고대 그리스의 기하학자 유클리드는 이 숫자들을 찾아내는 영리한 방법을 고안했다. 먼저 2개의 서로 다른 정수 p, q를 고르고 p가 더 큰 수라고 하자. 다음과 같은 관계가 성립되는 A, B 그리고 C를 찾자.
A=p²-q²
B=2pq
C=p²+q² - P13
원뿔곡선은 자연스러운 환경에서 불쑥 나타나는경우가 많아 벽이나 손전등과 관련이 없을 것 같지만놀랄 만한 기하학적인 특징을 공유한다. 연기나 먼지가뿌옇게 낀 곳에서 손전등을 비춰 보면 실제로 3차원 원뿔 모양의 빛을 지속적으로 내뿜기 때문이다. 2차원적인 모양이 바뀌는 것처럼 보이는 이유는 단지 벽이 이원뿔을 잘라내는 각도가 바뀌기 때문이다. - P16
앞에서 제시한 방정식을 이용해 이 곡선을 나타내려면, 먼저 A, B, C, D, E, F값이 정해져야 한다. - P17
우리가 대입하는 점들은 대부분 방정식에 들어맞지 않을 것이다. 방정식의 왼쪽 변을 전부 계산했을 때 0 이외의 값이 나오면 그 점은 그 곡선 위에 있지 않다. 이제 방정식을 0으로 만드는 점들만 골라서 표시를 한다고 상상해보자. - P17
사실 그 밖에도 두 가지 가능성이 더 남아 있다. 방정식의 고정된 수를 신중하게 잘 고르면 서로 교차하는 2개의 직선이 나오거나 단 하나의 점이 나올 수 있다. - P17
이 방정식은 왜 중요할까?
미분이 중요한 이유는 간단하다. 미분은 공간에서 어떤 물체의 움직임을 속도로 바꿀 수 있다. 또 속도가 변한다면 가속도를 얻을 수도 있다.
몇 가지 단순한 규칙을 사용해 이 답을 얻을 수 있다. 가장 중요한 사실은 분수처럼 생긴 dh/dt 라는 기호가 대략 시간이 아주 조금 변했을 때 변화하는 높이의 정도를 나타낸다는 점이다. 조금 더 익숙한 표현으로 바꾸면 ‘어떤 순간에 공이 얼마나 빠르게 떨어지는지‘를 나타낸다. - P27
이렇게 물리적으로 단순한 식에 다시 3차 미분을 할 수도 있다. 일반적으로 가속도의 변화율을 ‘저크(jerk)‘라고 부르는데 경험했을 때 그렇게 기분 좋은 대상은 아니다. 떨어지는 공은 지면에 닿기 전까지 저크가 0이다. 가속도가 일정하게 바뀌지 않는다고 했으니(시간 변수인 에 의존하지 않는다), 그 변화율은 당연히 0이다! - P27
더 자세하게 알아보자
미적분이 등장하는 데는 오랜 시간이 필요했다. 물론미적분의 기초 아이디어가 수천 년 동안 여기저기 존재하기는 했지만 그것들을 한데 묶어 정리한 사람들은 17세기의 과학자들이었다. - P28
미적분학이 풀고자 했던 문제가 어려운 이유는 연속변이를 포함하고 있었기 때문이다. 결국 미적분학이성공을 거둘 수 있었던 것은 계속해서 가다듬으며 정답에 가까이 갔고, 가다듬는 과정에서 우리가 얻으려는 정답인 극한값에 다다를 수 있어서였다(18쪽. ‘제논의 이분법‘ 참고). - P28
이렇듯 미적분학의 기본 정리는 변화율에서 다시 대상으로 옮겨가는 힘을 준다. 하지만 넓게 바라보면 이 정리는 훨씬 더많은 의미를 가진다. 미적분학의 근본적인 무언가를 제대로 포착하기 때문이다. 이 정리를 좀 더 현대적인 형태로 바꾼 것이 스토크스 정리다. - P29
어떤 내용일까?
여러분은 아마 유명한 ‘공공 서비스 문제에 대해 들어봤을지도 모른다. 3채의 집에 세 가지 공공 서비스(수도, 가스, 전기)를 설치할 때 공급선이 서로 겹치지 않게 배열하는 문제다. 아이들에게 흔히 주어지는 퍼즐이지만 사실은 풀리지 않는 문제다. - P44
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공공 서비스 문제는 수학자들이 ‘그래프‘라 부르는 대상과 관련된다. 그래프는 ‘모서리‘라 불리는 선들이 모여
‘꼭짓점‘이라 불리는 점들을 이루는 체계다. - P44
종이 한 장(수학의 평면과 마찬가지로 편평한)에그릴 수 있으면 그것을 평면 그래프라고 부른다. 이때평면 그래프의 모서리는 서로 겹치지 않는다. 그래프는 페이지를 여러 영역으로 나누는데 모서리로 둘러싸인 영역 각각 ‘면‘이라 부른다. 평면 그래프가 가진 꼭짓점과 모서리, 면의 개수 사이에 어떤 관계가 있다는 사실은 확실해 보인다. - P45
여러분에게 색칠을 해야 할 복잡한 지도 한 장이 주어졌다고 해보자. 색은 몇 가지나 필요할까? 이 문제는 무엇을 묻는지 이해하기 쉽고, 문제를 그래프로 옮겨놓기도 그렇게 어렵지 않다. - P45
마침내 1976년이 되어서야 일리노이 대학교의 케네스 아펠 (Kenneth Appel)과 볼프강 하켄 (WolfgangHaken)이 컴퓨터로 엄청난 양의 수를 처리해가며 이문제를 증명했다. 하지만 이들이 사용한 방식은 아직까지도 논쟁의 대상이다. 사람의 힘으로는 그 과정이 맞는지 틀린지 확인할 수 없기 때문이다. - P45
어떤 내용일까?
