늘 말썽인 두 천재_벨 부등식의 간단한 수학 해석 ...

늘 말썽인 두 천재_벨 부등식의 간단한 수학 해석


다음 이야기는 사례로 든 꾸민 이야기임을 먼저 밝힌다.
100여 년 전, 어느 명문대학교 물리학과에 초빙된 두 명의 교수가있었다. 앨버트 아인슈타인과 닐스 보어가 교수직을 맡고 있어 그 명성이 대단했다. 엄격한 두 교수는 제도를 하나 만들었는데, 모든 학생은 9시 정각에 주어진 강의실에 모여 시험을 치러야 한다. 시험지에는 하나의 논제가 쓰여 있는데 답은 ㅇ 또는 X로만 할 수 있다. (후략). - P225

수정된 제도가 시행된 이후 재미있는 상황이 발생한다. 만약 두 학생의 시험지가 다르면, 그들의 답은 어떨 때는 같고 어떨 때는 다르다. 그러나 같은 시험지라면, A, B, C와 상관없이 답은 항상 반대였다. - P226

벨은 설명하기 시작했다. "교수님, 보십시오. 두 학생은 같은 시험지에 대해서는 항상 다른 답을 냈어요. 매일 시험 전에 A, B, C의 답안을 구별해서 약속했다는 것이 분명합니다. 예를 들어 그중 어느 시험지를 가져 오든, 한 사람의 답은 ㅇ, 다른 한 사람은 X이죠. 이 방법은 너무 뻔해서 매일 전략에 변화를 준 겁니다. 하지만 어떻게 변화시키든 그들은 8가지 전략에서 선택할 수 있죠.
예를 들면, 만약 첫 번째 학생의 답이 하나의 전략이라고 하면, 음,
000 전략, oxx 전략도 가능하고요. A, B, C 시험지의 답을 OXX, 다른 하나는 XOO라고 할 수 있어요. (후략). - P227

몇 시간 후에 기다리던 통계 결과가 나왔다. 그런데 벨의 얼굴색이좋지 않다. 아이슈타인이 그에게 물었다. "왜 그래? 결과가 도대체 어떻게 나온거야?" 벨은 기죽은 목소리로 "제가 통계를 냈는데 결과가1/4이네요 어떻게 이런 일이..." 아인슈타인도 매우 놀랐다. - P229

" 아인슈타인은씁쓸하게 웃으며 되물었다. "그렇다네. 자네들은 도대체 무슨 꿍꿍이가 있는 건가?"
두 학생은 동시에 등 뒤에서 물건 하나를 꺼내며 말했다. "교수님,
우리의 비결은 바로 이겁니다." 아인슈타인은 물건을 받고 한번 훑어보았다. 그것은 같은 양자 자기선회 quantum spin 방향 검출기였다. 검출기에는 세 개의 위치가 표시되어 있다. 각 위치 사이의 편광각은 서로 다르다. 서로 간의 끼인각은 모두 정확히 120°이다. - P230

그중 한 명의 학생이 대답했다. "교수님의 짐작은 완전히 맞습니다. 저희는 교실에 다른 하나 ‘양자 얽힘 발생기 하나를 숨겨놨습니다. 뿐만 아니라 매일 아침 9시 1분으로 설정해놓았습니다. 그것이얽힌 양자를 방출하도록 말이죠. 그러고는 저희는 각자 좋은 검출기를 가져왔습니다. (후략)." - P230

우선 다시 말해두지만 이야기는 완전 허구다. 나는 단지 당신에게 보어부등식을 잘 이해시키기 위해 이 이야기를 꾸며냈다.
사실 현실적으로 보면 학생이 양자 자기선회 방향검출기를 휴대하기란 근본적으로 불가능하다. 더군다나 양자얽힘 발생기를 교실에 몰래 설치하는 것도 말이 안 된다. 이것들은 나의 상상이다. - P231

‘보어부등식‘을 이해하기 위해서는 먼저 양자의 ‘원거리에서 일어나는 유령과 같은 작용 spooky action at a distance‘을 이해해야 한다. 두 개의 양자는 서로 ‘얽힘‘ 상태에 있다는 말을 들어봤을 것이다. - P231

