130. 방정식에서 한 기호의 다른 기호에 대한 의존에 대한 법칙의조사를, 다른 말로 하면 방정식의 해에 관한 이론에 대하여 조사를 지금 시작하는 것은 원래의 목적이 아니다. 그런데 이러한 조사는 위대한 확장이며대단히 어렵고, 그리고 대수의 모든 역 과정에서 비교도 할 수 없을 정도로중요하다. 이러한 의미를 설명하기 위해서는 매우 간단한 보기들에서 이러한 의존을 보여 주는 것으로 충분하다. - P128
132. 이 원리, 즉 동치인 형식의 영속성에 대한 법칙을 다시 떠올려보자. 그리고 이 법칙이 직접 명제와 역 명제의 형태로 선언되었다고 가정하자.
"어떤 다른 것에 대수적으로 동치인 어떠한 형태든지, 일반적인 기호로 표현되었다면, 이들 기호가 무엇을 표현하든지, 반드시 참이어야 한다."
"역으로, 산술 대수 또는 어떤 다른 종속 학문에서 동치인 형식을 발견하면,
기호들이 그들의 본성이 특별함에도 불구하고 일반적이면, 포함된 기호들이 그들의 본성뿐만 아니라 형식에서도 일반적인 동치인 형식은 동일하게 받아들여진다." - P130
133. 이 명제에서 표현된, 그리고 대수 형식에서 영속성의 법칙이라 명명한 원리는 매우 중요한 것 중의 하나이고, 가장 심오한 그리고 주의깊은 고려를 받을 만하다. 이 원리는 대수적인 증명에서 적당한 대상을 가리킨다. 이 대상은 동치인 형식에 대한 연구를 참조하고, 또 기호의 특별한값의 도움에 의해 얻을 수 있다 하더라도 이들 명제를 안전하게 일반화할수 있는지를 보여 준다. 일반적인 동치 형태가 존재한다고 가정하면, 여러가지 존재의 상태 중 하나로 발견할 수 있을 것이다. 이때 일반적인 기호의서로 다른 특별한 값들에 일치함을 볼 수 있다. 그리고 기호들의 특별한값에 대한 존재를 알아내기 시작하면 동일한 형태가 모든 대수 연산에 대해동치이므로 기호들을 일반화할 수 있을 것이다. - P131
135. 이 원리의 사용에 대한 반대는 없다. 그러나 극도의 추상성과 다일반성으로 인해, 비슷한 결론에 도달하는 다른 그리고 다소 일반성을 잃더라도 좀 더 쉽게 이해할 수 있는 방법이 주어지지 않는 한, 원리가 참인증거를 완전히 이해하기 위한 대단한 그리고 고통스러운 마음이 요구된다.
그러나 아주 조금이라도 고려해 보면, 기호들의 특별한 값으로부터 유도되는 지원을 모두 거부해야 하므로 일반적인 기호를 사용하는 증명의 영역은극히 제한적임을 알 수 있다. 그러므로 기호들의 조합과 서로 간의 결합에관한 가정된 법칙에 국한하여 진행해야 하고 결과적으로 증명을 단지 이들법칙이 허용하는 경우까지 확장할 수 있다. 이러한 이유로, 추가적인 가정과 독립적으로, 이 일반적인 기호일 때 (1+1)ⁿ과 동치인 형식의 존재에대한 증명은 있을 수 없다. - P132
136. 동치인 형식의 발견과 결정에 가장 중요한 도움 중의 하나는,
이들의 일반적인 존재가 가정하거나 증명할 수 있는지와 상관없이, 대칭조합의 원리로 알려져 있다. 이 원리는 사실 앞 장의 많은 보기에서 사용되었는데, 대수의 학문에 적용할 수 있도록 충족 이유의 원리*를 변형한것으로 볼 수 있다. 그리고 이 원리의 가장 일반적인 형식은 다음과 같다.
"여러 가지 사건이 동시에 발생할 때, 한 사건이 발생할 것 같으면 다른사건도 발생할 것처럼 보여야 하고, 이들 사건 중 한 사건이 발생하지 않을 것같으면 다른 모든 사건도 발생하지 않을 것 같아야 한다."
