532. "기하학적 직선은, 아무리 멀리 연장되더라도, 공통인 점이 두개 있는 다른 직선과 모든 위치에서 일치한다."
따라서 이 정의의 필연적 결과로서, 두 직선은 공간을 둘러싸지 못하고,
그렇지 않으면 서로 일치하지 않는 두 직선은 두 개의 공점을 가질 것이다.
또한 두 직선이 공통의 선분을 가질 수 없다는 것도 같은 정의의 필연적결과이다. 왜냐하면, 그들이 공통으로 한 부분이나 선분을 가지고 있다면,
공통인 두 개의 점을 가질 것이고, 따라서 그 모든 범위에서 일치해야 하기때문이다. 직선의 이 두 가지 특성은 직선에 대한 정의의 필연적 결과지만,
서로에 대한 필연적 결과는 아니다.
추가 조건으로, 공통인 두 점을 가진 직선들은 모든 위치에서 일치해야한다는 것을 더했다. 다시 말해서, 그 점들 둘레를 어떠한 각만큼 회전하려는 경우, 그들은 계속해서 서로 일치하여야 한다는 것이다. 그렇지 않으면,
두 공점을 지나는, 동일한 중심을 가진 원들의 두 개의 호는 그 전체 범위에걸쳐 일치할 것이고, 따라서 직선의 정의에 의해 부과된 조건을 충족시키는것처럼 보일 것이다. 그러나 만약 우리가 그중 하나가 그 점들을 축으로하여 회전한다면, 원의 중심이 같은 면에 있고, 그것들이 같은 평면에 있을때, 한 위치에서만 만난다는 것을 알게 될 것이다. - P441
534. "평면은 어떤 두 개의 점을 취하더라도, 그것들을 연결하고 직선에 있는 임의의 점이, 아무리 멀리 나아가더라도 마찬가지로 그 면에있는 것이다."
그러므로 평면의 특성은 직선의 특성에 따라 결정된다. - P442
539. 그러나 선, 각 또는 도형의 그러한 실제적인 적용은 어떤 가설이나 가정에 기초하지 않는 한 일어날 수 없다는 것이 분명하다. 첫째는 기하학적 점이 결정될 수 있고, 둘째, 기하학적 직선을 한 점에서 다른 점으로마음대로 그릴 수 있으며, 셋째, 기하학적 선이나 도형이 물리적 또는 실제선이나 면과 같이, 공간의 한 점으로부터 다른 점까지 이동될 수 있어서, 그들의 일치나 불일치를 확인하기 위해 서로에 대한 중첩을 인정한다는 가설과 가정이다. - P443
이른바 적절하게 말하는 실용 기하학은 우리가 방금 고려했던 도형의가설적인 구성에 기초할 것이며, 동일한 제한을 받을 것이다. 어떤 물리적선도 본질적 특성상 기하학적 선에 근접할 수 없으며, 어떠한 물리적 도형도 해당 기하학적 도형에 근접할 수 없다. 그러나 그러한 물리적 선과 도형의 속성은 해당 기하학적 선과 도형의 속성에 점점 더 가까워질 것이며, 기본적인 실제 연산의 정확도와 불변성은 더 커질 것이다. - P444
542. 어떤 경우에, 이 정의의 적용은, 두 도형의 일부가 일치하도록만들어질 수 있고, 공리적이든 아니든 다른 명제로부터 추론된 상등의 조건을 만족시킴으로써 초과 또는 결함에 대한 부분의 상등을 유추할 수 있을때, 부분적으로 직접적이고 부분적으로 간접적이다. - P445
553. 한 직선과 같은 면에서 다른 직선으로 만들어진 각들의 합이 두개의 직각과 같으며, 또한 한 개 이상의 직선과 한 공점 둘레로 다른 직선으로 만들어진 모든 각의 합이 네 개의 직각과 같다는 것은, 직각의 앞선정의의 필연적인 결과이다. - P450
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