400. 기하학적 크기는 연속성의 법칙에 따라 약분 가능 여부와 상관없이 동일한 종류의 다른 모든 크기의 비를 정확하게 나타낼 수 있다.
그러나 선분이 상징적으로 사용될 때, 우리는 이러한 목적을 떠맡고 눈에보이는 실제 선분이 그들이 나타내는 양과 서로 동일한 관계를 갖고 있는지 확인할 방법이 없다. - P347
408. "4개의 크기가 비례를 구성하는 경우, 그들은 또한 합의 법칙을 따른다. 즉, 첫째와 둘째의 합이 둘째에 대한 비와, 셋째와 넷째의 합이 넷째에 대한 비가 비례를 구성한다." - P351
411.
"네 개의 크기가 비례를 구성하는 경우, 첫째와 둘째의 합에대한 그들의 차의 비와, 셋째와 넷째의 합에 대한 그들의 차의 비가 비례를 구성한다."
a:b :: c: d이면 다음이 성립한다.
a+b:a-b::c+d:c-d - P352
413. "임의 개수의 크기와 같은 개수의 다른 크기가 있고, 교차 순서에 따라 두 개씩 취한 것이 동일한 비를 가질 경우, 즉, 크기들의 첫 번째 집합에서 첫째의 둘째에 대한 비는 크기들의 두 번째 집합에서 끝에서 둘째가말째에 대한 비와 같다. 그리고 크기들의 첫 번째 집합에서 둘째의 셋째에대한 비는 크기들의 두 번째 집합에서 끝에서 셋째가 끝에서 둘째에 대한비와 같다. 그러면 크기들의 첫 번째 집합에서 첫째의 말째에 대한 비는크기들의 두 번째 집합에서 첫째가 말째에 대한 비와 같다."
a, b, c가 첫 번째, a‘, b‘, c‘이 크기들의 두 번째 집합이라 하자. 그리고 다음이 성립한다고 하자.
a : b:: b‘:c‘ 그리고 b : c:: a‘: b‘
그러면 다음이 성립한다.
a:c = a‘:c‘ - P354
416. "비례 관계에 있는 4개의 크기 a, b, c, d가 있고, 역시 비례 관계에 있는 또 다른 크기 a, b‘, d‘, d‘의 비례가 있는 경우, 다음에 주어지는그들의 상응하는 곱이나 몫도 역시 비례한다." - P355
제12장
단순 근의 일반 이론 그리고 대수의기하로의 응용에 대한 원리 - P359
422. 부호 +와 -를 독립적으로 사용하지 않고, 이로 인해 기호 값이제한되는 산술 대수 체계에서, 근이라는 용어는 일반적인 산술에서의 의미와 엄격히 일치할 것이다. 그것은 (기호적으로 표현될 수는 있지만) 종종 그 액면 단위가 나타내는 바와 같이 곱셈에서 인자로 사용되어 요구되는 수식을 생성하는 산술적 양을 표시한다. - P360
424. 산술 대수에서 기호는 수와 동일하게 포괄적이므로, 수가 나타 낼 수 있는 선의 길이, 넓이 또는 다른 모든 종류의 양을 표현할 수 있다.
그러한 양이 해석할 수 있는 거듭 제곱을 수용하는 모든 경우에, 산술 대수의 이 체계에 속하는 산술 근이라 부를 수 있는 해당근이 있을 것이다.
단 그것들이 나타내는 양은 그렇지 않을 수 있다. - P361
427. 기호 대수 체계에서, 수식 +a²과 a², 또는 a²과-a²은 동일한 양의 상이한 작용을 나타내며, 이는 산술 대수 체계에서 a²으로 똑같이표시할 수 있다. a², +a² 그리고 ㅡa²에 동일하게 속하는 산술 근 a는 1개 뿐이다. 왜냐하면 그것은 거기에 따라 붙는 부호 +와 -로 표시되는특정 작용이 아니라, a²의 크기에만 의존하기 때문이다. 그러나 a²과-a²의 대수 근을 고려할 때, 우리는 그러한 근이 충족해야 하는 조건만을 생각해야 한다. - P362
428. 이 원리에 따라, 우리는 a와-a를 똑같이 a²의 대수 제곱 근으로 간주한다. 왜냐하면 axa = a²이고, 또한 -a x-a=a²이기 때문이다.
