난해한 수학 분야가 세상을 이전과는 완전히 다르게 변...

난해한 수학 분야가 세상을 이전과는 완전히 다르게 변화시킨 것은 역사에서 아주 흥미로운 사건이다. 원래는 형태에 관한 이론에 불과했던 미적분학이 어떻게 인류의 문명을 환골탈태에 가깝게 바꾸어놓았을까? - P11

그 이유는 아무도 모르지만, 우주는 매우 수학적이다.* 어쩌면 신이 그렇게 만들었는지도 모른다. 혹은 우리가 존재할 수 있는 우주는이런 우주 외에는 선택지가 없을 수도 있는데, 비수학적 우주에는 이런 질문을 던질 만한 지적 생명체가 존재할 수 없기 때문이다. - P12

12쪽

 20" Wouk, The Language God Talks, 5.
우주는 매우 수학적이다 물리학적 관점은 Barrow and Tipler, AnthropicCosmological Principle; Rees, Just Six Numbers; Davies, The GoldilocksEnigma; Livio, Is God a mathematician?; Tegmark, Our Mathematical Universe;그리고 Carroll, The Big Picture를 참고하라. 철학적 관점은 Simon Friederich,
"Fine-Tuning," Stanford Encyclopedia of Philosophy, https://plato.stanford.edu/archives/spr2018/entries/fine-tuning/2. - P489

이 우주의 비밀을 맨 처음 알아챈 사람은 아이작 뉴턴이었다. 뉴턴은 몇 개의 미분방정식만으로 행성들의 궤도, 조수의 리듬, 포탄의 궤적을 모두 다 기술하고 설명하고 예측할 수 있다는 사실을 발견했다. - P12

미분방정식은 무엇이고, 뉴턴의 시대뿐만 아니라 우리가사는 시대에 이르기까지 미분방정식이 세상을 위해 한 일은 어떤 것들이 있을까? 마지막으로, 고등 수학의 배경 지식이 거의 없지만 매우 사려 깊고 호기심 많고 박식하며, 허먼 워크처럼 선의를 가진 독자들에게 어떻게 하면 이 이야기들과 개념들을 즐겁게 그리고 알기 쉽게 전달할 수 있을까? - P14

나는 미적분학의 위대한 개념과 이야기를 모든 사람에게 쉽게 이해시키려는 의도로 이 책을 썼다. 인류의 역사에서 일어난 이 위업을배우기 위해 허먼 워크가 했던 것과 같은 힘겨운 노력을 감내해야 할 필요까지는 없다. - P15

미적분학의 관점에서 바라본 세계

이제 여러분도 눈치챘겠지만, 나는 미적분학에 관한 이야기와 미적분학의 중요성을 응용수학자의 관점에서 서술할 것이다. 수학사를 연구하는 사람은 이와 다르게 서술할 것이고,* 순수수학자 역시 그럴 것이다. - P15

15쪽 이와 다르게 서술할 것이고

 역사적 관점에서 다룬 것은 Boyer, The History ofthe Calculus Grattan-Guinness, From the Calculus. Dunham, The CalculusGallery를 참고하라. Simmons, Calculus Gems는 가장 아름다운 문제들과 그 풀이들을 소개하며묘ㅓ 미적분학 이야기를 들려준다. - P489

응용수학자가 되려면,* 바깥의 현실 세계를 바라보아야 하고, 지적으로 문란해져야 한다. 응용수학자의 눈에는 수학이 순수하고 불가사의하게 봉인된 정리와 증명의 세계*로 보이지 않는다. - P16

16쪽

 응용수학자가 되려면

 Stewart, In Pursuit of the Unknown; Higham et al.,
The Princeton Companion; 그리고 Goriely, Applied Mathematics는 응용수학의 정신과 범위와 활력을 잘 전달한다.


순수하고 불가사의하게 봉인된 정리와 증명의 세계

 Kline, Mathematics inWestern Culture와 Newman, The World of Mathematics는 수학을 더 넓은 문화와연결지어 바라본다. 나는 고등학교 시절에 이 두 권의 대작을 읽느라 많은 시간을 보냈다. - P490

미적분학에 대해서도 똑같이 말할 수 있다. 1860년대에 스코틀랜드의 수리물리학자 제임스 클러크 맥스웰은 전기와 자기에 관한 실험적 법칙을 미적분학의 위 속으로 집어넣을 수 있는 기호 형태로 탈바꿈시켰다.  - P17

터무니없이 효율적인

두 영역이 서로 얼마나 다른가를 감안하면, 미적분학이 자연을 너무나도 잘 모방한다는 사실은 매우 기괴해 보인다. 미적분학은 기호와논리로 이루어진 상상의 영역인 반면, 자연은 힘과 현상으로 이루어진 현실 영역이다. - P20

그런데 왜 우주는 미천한 우리 인간이 사용할 수 있는 종류의 논리는 아니라 하더라도 어떤 종류의 논리가 작용하는 방식을 존중하며 따를까? - P20

(전략)
이러한 경외감은 수학사에서 훨씬 이전으로 거슬러 올라간다. 전설에 따르면, 피타고라스*는 기원전 550년경에 제자들과 함께 음악이정수비에 좌우된다는 사실을 발견했을 때 경외감을 느꼈다고 한다. 예를 들어 기타 현을 뜯는 장면을 상상해보라. - P21

21쪽

피타고라스

 Asimov, Asimov‘s Biographical Encyclopedia, 4~5; Burkert,
Lore and Science; Guthrie, Pythagorean Sourcebook; 12 C. Huffman,
"Pythagoras," https://plato.stanford.edu/archives/sum2014/entries/pythagoras/.
Martinez는 Cult of Pythagoras와 Science Secrets에서 재미있는 유머를 섞어가며피타고라스에 관한 전설 중 많은 것이 허위임을 밝힌다. - P490