털투성이 공의 정리에 따르면 지표면에는 바람이 불지않는 장소가 언제나 존재한다. 우리는 지도 위의 어떤지점에 작은 화살표를 붙여 바람의 속도와 방향을 표시할 수 있다. - P46
여러분은 바람이 불지 않는 지역이 존재한다는 사실을 받아들이기 힘들 것이다. 아무리 그런 지역에 바람을 일으킨다 해도 이렇듯 바람이 불지 않는 지역은지구 어딘가에 나타난다. 이런 현상은 기후 체계의 움직임과는 상관이 없으며 기본적인 기하학적 사실에서 비롯한다. - P46
이 방정식은 왜 중요할까?
온몸이 완전히 털에 뒤덮인 둥그런 모양의 고양이를 상상해보자. 털투성이 공의 정리에 따르면 아무리 고양이에게 빗질을 해줘도 어딘가에는 털이 뭉친 부분이 반드시 생길 것이다. 이런 사실이 당장은 쓸모 있게 들리지않을 것이다. - P46
하지만 털투성이 공의 정리는 꽤 여러 분야에 적용된다. 이 정리는 공기(또는 물 같은 다른 유체)가 어떤 표면 위를 계속해서 흐르는 방식을 무한정하게 늘리는 대신 한계를 지운다. 또한 여러분이 공을 아주 복잡하게 빙글빙글 돌린다 해도 맨 처음에 어디서 움직이기시작했는지 정확하게 알 수 있다. - P47
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네덜란드의 수학자이자 철학자인 L. E. J. 브라우버르(L. E. J. Brouwer)가 1912년에 처음 털투성이 공의 정리를 증명했다. 브라우버르에 앞서 프랑스의 앙리 푸앵카레(Henri Poincaré)가 이미 짧게 증명한 적이 있다는 주장도 있다. - P47
네덜란드의 물리학자 헨드릭 로런츠(Hendrik Lorentz)와 푸앵카레의 공동 연구는 특수상대성이론의 개발에 큰 역할을 했다. 이에 비하면 브라우버르는 철학자로서나 수학자로서 그렇게 실용적인 업적을 내지는 못했고 심지어 신비주의자 같은 면모도 보였다. 수학 분야에서는 큰 영향을 미쳤지만 말이다. - P47
벡터는 조그만 화살표로 표시할 수 있다. 벡터의 주요 특징은 화살표의 길이와 화살표가 가리키는 방향이다. 영벡터는 ‘길이가 0인 화살표‘를 말한다. - P48
어떤 평면 위의 벡터장은 모든 점에 이런 화살표가붙어 있다. 이 화살표들은 틈도 없이 빽빽하게 붙어 있다. 물리학자들은 전자기장이나 중력장뿐만 아니라 공기나 물 같은 유체의 흐름 등 여러 현상을 모형화할 때 벡터장을 활용한다. - P48
벡터장의 화살표들이 갑자기 뛰어올라도 방향이나크기가 바뀌지 않는다면 그 벡터장은 연속적이다. 방향이나 크기가 바뀐다 해도 가까이 확대해서 보면 빠르지만 매끄러운 변화가 진행된다. - P48
접벡터장에 대해서는 많이 설명했으니, 위상 2-구면을 알아보자. 여러분은 머릿속에 풍선 비슷한 모양을 떠올리면 된다. 그 풍선은 신축성이 좋은 고무 재질로 만들어져 늘렸다. 쭈그러뜨렸다. 비틀었다 하는 식으로 마음껏 모양을 바꿀 수 있다. - P48
. 대략적으로 말하면 ‘차원‘ 자체가 그런 성질을 가진다. 어떤 공간 위의 점을 찾아가는 데 좌표가 많이 필요할수록 그 공간은 더 높은 차원이다(10쪽, ‘피타고라스 정리‘ 참고). ‘털투성이 공의 정리는 2차원인 평면 위에서성립하는 진술이며, 1차원인 선이나 3차원인 부피에 대한 정리가 아니다. - P49
위상학자들은 ‘구면‘이라는 단어를 어떤 유한한 수의 차원도 허용하게끔 특별한 의미로 사용한다. 털투성이 공의 정리는 차원의 수가 바뀌면 언제나 참이 아니다. 예를 들어 ‘위상 1-구면‘은 평범한 원이며, 영벡터를 갖지 않는 이 원에서 벡터장을 찾는 것은 쉬운 일이다. - P49
한편 푸앵카레-호프 지수 정리에 따르면 짝수 차원의 모든 구면에서는 털투성이 공정리의 변형이 참이다. - P49
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