다시 말해서 a와 -a는 a²의 제곱 근이 충족해야 할 대수적 조건에 똑같이 대응한다. - P362
442. 이 결론은 매우 중요하며, 근의 이론에서 주목할 만한 많은 결과에 대한 열쇠를 제공할 것이며, 나중에 추론할 기회가 있을 것이다.
그러나 더 진행하기 전에, 부호 +와 -의 해석에 대해 논의할 때, 대수학의기호 규칙의 결과가 필요한 반면에, 거기에 부여하는 해석은 그것들과 본질적인 연관성이 없다는 앞서 언급한 말을 반복하는 것이 적절할 수 있다.
그것들은 모든 경우에서 결과 자체의 추론에 이차적인 연구 주제가 되며, 그것들과 일치하는 경우에만 허용된다. - P374
443. 그러나 기호적 결과와 그 해석 사이에 본질적인 연관성은 존재하지 않지만, 해석 그 자체 사이에는 필요하고 수학적인 연관성은 존재할 수있다. 그 이유는 보다 일반적인 결과의 해석은 그것에 종속된 다른 결과의해석을 포함해야 하기 때문이다. - P374
444. 그러므로 덜 일반적인 경우의 해석이 정확하다고 가정할 때,
그로부터 더 일반적인 경우의 해석으로 넘어가는 것은 오직 추론의 귀납적 과정에 의한 것이며, 하나의 존재는 용어의 수학적 의미에서 다른 것의 존재를 결정하지 않는다. - P374
이제 평면에서 반지름이 AB인원을 설명한다. 원래의 선과 동일한 각 BAC와 BAC를 만드는 반지름AC와 Ac를 그리고, AB를 D에서 자르는 CC를 연결한다. - P392
469. 이렇게 기호적 정의를 해당 기하학적 양과 연결하는 해석 원리를 확립하고, cos x와 sin x의 기호적 정의를 구성하는 것으로 간주될 수있는 기호 방정식이 기하학적 정의의 필연적인 결과라는 것을 보여주었으므로, 우리는 앞으로 목적에 가장 잘 맞도록, 하나 또는 다른 하나를 자유롭게 사용할 수 있을 것이다. 만약 기하학적 정의를 출발점으로 사용한다면,
우리는 그것들을 단지 해당 기호 언어로 덧입힘으로써 그로부터 결과를 기하학적으로 추론해야 한다. - P396
493. 탄젠트와 코탄젠트, 시컨트와 코시컨트 및 버스트 사인이라는 용어는 기하학적 기원을 가질 뿐만 아니라, 그 도입은 원 내부나 주변에 기술된 선의 관계를 나타내거나 결정하는 것과 같이 본질적으로 기하학적인이 학문의 주요 대상에 대한 견해에 기인한다. 그러한 조건에서, 그 선들의관계, 기호적으로 표현되었을 때 그 대수 부호의 변화, 그리고 다른 호들의 합 또는 배수뿐만 아니라 원주의 하위 배수인 호에 해당하는 값의 결정과 관련된 이론들을 조사하는 것은, 그러한 호들의 사인이나 코사인에서 또는 서로와의 관계에서 독립적일 수 있다. - P414
512. 보다 일반적으로 AC와Ac는 그림에 표시된 위치에서 두 개의동일하지 않은 선을 나타내고, 그 위에평행사변형 ACac를 구성해보자. 대각선 A에 직각으로 CD와 d를 그려서 이것을 원래의 선이나 축, 또는 그것과 평행한 것으로 간주한다. - P430
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