무한의 원리

우리가 가야 할 목적지가 어디인지 이해하는 데 도움을 주기 위해 먼저 미적분학이 무엇이고, 미적분학이 원하는(은유적으로 말한다면) 것은 무엇이며, 미적분학은 나머지 수학 분야들과 어떤 차이가 있는지를 개략적으로 소개하려고 한다. - P22

안타깝게도 대부분의 미적분학 강의는 공식과 절차와 계산 기술을 눈사태처럼 쏟아내면서 그 밑에 주제를 묻어버린다. 생각해보니,
그 주제는 미적분학 문화의 일부이고 모든 전문가가 암묵적으로 아는것인데도 불구하고, 나는 어디에서도 그것을 설명하는 것을 본 적이없다. 그것을 무한의 원리 Infinity Principle라고 부르기로 하자. - P22

간단히 말하면, 미적분학은 어려운 문제를 단순하게 만들려고 한다. 미적분학은 단순성에 과도하게 집착한다. - P23

정말로 급진적이고 독특한 미적분학의 비법은, 분할하여 정복 divide-and-rule하는 이 전략을 극단적으로, 즉 ‘무한에 이르기까지‘ 추구하는 데 있다. 큰 문제를 여러 작은 조각으로 쪼개는 대신에, 쪼개고 또 쪼개는 과정을 끝없이 반복하여 문제를 가루처럼 아주 작은 부분들로 쪼개 그런 부분들이 무한히 많이 생긴다. - P23

이 전략은 무한히 쪼개나가는 과정을 상상할 수 있는 상황이라면 어떤 문제에도 사용할 수 있다. 그렇게 무한히 쪼갤 수 있는 대상을 연속체 continuum라 부르고 그런 상태를 연속 continuous 이라고 하는데, 이에 해당하는 영어 단어는 라틴어 con(‘함께‘라는 뜻)과 tenere(‘붙잡다‘란뜻)에서 유래했으며, 그 뜻은 ‘방해받지 않는‘ 또는 ‘함께 붙어 있는‘이란 뜻이다. - P24

이제 마침내 거대한 개념을 이야기할 때가 되었다.


무한의 원리

연속적인 형태나 물체, 운동, 과정, 현상에 대해 어떤 것을 알아내려면, 그것이 (아무리 거칠고 복잡한 것이라 해도) 무한히 연속적으로 이어진 더 단순한 부분들로 이루어져 있다고 상상하고서 부분들을 분석한 뒤, 그 결과들을 합쳐 원래의 전체를 이해하라. - P25

무한 골렘

이 모든 것에서 난관은 무한을 다루어야 한다는 점이다. 이것은 말보다 훨씬 어렵다. - P26

미적분학을 만든 사람들은 이 위험을 알았지만, 무한에 거부할 수없는 매력을 느꼈다. 물론 무한은 가끔 걷잡을 수 없이 날뛰면서 역설과 혼란과 철학적 난장판을 남겼다. - P26

곡선, 운동, 변화


무한의 원리는 방법론적 주제를 중심으로 미적분학 이야기의 체계를 세운다. 하지만 미적분학 이야기는 방법론에 관한 이야기인 동시에 불가사의한 수수께끼에 관한 이야기이기도 하다. 미적분학의 발전을이끈 중요한 수수께끼가 세 가지 있다. 그 세 가지는 곡선의 수수께끼, 운동의 수수께끼, 그리고 변화의 수수께끼이다. - P27

이 모든 것은 곡선의 수수께끼에서 시작되었다. 여기서 나는 ‘곡선curve‘이라는 용어를 아주 느슨한 의미로 사용하는데, 선이나 표면,
입체를 가리지 않고 구부러진 형태는 모두 곡선이라고 부른다. - P28

미적분학은 바로 여기서 시작되었다. 미적분학은 구부러진 형태에 대해 기하학자가 느낀 호기심과 좌절에서 탄생했다. 원과 구와 그밖의 구부러진 형태는 그 시대의 히말라야산맥이었다. 그렇다고 해서이 형태들이 실제적으로 중요한 문제를 제기한 것은 아니었다. - P29

곡선의 수수께끼를 풀기 위한 탐구 과정에서 곡선이 단순히 기하학적 오락거리에 불과한 것이 아님이 분명해지자, 수학자들은 극도로 열광했다. 곡선은 자연의 비밀을 드러내는 열쇠였다. - P30

그러자 과학자들이 두 번째로 크게 집착한 대상이 나타났는데, 지구와 태양계에서 일어나는 운동의 수수께끼가 바로 그것이었다. 관찰과 독창적인 실험을 통해 과학자들은 가장 단순하게 움직이는 물체들에서 감질나는 수의 패턴을 발견했다. - P30

운동이 일정하게 일어나지 않는다는 것이 문제였다. 빗면을 내려오는 공은 계속 속력이 변하고, 태양 주위를 도는 행성은 계속 진행 방향이 바뀌었다. 심지어 행성은 태양 가까이에서는 더 빨리 움직이고,
태양에서 멀어졌을 때에는 천천히 움직였다. 그 양상이 계속 변하는 운동을 제대로 다루는 법칙은 알려진 것이 없었다. - P31

미분학은 계속 변하는 운동에서 일어나는 시간과 거리의 무한히 작은 변화뿐만 아니라, 해석기하학에서 나타난 곡선 중의 무한히 짧은 직선 부분을 다루는 데 꼭 필요한 것이었다. 해석기하학은 대수방정식으로 정의되는 곡선을 다루는 분야로, 16세기 전반에 시작되어큰 인기를 끌었다. - P32