흥미로운 숫자 163
숫자 ‘163‘의 첫인상은 어떤가? 163이라는 숫자는 수학에서 특별한 성질을 가지고 있다. - P110
이 결론과 직결되는 문제를 ‘가우스류수 문제Ganssclass number problem‘라고 하는데, 이 문제의 역사는 매우 길다(아래 소개에서는 많은 문제의 세부 사항이 복잡하여 일일이 자세히 설명하지 못하므로 주요 맥락에 주목해서 보길 바란다). - P110
이후 가우스는 위와 같은 문제의 일반화 문제를 고려하여 다음 형식으로 표현된 다항식을 어떤 정수로 나타낼 수 있다고 하였다.
ax²+2bzy+cy²(단, a, b, c는 양의 정수)
가우스는 b²-ac의 값이 위 다항식에서 정수의 성질을 결정한다는 것을 발견하고 이를 ‘판별식‘이라고 불렀다. - P111
이런 확대체에서 우리는 먼저 정수를 정의해야 하고 그런 다음 그것의 소인수 분해 문제를 생각할 수 있다. 이런 체field에서 정수를 ‘대수적 정수algerbraic interger‘라고 하며, 이것은 반드시x²+bx+c(단, b, c는 정수)의 근이 된다. - P112
가우스가 제시한 추측을 현대적으로 표현하면 다음과 같다.
D>0일 때, h(D) = 1인 D 가 무수히 많이 존재한다.
이 추측은 현재 ‘실수 이차 수체에서 류수 1인 문제‘라고 불리는디, B>0일때 체에서 원소는 실수이기 때문이다. - P114
D<0일 때 D는 음의 무한대로 h(D)의 값은 무한히 큰 값으로 가는 경향이 있다. 이 문제는 D <0일 때 정의역에 허수가 포함되기 때문에 ‘복소 이차 수체에서 류수 문제‘라고 한다. 이 추측도 지금까지 완전히 증명되지 않았다. - P115
(전략), 현재는 ‘에리히 헤커-모델-하일브론 정리‘라고 불린다. 이것은 아마도 수학 증명서유례가 없는 경우인데, 증명 방식은 다음과 같다.
A가 성립하면 B가 성립하고, A가 성립하지 않더라도 B는 성립한다. 따라서 B는 항상 성립하지만, 우리는 A가 성립하는지 아닌지를 모른다. - P116
14년이 흐른 1967년 영국의 앨런 베이커Alan Baker와 미국의 제롤드 스타크 Harold Stark는 류수 1인 문제를 완전하게 증명하였다.
그들은 10번째 정수가 존재하지 않는다는 것을 증명하고, 수학자들의 평가를 통과하였다. 두 사람은 이후 필즈상을 받았다. - P117
1969년 헤그너가 죽은 지 4년이 지난 후, 사람들은 그를 기리기 위해 류수 1인 문제의 증명을 ‘스타크-헤그너 정리‘라고 불렀으며, 허수 이차 수체에서 유일 인수분해되는 9개 (절댓값을 취한)수를 ‘헤그너 수Heegner number‘라고 명명하였다.
1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 - P117
이에 비해 실수체에서의 류수 문제 연구는 더디다. 현재 h(D)=1이 되도록 하는 무수히 많은 양의 정수 D가 존재하는지의 여부는 알려져 있지 않다. 물론 삼차체, 사차체에서 류수 문제등 수론 영역은 실로 헤아릴 수 없을 정도로 깊다. - P119
매듭을 수학적으로 연구하는 법
수학의 연구 대상은 무궁무진하다. 수학으로 ‘매듭을 연구할수 있을지 생각해 본 적이 있는가? - P204
끈 하나로 만들 수 있는 고리의 가장 간단한 형상은 당연히 원형이며, 이것은 가장 간단한 매듭의 일종이라고 생각할 수 있다.
이런 모양을 ‘원형 매듭이라고 부른다. - P208
"매듭의 형태가 주어질 때, 그것이 자명한 원형 매듭인지 아닌지를 어떻게 판정할 수 있는가?" 혹은 더 일반적으로 "두 개의 매듭이 주어질 때, 그것이 같은 매듭이라고 어떻게 판정할 수 있는가?"