보어의 해석은 어떤 미지의 ‘원거리에서의 작용‘이라고 한다. 당신이 하나의 입자를 테스트한 후, 다른 하나는 바로 당신의 측량에 감지된다. 그리하여 자신의 자전방향(자기선회방향)을 결정한다. 이후에 이것을 유령 같은 원거리 작용이라고 부른다. - P232

그러나 아인슈타인은 이런 해석에 만족하지 않았다. 왜냐하면 ‘원거리에서의 작용‘이 그의 ‘어떤 신호도 광속을 초과하는 속도로 전송될 수 없다‘는 원칙과 충돌하기 때문이다. 그는 다른 해석을 하나 내놓았다. 즉, ‘숨은 변수hidden variable‘의 해석이다. 이것은 두 개 입자가분리될 때, ‘자기선회방향 측정의 결과가 항상 반대가 되도록 하라와 같은 어떤 약속을 만들어낸다. 하지만 아인슈타인과 보어, 그 누구도 서로를 설득하지 못한 채 모두 세상을 떠났다. - P232

2015년 네덜란드의 델프트 기술대학의 어느 교수는 한 편의 논문을 발표했다. 그는 거리가 서로 13킬로미터(두 학생이 시험장에서 1.3킬로미터 떨어진 것과 같다) 떨어진 두 개의 금강석색심을 생산하는 얽힘 양자를 이용하여 벨 실험을 했다. - P234

최근 한 차례 센세이션을 일으켰던 뉴스는 바로 2016년 11월 30일에 완성한 ‘거대 벨실험‘이다. 거대 벨실험과 앞의 실험의 유일한 차이는 ‘수가 더 랜덤‘이라는 점이다. 이전의 벨 실험은 모두 컴퓨터를 이용한 임의 난수생성이었다. 표현이 과격한 사람은 이것은 진정한 난수가 아니라고 여긴다. 양자가 난수배열에서 규정이나 허점을찾을 가능성을 배제할 수 없다. 따라서 실험결과의 상황에 영향을 주었다. - P235

여기서 이야기에 비추어보면, 우리는 ‘양자얽힘‘을 악용할 가능성도 있다. 또한 천재가 나타나서 양자의 이런 효과를 국제사회에 가치있는 응용이 가능하도록 만들 수도 있다. 더불어 이것은 어린이, 청소년 과학소설의 좋은 소재가 될 수 있다. 어찌됐든 양자세계는 매우신비롭다는 것이다. - P236

신비로운 0.577_오일러 마스케로니 상수


문제: 한 마리 개미가 있다. 고무 고리 위의 어느 지점에 머물고 있는데 고무 고리의 초기 둘레는 1m이다. 개미가 1초에1cm의 속도로 이동하기 시작하면 고무 고리는 1초 후에 1m씩 일정하게 둘레가 늘어난다. 다시 말하면 1초 후에 고무 고리의 둘레는 2m, 또 1초 후에는 3m로 변한다.

질문: 이 개미가 고무 고리를 한 바퀴 도는 것이 가능할까?
(이 개미는 처음 위치로 돌아올 수 있을까?) - P120

그러면 조화급수의 n항 합은 도대체 얼마인지 궁금할 것이다. 빨리 계산할 수는 없을까? - P123

조화급수의 전반부 n개 항의 합이 In(n)에 가까워진다면 결국 In(n)과같아질 수 있을까? 아니면 ‘임의의 작은‘과 ‘충분히 큰‘ 이 두 개의 표현을 빌려 이 충분히 클 때, 조화급수의 전반부 개 항의 합과 In(n)사이의 차이는 임의의 작은 값일까? 정답은 ‘아니다‘. - P123

(전략), 이 차잇값이 바로 본 절의 주제인 ‘오일러 마스케로니 상수이다. - P124

r=0.5772156649015328606065120900824024310421...

