 굉장히큰 행렬을 금방 만듭니다. 보통 고등학교에서 2행 2열의 행렬 방정식을 풀때, 역행렬을 찾아서 곱하죠. 하지만 100만 행 100만 열쯤 되면 역행렬을찾기는 매우 힘듭니다. - P69
(전략). 병렬화가 쉽고, 복잡한영역의 문제를 단순 영역으로 바꿀 수 있죠. 또한 사각형 영역, 원형 영역처럼 영역별로 분할해 서로 다른 수치 방법으로 푸는 것도 가능합니다. 이렇게 비행기를 디자인할 때 위치에 따라 지배하는 방정식이 다른 경우를, 요즘은 다중 물리 문제(multiphysics problem)라고 부릅니다. - P70
폭발 모의실험
자연 현상을 설명하는 수학적 모델에서는 모델에 포함된 계수들을 변화시키면서 실제로 어떤 현상이 벌어지는지 예측할 수 있습니다. 그래서 실제로 실험 자체가 불가능한 경우에도 컴퓨터로 모의실험을 시행해 결과를 예측 분석하는 것이 가능합니다. 예를 들어 해저나 우주에서 벌어지는현상은 직접 실험할 수가 없습니다 - P72
날씨를 계산하는 방법
지금부터는 우리가 어떻게 계산 수학으로 아직 닥치지 않은 미래를 예측할 수 있는지, 그 구체적인 활용 사례를 살펴보도록 하겠습니다. 먼저기상 예측입니다. 기상 예측에서는 나비에스토크스 방정식, 열 방정식, 부시네스크 방정식(Boussinesq equation) 등을 사용합니다. - P73
그런데 요즘에는 이런 방식이 잘 통하지 않습니다. 지구 온난화처럼 과거에는 없었던 현상들이 점점 늘고 있기 때문입니다. 그래서 기상학에서 새롭게 등장한 것이 학습 이론, 소위 머신 러닝(machine learning)입니다. - P74
구름 위의 컴퓨터
구름의 광학적 두께를 측정하는 데도 계산 과학(computational science)은 중요한 도구로 활용되고 있습니다. 본래 구름은 두께를 측정하기 어려운 대상입니다. 구름은 멀리서 보기에는 어떤 실체가 있는 것 같지만, 막상 그 속에 들어가면 매우 뿌옇고 흩어져서 두께를 재기 어렵습니다. 그래서 구름의 광학적 두께를 측정할 때 빛의 투과율을 기준으로 삼습니다. - P75
구름의 두께를 알게 되면 특정한 지역의 강우 여부, 강우량, 일조량 등을 종합적으로 예측할 수 있습니다. 이것이 바로 기상 예측인데 미국의 에너지 과학 계산 연구소(NERSC)에서는 더욱 심층적인 연구를 했습니다. - P76
분할 단위를 줄여서 실험 모형이 세밀해질수록 정확도도 높아져서, 실제 관측 결과와 유사해져 가는 것을 확인하실 수 있습니다. 이렇게 계산 수학과 컴퓨터 공학이 발달해 나간다면, 머지않은 미래에는 우리가 원하는 지역의 일일 강수량을 정확히 예측해 낼수 있을 것입니다. - P77
아시겠지만 지금까지 보신 것은 전부 미국 자료에요. 한국에서 제작한 자료는 없습니다. 아까 말씀드렸다시피 우리는 계산 수학을 적극적으로 활용하지 못하고 있는 실정입니다 - P78
자연 재해를 대비하는 수학
다음으로 말씀드릴 주제는 요즘 문제가 되는 자연 재해입니다. 그중에서도 피해가 컸던 재해가 아직 여러분들께서도 기억하시는 쓰나미일 것입니다. (중략). 사람의 힘으로 막을 수 없는 재난 앞에서 수학은 어떤 도움이 될까요? - P78
파도 속의 방정식
실제로 존재하는 건물을 놓고서 쓰나미로 침수되면 어떻게 손상되는지 컴퓨터로 시뮬레이션해 볼 수도 있습니다. 수시로 바뀌는 파도의 비선형적 형태뿐만 아니라 파도의 진행 방향 뒤로 퍼지는 분산 효과, 밀려오는 동선에 있는 지형지물들의 복잡한 형태까지 고려해야 하기 때문에 굉장히 어려운 계산입니다. - P80