물론 간단한 매듭에 대해서는 눈대중으로도 판정할 수 있지만,
매우 복잡한 모양에 대해서는 그냥 훑어봐서는 성질을 알아내기 힘들다. - P209
우리는 다양한 변화를 무시하고 우리가 필요로 하는 변화에만 주목해야 한다. 그래서 수학자들은 ‘불변량,
즉 변화하는 대상의 어떤 변하지 않는 속성을 찾으려고 한다. - P209
그렇다면 하나의 매듭에 어떤 불변량이 있는가? 우리가 생각할 수 있는 첫 번째 성질은 교차점 수이다. - P211
매듭 이론 역사상 중대한 연구가 두 차례 진행되었다. 첫 번째는 1928년, 미국 수학자 바델 알렉산더가 ‘알렉산더 다항식‘이라고 하는 매듭 불변량을 제안한 것이다. - P213
1970년대 영국의 수학자 존 H. 콘웨이는 ‘알렉산더 다항식의변형과 또 다른 표현법을 독자적으로 발명했다. 이 다항식은 때때로 ‘알렉산더-콘웨이 다항식‘이라고도 한다. 콘웨이 표기법은 쓰기가 비교적 간단하다. - P213
교차점 부근에 두 개의 붉은 점이 있는데, 두 붉은 점의 오른쪽에 있는 곡선이 다른 곡선의 아래를 지나가고 있음을 나타낸다. 붉은 점은 또한 방향을 나타내는 역할을 하는데, 어떤 교차점 부근에서 항상 두 개의 붉은 점이 왼쪽에 있는 방식으로 교차점을 통과하여 앞으로 나아가는 방향으로 작용한다. 이와 같이 전체 매듭에 대해 방향을 정할 수 있다(위 그림참조). - P214
매듭의 특정 교차점과 다른 영역의 관계를 차례로 조사한다. 만약 어떤 영역이 이 교차점에 인접하지 않는다면, 그 열의 요소는 0이 된다.
만약 인접한다면,
영역이 교차점을 통과하기 전의 왼쪽이다 : -x
영역이 교차점을 통과하기 전의 오른쪽이다:1
영역이 교차점을 통과한 후의 왼쪽이다: x
영역이 교차점을 통과한 후의 오른쪽이다: -1 - P215
다항식 1-x+x²은 세잎매듭의 ‘알렉산더 다항식‘이다. - P217
그러나 알렉산더 다항식에도 결점이 하나 있는데, 작은 수의경우 서로 다른 매듭이 나타내는 알렉산더 다항식이 같을 수 있다는 것이다. 특히 어떤 매듭의 거울에 비친 꼴은 필연적으로 같은 알렉산더 다항식을 갖게 된다. - P217
더 극단적이고 놀라운 예는 자명한 원형 매듭이다. 자명한 원형 매듭의 알렉산더 다항식은 1이지만, 상당히 복잡해 보이는 다른 매듭의 알렉산더 다항식도 대부분 1이다. 이것도 알렉산더 다항식의 단점이다. - P217
하나의 매듭에 자명한 원형 매듭을 더하면 그 결과는 자기 자신이라는 자명한 결론도 있다. 그렇다면 두 개 이상의 비자명한 매듭이 존재하여 두 개를 더한 결과가 자명한 매듭이 될 수 있을까? 매듭 하나에 그것의 거울상을 합하면 서로 상쇄되어 결국
‘고리가 되지 않을까‘라는 추측도 할 수 있다.
답은 좀 의외인데 부정적이다. 1949년에 수학자 슈베르트Schubert는 자명한 매듭 하나에 어떠한 매듭을 더해도 그것을 상쇄할 수 없다는 것을 증명하였다. - P222
답은 소인수분해와 같이 현재 매듭이 소수 매듭인지 또는 매듭으로 분해되는지 여부를 판단할 수 있는간단하고 빠른 알고리즘이 없다. 따라서 어떤 매듭에서 어떻게
‘소수 매듭 분해‘를 할 것인가는 비교적 어려운 문제이다. - P225
정리하자면 알렉산더 다항식과 존스 다항식이 있고, 그것들은 모두 ‘매듭 불변량‘이며, 존스 다항식은 또한 물리에서 양자장론과 관련이 있다. 매듭은 숫자와 같아서 덧셈과 분해 조작을 할 수 있는데, 여기서 많은성질은 정수의 소인수분해와 매우 유사하다. 매듭 이론의 기원은 매우 간단하다. - P225
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