지금은 컴퓨터를 이용하여 이 값을 소수점 아래 100억 자리 이상까지 계산했다. 하지만 지금까지 순환하는 흔적을 찾지 못했다. 아마도 무리수일 가능성이 큰 거 같다. 수학자들도 보편적으로 무리수일거라고 예상했지만 지금까지 증명한 사람은 아무도 없었다. - P125

마지막으로 조화급수의 확장에 대해서 이야기해보자. 앞에서 언급한 조화급수가 발산한다는 것은 분명하다. 급수에서 많은 항을 빼더라도 여전히 그 급수는 발산한다. 사람들을 놀라게 하는 것은, 오일러가 모든 소수의 역수 합이 발산한다는 것도 증명했다는 것이다. - P125

유사한 것으로 소수 역수의 합과 Inn N 사이의 차이를 또 다른 상수로 이끌어낼 수 있는데 ‘메셀-메르텐스 상수 Meissel-Mertens constant‘이다. - P126

완벽한 입방체는 존재하는가?

지구상에 완벽한 입방체는 존재하는가? 여기서 완벽한 입방체는 정육면체가 아니고 특별한 성질을 가지는 입체도형이다. - P86

1719년 폴 하코 Paul Harko의 회계사는 세수 44, 117, 240을 발견했다. 세수 중에 두 수의 제곱 합을 구하면 결과는 여전히 완전제곱수이다.

44²+117²=125²
117²+240²=267²
240²+44²-244² - P87

이것은 오일러가 연구한 것이므로 후대 사람들이 이런종류의 수 조합을 ‘오일러 큐브 Buler Cuboid‘라고 불렀다. 오일러와 거의 동시대에 살았던 니콜라스 손더슨 Nicholas Saunderson은 간단한 한 세트를 발견했는데 피타고라스 수의 매개변수 유도공식에 기인한 것이다. - P88

그런데 여기서 흥미로운 것은 완전 의외의 결론으로 오일러와 손더슨 공식이 모든 오일러 큐브를 포함하지는 않는다. 아무래도 오일러 큐브가 그물을 다 빠져나가버린 것 같다. 게다가 근원 오일러큐브(세수가 서로소인 것)도 많지 않다. 1000 이내에 5개 세트가 있을 뿐이다. 10000 이내에도 19개 세트이니 이것은 오일러큐브가 그렇게 단순한 것이 아니라는 것을 보여준다. - P88

다음은 이미 알려진 ‘근원 오일러 큐브‘의 성질이다.

• 반드시 한 변은 홀수, 2개의 변은 짝수이다.
• 적어도 두 변은 3으로 나누어떨어진다.
• 적어도 두 변은 4로 나누어떨어진다.
• 적어도 한 변은 11로 나누어떨어진다.
• 임의의 근원 오일러 큐브 (a, b, c)는 확장된 오일러 큐브 (ab, ac, bc)를 만든다. - P88

Let‘s play with MATH together

001. 오일러 또는 손더슨의 공식을 이용하여 근원 오일러 큐브를 하나찾아보자.

002 방정식 z²+y²=z³은 자연수 해를 가질까? 만약 가진다면, 매개변수해가 존재할까? (단, x, y, z는 서로소이다.) - P92

‘패리스-해링턴정리‘부터
‘불가증명성‘의 증명에 이르기까지


‘패리스해링턴정리 Paris-Harrington theorem‘의 주요 내용은 증명이 불가능한 명제 즉, ‘불가증명성unprovability‘과 관련 있다. - P282

 여기서 간단히 복습을 해보자. 괴델의 제1종불완전성원리는 ‘어떤 페아노산을 포함하는 공리화가 가능한 이론은 모두 불완전하다‘는 것으로 여기서 불완전은 이 공리계 안에 증명할 수 없는 명제가 존재한다는 것을 의미한다.  - P282

(전략). 이 공리에 의해 ‘일계산술체계‘,
즉, ‘페아노 산술체계‘를 세울 수 있었고 그것은 대수영역에서 유클리드 공리와 같은 역할을 했다. - P283

페아노 산술체계에서 괴델의 제1종 불완전성정리를 말하자면, 분명히 증명될 수 없는 명제가 있다. 재미있는 것은 괴델이 찾은 제1종불완전성 명제에 부합하는 것이 바로 ‘연속체가설‘과 ‘선택‘라는것이다. 그것들은 페아노 산술체계에 따른 것이 아니고 집합론의 명제에 속하는 것이다. 이 2가지는 근본적으로 자연수와 상관없이 ZFC집합론공리를 이용하여 표현이 가능해진 것이다. - P283

