209. 수에서 제곱 근을 추출하는 규칙은 대수에서 해당하는 연산에 대한 규칙에 온전히 그 근거를 둔다. 단지 산술 표기법에 적용할 수 있는방법으로 변형될 뿐이다. 이러한 관계를 좀 더 명확히 알아보기 위하여 첫번째로 대수적으로 나타내고 그런 다음 두 번째로 공통적인 산술 형식으로나타내기로 한다. - P208
215. 다음과 같은 이유로 세 제곱 근을 구하고자 하는 수를 일의 자리부터 출발하여 세 자리의 주기로 분리하는 것으로 시작한다. 9를 세제곱하면 729이므로, 모든 숫자, 즉 10보다 작은 수의 세 제곱은 세 자리를 넘을 수 없다. 10 그리고 100보다 작은 모든 10의 배수들에 대한 세 제곱은 끝 부분에 세 개의 영을 갖고, 따라서 여섯 자리를 넘을 수 없다. - P216
첫 번째 숫자의 세제곱을 첫 번째 주기에서 뺀다. 나머지가 있으면 나머지에 두 번째 주기를 붙인다. 이것을 분해될 양이라 한다. 다른 주기는 내려쓸 필요가 없는데 그 이유는 과정을 모두 다 전개하면 그저 영이 첨가 되기때문이다. 그런 다음 근의 첫 번째 숫자를 제곱하고 세 배 한다. 그리고 근의 두 번째 숫자를 결정하기 위하여 이것으로 분해될 양을 나누는데 마지막 두 숫자를 쓰지 않는다. 필요하면 몫은 결손이 될 수 있다. - P216
제9장
순열과 조합의 이론
220. 어떤 양을 나열할 때 서로 다른 순서를 순열이라 한다.
221. 순열이라는 용어는 어떤 저자들에 의해서는 전체 또는 임의 개의 물건에 대한 서로 다른 배열로 제한된다. 반면에 용어 변분은 전체보다는 작은 개수의 물건들에 대한 서로 다른 배열에 적용된다. - P221
259. 이들 연속적인 급수를 구성하는 수들은 1, 2, 3, .... n차원의 다각수라고 불린다. 여기서 임의의 한 차원의 r번째 항은 앞 차원의 r개항의 합과 동일하다. 다음은 1차원부터 8차원까지의 앞 여덟 개의 항을 나열한 표이다. - P246
264. 대중적인 언어로 용어 우연은 본래 또는 파생적으로 매우 다양한 의미를 가지고 있는데, 항상 쉽지는 않고 이 예에서 다른 것과 구별하는데 매우 중요하지도 않다. 우연은 때때로 발생이 불확실한 사건을 의미하는데, 어떤 요인으로 일어나는 것인지 결정된 것 또는 결정할 수 있는 법칙에 의해 발생되는지와는 상관없다. - P250
265. 위에서 나중에 언급한 것과 같은 의미가 수학적 의미로 가장 가깝게 생각되는데, 확률과 같은 동의어로 사용되었다. - P250
(6) 어떤 해의 11월 14일이 금요일이 될 우연은 1/7이다. 왜냐하면 이날은 일곱 개의 연속적인 날들 중의 하나이다. 즉, 일곱 개의 날들 중 하나그리고 단 하루만이 금요일이어야 한다. 이 날은 정해진 날이 될 수 없는데그 이유는 365 또는 366은 7의 배수가 아니기 때문이다. 마찬가지로 서로 다른 그리고 이어지는 해들은 한 주의 다른 요일로부터 시작한다. - P253
제10장
이항 정리와 다항 정리에 대하여
288. (조항 243)에서 이항 식의 곱에 대한 구성 법칙과 조합 이론의결과로서 (x + a)ⁿ 또는 (a + z)ⁿ에 대한 급수의 항들에 대한 구성 법칙을비슷하게 유도하였다. 이때 n은 임의의 자연수이다. 이 법칙의 대수적인표현은 이 임의의 양을 나타낼 때에도 참임을 발견하게 될 것인데, 이것이유명한 이항정리이다. - P273
11) 유한한이라는 용어와 무한한이라는 용어의 의미: 수학 저자들은 종종 무한한 그리고 확정되지 않은이라는 용어를 무분별하게 사용하는데, 언어의 적절성을 고려한다면 이들용어는 서로 구분되어야 한다. 이들은 부정적인 용어들로, 유한한 그리고 확정된 이라는용어들에 각각 반대인 의미로 정의되고 결정되어야 한다.