사건들이 동시에 발생한다라는 것은 이들 사건이 균일한 환경에 놓여있다는 것을 의미한다. 그리고 한 사건이 다른 모든 사건들을 필연적으로결정한다는 것은 단지 동일한 전제가 필연적으로 동일한 결론을 이끌어 낸다는 것을 의미한다.
*철학에서 충족이유율로 알려진 이 원리는 어떤 사실에 대해 "왜"라고 묻는다면 반드시
"왜냐하면"이라는 형태의 설명이 있을 것이다라는 원리이다(위키백과). - P132
139. 귀납법의 종류 중 첫 번째이고 가장 단순한 것은 특별한 사실들로부터 일반적인 결론을 이끌어 내는 것이다.
자연 학문에서는, 사실들을 분류하는 도구로서 그리고 다른 방법으로 입증될 일반적인 진실의 단초를 제공하는 데 이러한 귀납법이 유용하다. 대수 또는 산술 대수에서는 귀납법이 동치인 형식의 존재를 제시한다. 그러나 이를 입증하기 위해 다른 방법을 고안하지 못하면 유도된 결론을 일반화 할수는 없다.¹⁰ - P133
142. 이 장에 포함된 서로 다른 주제에 대한 매우 길고 다양한 논의를 결론짓기 전에 "논증은 무엇으로 이루어지는가?"라는 질문, 즉 어떤 환경에서 명제의 증명이 형식뿐만 아니라 증거의 관점에서 완벽하다고 여겨지는지에 대한 언급을 하는 것이 좋을 것 같다. 이러한 목적을 위해, 첫 번째로 논증이 무엇을 의미하는지에 대하여 명백하게 밝히는 것이 필요하다.
논증은 논증할 명제와 이미 참으로 논증된 또는 참이라고 가정된 다른 여러 명제들 사이의 필연적인 연관성의 확립이다. - P135
144. 논증은 논증된 또는 받아들여진 진실에 의해 끝나는데, 결론까지 완벽하게 추적하면 결과적으로 항상 받아들여진 진실에 의해 끝난다.
이러한 받아들여진 진실, 즉 일반적으로 공리라고 불리는 것은 더 단순한 성질의 다른 것으로 분해할 수 없는 명제를 말한다. 따라서 공리는 형식적인 논증을 허용하지 않는다. - P136
11) 유클리드의 원론에 나타나는 정의들과 공리들은 서로 간의 혼란에 대한 많은 보기를야기한다. 그러므로 상등의 정의와 이에 기반하고 위에서 언급된 공리는 동등하게 공리들의 항목에 등재되어야 한다. 직선은 "양 끝점 사이에 놓여 있는 똑바른 선"으로정의되는데 이들 선에 관한 유클리드의 핵심적인 정의는 "두 직선은 영역을 둘러싼 수없다"와 같이 자명한 진리로 주장되는 공리들 사이에서 발견된다. 또한 평행선들은 "동일한 평면에서 무한히 뻗어 나갔을 때 만나지 않는 직선들로 정의되므로 이들 평행선들이 다른 명제의 도움이 없으면 적용하기 어려운 검정에 의해 정의됨을 볼 수 있다.
