374. 비례적이라는 표현은 훨씬 다양하게 사용되지만, 모든 경우에 그것은 명시적이거나 암묵적으로 이해되는 특정 수량 사이의 비례에 대한 주장과 동일하다는 것을 알 수 있다. 그러므로 우리가 돈의 이자가 원금에 비례한다고 말할 때, 단지 매우 함축적인 형태로 다음과 같은 명제를 표현하는 것이다. - P333
376. 다음의 내용보다 더 자주 언급되거나 더 중요한 결과를 가져오는 명제는 없다. "결과는 항상 그 원인에 비례한다." 이 명제는 우리의 현재 논의 주제와 밀접하게 연관되어 있기 때문에, 우리는 그것의 의미와 적용에 대해 설명하고 서술하기 위해 노력할 것이다. - P334
378. 그러나 비례를 구성하는 비는 전환 가능하며, 명제에서 이에 해당하는 항도 마찬가지로 전환되어야 한다. 따라서 우리가 고려하고 있는특정한 경우에서, 힘을 중량에 비례한다고 간주한다면, 중량도 마찬가지로힘에 비례하는 것으로 간주되어야 하므로, 어떤 의미에서든 비례는 이 형태의 변화에 대란 답을 주기 위해 해석될 필요가 있으며, 명제의 조건들 간의 연결에서도 마찬가지로 그에 상응하는 변화가 일어나야 한다. - P334
380. 그러나 명제 조건의 연결이 물리적으로나 수학적으로 필요하지 않은 경우, 우리는 명시적이든 암묵적이든 가설을 통해 필요한 연결을 해야하는데, 이는 정의에 해당한다. 따라서 "노동자가 수행한 작업은 그들의수에 비례한다"라고 말할 때, 우리는 각 개별 노동이 동일한 효과를 가진것이라고 당연하게 생각한다. - P335
381. 하나가 다른 것에 비례한다는 말로 표현되는 원인과 결과의 관계는 "결과는 원인에 따라 변하고, 그 역도 마찬가지다"라는 동등한 문구로더 자주 회자된다. 두 경우 모두 원인과 결과라는 용어에 동등하게 확대된의미를 부여하고, 이들 사이의 연결은 정의나 가설 또는 물리적 세계의 일반 법칙의 관찰로부터 도출된 추론에 의해 필요하게 된다. - P335
의383. 그러므로 우리는 수행된 작업이 고용된 인원의 수와 그들이기 일한 날짜에 따라 함께 변화할 것이라고 말해야 한다. 만약 그 사람들이일하는 날짜 수가 동일하게 유지된다면, m배의 같은 작업이 m배의 같은 인원수로 달성될 것이다. 인원수가 동일하게 유지된다면, n배의 같은 작업이 n배의 작업 일수로 달성될 것이다. - P336
386. 삼의 법칙의 보기로서 제시되는 수많은 문제에서, 정비례든 반비례든, 단순하든 복잡하든, 산술적 적용의 대부분은, 세 개 이상의 이미알고 있는 양과의 관계로부터 하나의 미지수의 값을 결정해야 한다. 이때,
이들 사이에는 우리가 고려해 온 바와 같이, 원인이나 요인 또는 요인들과 결과라는 관계가 존재한다. - P338
389. 비례의 주제는 비즈니스는 물론 공동 생활의 언어에서도 매우 지속적으로 나타나기 때문에, 우리는 그것이 표현되는 매우 다양한 구절을 정확하게 해석하기 위해서뿐만 아니라, 그러한 해석이 우리가 채택한 비례의 일반적 정의와 일치함을 보여주기 위해서도 우리는 그것을 중요하게여겨 왔다. - P341
390. 그러나 비례에 대한 대수학적 정의는 다른 양과 함께 기하학적으로 이해하며, 따라서 우리가 채택할 수 있는 비례의 기하학적 정의가 무엇이든 간에, 그것은 적어도 형식은 아니더라도 그 결과에서 대수학적 정의와 일치해야 한다. 다른 것들처럼 그러한 정의는 단순히 종속 명제 시스템의 기반으로만 간주될 때, 완전히 자의적인 것이지만, 그것이 다른 또 더 일반적인 과학의 정의에서 비롯되는 것들과 불일치하는 결론을 이끌어내도록 구성된다면, 그것은 쓸모없는 것보다 더 나쁠 것이다. - P342
391. 비의 대수학적 정의에 따른 결과 중 가장 즉각적이고 주목할만한 것은 비례의 외항과 내항의 곱이 같다는 것이다. 비교의 대상이 되는 양이 기하학적 직선이라면, 문제의 곱은 이 선들이 각각 인접한 변인직사각형에 해당할 것이고, 그 선들은 그 직사각형들이 서로 동일한 경우,
비례의 항을 적절히 구성할 것이다. - P342
395. 그러나 이 정의는 네 개의 기하학적 크기가 비례를 형성할 때뿐만 아니라, 그렇지 않을 때에도 확인할 수 있다는 것을 보여줄 수 없는 한불완전하다. 이는 그러한 크기가 모든 상황에서 정의가 규정하는 조건을충족하지 않는 비례를 형성하지 않는다는 유사한 결론으로 이어진다. - P344
397. 비례의 기하학적 정의는 기하학에서 고려되는 수량의 고유한 특성뿐만 아니라, 그것들의 관계에 관한 추론들이 스스로 나타내는 형태에도 마찬가지로 적용된다. 일반적으로 대수적 곱셈에 해당하는 배수와 하위배수의 형성을 넘어서는 기하학의 진행은 없고, 대수적 나눗셈에 해당하는그 어느 것도 없다. 그렇게 불릴 수 있는 한, 기하학의 작동과 그것들과 관련되거나 정의에 기반을 둔 추론들은, 그들의 등식에 관한 것이든 부등식에관한 것이든, 또는 비례식의 항을 형성하든 형성하지 않든, 서로 간에 양의비교에 국한된다. - P346
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