패리스-해링턴정리를 해석하기 위해서는 램지이론 Ramsey‘s theory에대한 간단한 이해가 필요하다. 램지이론은 바로 그래프이론에서 배열조합문제 중 하나로, 그중에서도 기본정리를 램지이론이라고 부른다. - P284

당신은 어쩌면 램지수가 굉장히 간단하다고 여길 수 있다. 기껏해야 컴퓨터를 이용해서 일일이 세기만 하면 된다고 여길 수 있지만 이것은 완전히 틀린 생각이다. 예로, R(4,4)=18은 그렇게 말할 수 있다. 만약 17명이라면 어떤 조건하에서 어떤 4명은 서로 알거나 또는서로 모르는 경우는 존재하지 않는다. - P285

에어디쉬는 이런 농담을 한 적이 있다. 외계인이 지구에 떨어져 인류를 위협하며 R(5, 5)의 정확한 수를 요구하며 이 수를 내놓지 않으면 지구를 없애버리겠다고 한다. 그러면 지구의 모든 ‘계산력‘을 모아 답을 내기 위해 안간힘을  쓸 것이고 해볼만하다. - P285

이리하여 강한 유한 램지정리는 매개변수 3개 (i, j, k)를 가진다. 마지막으로 수학적인 언어로 표현하자면, 0부터 n-1까지 n개의 자연수로 구성된 집합에서 각 i개 원소의 조합은 가지 색을 사용한다. 그가운데에서 고른 적어도 k개 원소의 부분집합은 그중 임의의 개원소의 색은 모두 같다는 결과를 낳는다. 게다가 당신이 고른 원소의개수는 최소 k개를 제외하고, 이 부분집합에서 가장 작은 자연수보다 크거나 같아야 한다. - P288

(전략).
이것이 바로 ‘강화된 유한 램지정리‘이다. 의미는 임의의 (i, j, k)조합에 대해, 최소 정수 R이 존재하기만 하면, 이 R개 정수 내에서 어떻게 색칠하든 상관없이 앞의 조건에 부합하는 하나의 부분집합을 찾을 수 있다. - P289

‘강화된 유한 램지정리‘에 대한 강의는 끝났다. ‘패리스-해링턴‘정리를 간단히 말하면 페아노 산술공리를 이용하여 ‘강화된 유한 램지정리‘를 증명할 방법이 없다.‘라는 것이다.
‘아, 어떻게 해야 할까?‘ 왠지 이런 반응을 나타냈을 것 같다. 이 정리는 배열조합 문제로 보이기 때문에 어떤 신비한 것도 없어 보이는데 왜 증명할 수 없을까?
- P289

1977년에 패리스와 해링턴 두 수학자는 "만약 페아노 산술체계를 이용하여 ‘강화된 유한 램지정리‘를 증명할 수 있다면, 페아노 산술체계는 바로 ‘일치‘라는 것도 증명할 수 있다."라는 것을 증명했다. 그런데 우리는 이미 페아노 산술체계가 일치임을 알고 있기 때문에자신이 일치임을 보일 수 없고 그래서 모순이 생기는 것을 확인할 수있다. 그래서 페아노 산술공리체계에서 ‘강화된 유한 램지정리‘는 증명될 수 없다는 추론만 가능하다. - P290

(전략).
여기까지 내용에서 ‘페아노 산술체계는 자신의 일치성을 증명할 수 없게 되었으니, 그러면 앞의 ‘이미 알려진 페아노 체계는 일치한다‘는 것은 무슨 근거로 말한 것인가?"라며 의문을 가질 수 있다. - P290

그렇다면 강화된 유한 램지정리가 증명될 수 없는 것이 되었는데도 왜 연속체가설처럼 쓰지 않고 ‘정리‘라고 부르는 걸까, 그것은 ‘가설‘ 아닌가?
이 문제는 앞의 문제와 좀 닮았는데 이미 증명되었다. 단지 페아노 산술체계보다 더 강한 ‘이계 논리체계‘를 사용한 증명이라는 것, 그리고 페아노 산술체계는 ‘일계 논리‘와 유사하게 삼계논리, 사계논리 등도 있다는 것이다 - P291