그러므로 이러한 선들에 관한 이론을 완성하기 위해서는 이들에 대한 정의의 결과로 자명하지 않은 열두 번째 공리를 어쩔 수 없이 사용하여야 한다. 그러나 평행한 선들에대한 정의로 열두 번째 공리를 만들어야 한다면, 또는 그것을 "동일한 평면에 있는 직선들이 이들과 만나는 임의의 직선의 같은 쪽에 동일한 각을 만들면 이들 직선은 서로 평행하다라고 한다"와 같이 좀 더 간단하고 응용에 바로 적용할 수 있는 정의로 대신할수 있다면, 열두 번째 공리뿐만 아니라 기하학의 목적에 부합하고 평행한 선들과 관련있는 다른 모든 명제를 증명하는 데 어려움이 없음을 경험할 수 있을 것이다. 정의 전에 나타났던 무한히 뻗어 나가도 평행한 선들은 만나지 않는다와 같은 명제는 증명없이받아들여질 것이다. 역으로 무한히 뻗어 나가도 만나지 않는 동일한 평면에 있는 선에 대한 개념은 다른 조건의 결과로 스스로를 표현하지 않는 한 기하학의 체계에서는 전혀쓸모가 없다. 그러나 이 정의로 인해 한 직선에 대한 그리고 그 직선의 일부에 대한 어떤것이 참이라면 동일한 직선 또는 임의의 다른 직선의 임의의 부분에 대해서도 참이어야 하므로 직선에 대한 정의를 수정할 필요가 있다. - P137
149. 공리들의 응용을 찾아야 하는 것은 단지 산술 그리고 산술 대수 그리고 기하와 같이 대수에 종속된 학문에서만 일어나는 일이다. 공식적으로 선언된 공리들은 이들 학문에 특별하게 적응하여야 하고, 한 학문에 해당하는 일련의 공리들은 이들을 유도한 정의들이 일치하는 한 다른 학문에도 부합한다. 이러한 환경에서는 독자들의 합의에 의해 모든 경우에 이들 공리가 제공되는 것으로 간주되므로 이들은 참조함으로써 논증을 거추장스럽게 하는 것은 불필요하다. 고려된 양의 좀 더 다양한 본성과 이들을 표현하는 대수적인 형태의 결과로 인해 공리들이 각각의 모든 부분에서의 상호간의 의존성이 덜 완벽한 점을 고려하면 대수에 종속된 대부분 학문의 논증에서 형태의 결함은 기하의 논증에서 발견되는 것보다 아주 적다. - P139
제4장
수치 분수의 이론에 대한 대수의응용
150. 수치 분수와 대수 분수를 분리하여 다루면 약간의 이점이 있다.
첫째, 수치 분수와 복잡한 대수 분수를 약분하여 가장 간단한 분수를 얻는과정은 단지 비슷하게 연결되어 있고, 동일한 원리에 기반하고 있지는 않다. 둘째, 수치 분수의 이론과 직접 관련된 명제들이 있는데 이들 명제는대수 분수의 이론에 적용할 수 없다. 마지막으로, 수치 분수의 규칙에 대한 논증은 단지 산술 대수의 도움만 필요하다. 산술 대수의 본성과 쓰임새는 앞 장에서 충분이 다루었다. - P141
161. 여러 개의 분수가 공통 분모를 갖도록 통분할 때뿐만 아니라 많은 다른 경우에, 두 수 또는 그보다 많은 수들의 최소 공배수를 찾는 것이 중요하다. 여기서 최소공배수란 이들 수에 의해 각각 나머지 없이 나누어지는 최소의 수를 말한다. - P145
제5장
대수 표현을 동치이고 더 단순한
형태로 변형하는 것에 대하여
167. 대수석 양의 나눗셈에서, 몫이 완전한 유한 개의 항으로 이루어지지 않을 때, 나뉠 양과 나누는 양을 분수 형태로 쓰는 게 일반적으로 가장 편리하다. 그러나 많은 경우에 이러한 형태가 그 값이나 의미를 바꾸지 않고 변형될 수 있는 것들 중 가장 간단한 것은 아니다. 이 경우 분자와분모는 단순한지 복잡한지 상관없이 둘 모두에게 공통된 어떤 인자에 의해나누어진다. - P149
169. 그러나 이러한 방법으로 이루어지는 대수적 분수의 변형은 한항의 소거로만 이루어지는 것은 아니다. 많은 경우에 분자와 분모는 여러개의 항으로 이루어진 공통 인자를 갖는다. 이때 이러한 공통 인자는 검사로는 발견되지 않는다. 수치적 곱의 인자들이 그 결과에서 잊혀지듯이여러 개의 항으로 이루어진 대수 인자도 마찬가지로 곱셈으로 다른 양들과결합하면 인자의 독립적인 존재를 찾을 수 있는 흔적을 남겨 놓지 않는다.
그러므로 대수 분수의 변형에 국한하지 않고 두 대수식에 공통인 최고차의인자를 찾아야 하는 중요한 일이 요구된다. 여기서 최고차의 인자는 가장큰 것이 아니다. 왜냐하면 일반 기호를 사용하여 논리를 전개할 때에는특별한 값이 주어지지 않으므로 용어 더 큰과 더 작은은 사용되지 않는다. - P150
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