유한한 수, 유한한 선분, 유한한 공간, 유한한 시간 들은 할당되고 또는 할당 가능한임의 수, 직선, 공간 또는 시간을 나타낸다. 반면에 확정된이라는 용어는 단지 할당되고 결정된 양들에만 적절하게 적용될 수 있다. 다른 말로 하면, 유한한이라는 용어가확정된이라는 용어보다 좀더 포괄적인데, 단지 동일한 종류의 다른 크기에만 적용되는크기들의 관계를 허용하는 마음의 힘에 제한된다.
무한한 수, 무한한 직선, 무한한 공간, 무한한 시간 들은 유한한 수, 유한한 직선, 유한한공간, 유한한 시간 들과의 있을 법한 또는 표현할 수 있는 관계를 전혀 갖고 있지 않다. - P297
346. 다음 문제의 답은 위에서 다룬 공식과 방법에 연관되어 있다.
"한 개의 주사위를 n번 던져서 또는 n개의 주사위를 한 번 던져서 m+n을 얻을 우연은 얼마인가?"
주사위의 각 면에는 1, 2, 3, 4, 5, 6의 숫자가 적혀 있으므로, 나올 눈의 합의 최소는 분명히 n으로, 1의 눈이 n번 나온 것이다.
그러므로 주사위의 면들에 0, 1, 2, 3, 4, 5가 적혀 있고 m+ n이 아니라 m이 나올 우연을 구하는 문제도 동일할 것이다.
적합한 그리고 적합하지 않은 조합의 총수는 6ⁿ이다(조항 245). - P319
제11장
비와 비례
349. 일상 언어에서 용어 비는 크기에 있어서 같은 종류인 두 양 사이에 있는 관계를 나타내는 데 사용된다. 그러므로 두 수의, 두 선분의, 두 넓이의, 두 힘의, 두 기간의 그리고 또 다른 구체적인 두 양의 비는 각 크기 사이의 관계를 말하는데, 이때 각 크기는 추정된 것으로 받아들여진다. - P323
353. 그러나 그 용어의 일반적인 용법에 따라 얻은 비가 충족해야하는 일부 조건을 조금 살펴보면, 비가 나타내는 산술적 형태로 이어지며,
이로써 그 절대적인 크기가 확인될 수 있고, 따라서 우리를 비에 대한 산술적 및 대수적 정의로 이끌 것이고, 이는 상호 간에 비의 연관성과 무관할것이다. 왜냐하면 첫 번째로 비가 어떤 방식으로 표현되든 동일한 크기에대해 반드시 동일한 것으로 간주하는 것이 비에 대한 우리의 일반적인 개념에 완벽하게 부합하기 때문이다. 그리고 두 번째로, 크기 자체의 특정한영향이나 속성 (동일한 종류의)과 무관한 것으로 간주하는 것이다. - P324
355. 위의 관찰은 다음과 같은 결론으로 우리를 자연스럽게 이끌것이다.
(1) 서로 동일한 개수의 부분이나 단위로의 분해를 수용하는 동일한 종류의 크기는 그러한 숫자 또는 그 등배수¹로 적절하게 표시할 수 있다.
(2) 동일한 종류의 두 가지 크기를 나타내는 숫자는 비의 조건을 구성하며, 조건이 그 숫자의 등배수로 치환되더라도 그 비는 변경되지 않는다.
(3) 그러한 비는 조건을 구성하는 숫자에 따라 달라지며, 그들 숫자가 구성하는 구체적인 단위의 특성과 크기에 관계없이 동일한 것이다.
1) 일반적으로 정수에 의한 곱뿐만 아니라 분수에 의한 곱의 결과를 나타내는 것으로 용어배자에 확장된 의미를 부여하고자 한다. - P325
361. 더 큰 부등식의 비는 선행 값이 결과 값보다 큰 것이고, 더 작은 부등식의 비는 선행 값이 결과 값보다 적은 것이다. 등식의 비는 선행 값이 결과 값과 동일한 것이다. - P328
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