패리스해링턴 정리를 제외하고, 사람들은 계속해서 수많은 증명되지 않는 명제를 발견했다. 또한 범위는 정수론, 위상기하학, 해석학, 측도이론 등의 영역 등에 이른다.
수학에서 ‘증명될 수 없는 명제‘는 하나의 보편적 현상이고, 고립되어 존재하는 것이 아니라고 말할 수 있다. 또한 증명과정도 패리스-해링턴정리와 매우 닮았다. - P292

은근히 평균이 아니다_
벤포드법칙부터 두 개의 편지봉투 역설까지


(전략). 당신은 그런 숫자들이 임의로 구성되었다거나, 서로 상관이 없다는 것을 생각하며 어떻게 규칙이있을 수 있냐고 반문할지도 모른다. 그러나 1938년 미국의 전기공정사 벤포드는 생활 속에서 만나는 이런 숫자들에 분포규칙이 있다는것을 발견한다. 이를 ‘벤포드법칙‘이라고 부른다. - P137

(전략). 그러나 벤포드는 이런 숫자에서 1로 시작하는 수가 30%에 이를 정도로 제일 많고, 이후 숫자들은 점점 감소하는데 9로시작하는 비율은 4.5%에 불과하다는 것을 발견한다. 좀 뜻밖이지 않은가? 이 숫자의 분포규칙은 이후에 ‘벤포드법칙‘이라고 부른다. - P138

나는 많은 해석을 보았는데 결국 주된 것은 2가지로 정리되었다.
(중략).
또 다른 하나의 요소는 사람들이 임의의 변량에 대해서 균등분포를 따른다고 생각하는 경향이 있다는 것이다. 예를 들면 임의로 취한 통계숫자－하류의 길이라든지, 구역인구 등-가 매우 그럴 듯하게들리겠지만 좀 더 생각해보면 균등분포라기보다는 정규분포이다. 하지만 사람의 직관은 항상 이런 변량들이 균등분포라고 먼저 생각된다는 것이다. - P139

[두 개의 편지봉투 역설]

당신에게 주어진 두 개의 편지봉투 봉투 안에는 실이 들어있는데 하나는 다른 하나에 들어있는 실 길이의 2배이다. 당신은 먼저 마음에 드는 봉투 하나를 선택한다. 그리고 그 안에 들어있는 실을 가져가면 된다. 그러나 봉투를 열기 전에 단 한 번! 봉투를 바꿀 수 있는 기회가 있다. 당신은 항상 더 긴 실을 가지길 원한다. 바꾸는 게 좋을까? - P139

(전략).
이 결과만 본다면 내가 가진 실의 길이가 2이므로 무조건 봉투를 바꾸는 게 낫지 않을까?
당신은 벌써 ‘아니다‘라고 대답했는가? 만약 봉투를 바꾼다 해도같은 계산방법으로 무조건 바꾸는 게 낫다. - P140

도대체 어디에 문제가 있는 것일까? 많은 해석이 있지만 이런 해석들은 너무 복잡하다. 사실 결론은 당신이 기댓값을 계산할 때 임의변량에 대해 범위를 구하는 것과 균등분포라고 가정하는, 자각하지못하는 오류가 있다는 것이다. - P141

벤포드의 법칙은 균등분포는 아니다. 그렇다면 그것은 어떤 분포를 가질까? 또한 이런 상황은 왜 생기는 걸까? 왜 정규분포가 되지않는 걸까? - P142

위의 데이터에서 공식이 예언하는 수치는 매우 적중한다. 벤포드법칙은 ‘척도불변성‘이라고 부르기도 하는데, 즉 같은 지표도 다른 진법으로 나타낼 수 있다. - P144

1995년 오스트리아 심리학자이자 통계학자인 안톤 포먼 Anton Foreman은 설득력 있는 해석을 내놓았다. 그는 지능지수, 사람의 키 등의 정규분포 데이터는 벤포드의 법칙에 부합하지 않지만 두 개의 정규분포 데이터를 혼합하면 벤포드의 법칙이 확인된다는 것이다.  - P144

제일 어려운 해석은 수학물리와 관련된 상수이다. 나는 벤포드가 통계 낸 104개에 대한 분석을 보았는데 벤포드법칙에 절대 어울리지않았다. - P146