또한 파도에는 주기(frequency)가 있습니다. 파도는 여러 주기가 결합해서 형성되는데 각 주기별로 전파 속도가 다릅니다. 그래서 파도 하나가밀려오는 것 같지만 사실은 여러 개가 함께 오는 것이고 이것들끼리 서로 속도의 차이도 있기 때문에 여러 개로 나눠졌다가 다시 합쳐지는 과정이 반복됩니다. 그러므로 이런 요소를 정확히 고려해서 쓰나미를 모의실험해야합니다. - P81
옆의 자료는 2011년 동일본 지진의 쓰나미로 일본 미야기 현 오나가와정에서 피해가 발생한 영역을 분석한 것입니다. 이 지역을 대상으로 시뮬레이션한 결과를 보면, 피해 양상을 예상할 수 있습니다. 이것은 실제로관측된 피해 영역과 높은 비율로 일치합니다. - P82
자연을 모사해 재해를 대비한다
다시 쓰나미를 계산하는 이야기로 돌아와 보죠. 문제는 이런 쓰나미 계산이 굉장히 힘들다는 것입니다. 바닷물이 지면을 따라오다가 건물들을 만나겠죠. 그러면 건물의 모양이나 위치에 따라서 접촉한 물의 모양이 달라질 것 아니에요? - P84
한국에서는 쓰나미가 일어나지 않아서, 여름철에 자주 일어나는 산사태를 대상으로 재해 모의실험을 구성할 수 있습니다. - P84
슈퍼컴퓨터와 자동차
다음으로는 자연 재해가 아닌 우리의 일상생활과 직접 관련된 계산 수학 모의실험을 살펴보겠습니다. 바로 우리가 늘 이용하는 자동차의 충돌사고를 가정한 모의실험입니다. 현대 자동차 같은 경우에 신차 모델을 하나 개발하면 보통 3000억 원 이상의 비용이 들어간다고 합니다. 그 비용중 상당 부분은 자동차의 안전도 테스트를 위해서 자동차를 제작해 실제로 부숴 보는 데 쓰입니다. - P85
미래 항공기의 조건
(전략).
미래의 항공기는 끊임없이 발전할 것입니다. 그 필수 요건은 바로 연료절감이에요. 그 밖에도 소음과 유해 물질 배기량 감축도 중요한 과제입니다. 그래서 미국 정부가 2010년에 내놓은 10년 장기 계획(2010 NationalAeronautics Research and Development Plan)에 따르면 연료 소모는 보잉737의 30퍼센트, 제트기 소음은 현재 기준보다 62 데시벨, 질소산화물배출량은 현재 국제 기준의 20퍼센트 이하로 감축해야 합니다. 이 기준에 미달하면 비행기를 완성해도 취항할 수 없다는 규정까지 이 장기 계획에 포함되어 있습니다. - P87
날리지 않고도 제작되는 비행기
유체 역학이 공기를 대상으로 계산한 것은 대략 1960년대부터입니다. 처음에는 공기에 점성과 회전이 없는 선형 모델만을 가정하고 계산했었습니다. 좀 더 쉽게 계산할 수 있었지만 그 대신 현실성은 다소 줄어들었죠. 선형 모델에서 비선형 모델로 진전되며 회전, 점성, 소용돌이까지 하나하나 가정에 추가해 계산하는 식으로 모델이 정교해졌습니다. - P88
비행기의 소음을 감소시키는 기술을 개발할 때도 직접 엔진을 제작해서 작동시켜 발생하는 소음을 측정하며 개량할 필요가 없습니다. 컴퓨터시뮬레이션으로 가상의 엔진을 제작해 작동시키고, 음파 방정식으로 그 소리의 크기와 확산 범위까지 계산할 수 있기 때문입니다. - P91
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