II 현대 논리학
20세기가 막 시작되던 때, 새로운 논리학을 향한 세간의 관심은 뜨거웠다. 힐베르트가 1900년에 제시한 23개의 문제 가운데1. 2번 문제와 러셀의 패러독스(1903년)는 당시의 웬만한 지식인은 다 알 정도로 유명했다. - P253
수학자들은 이 새로운 논리학을 수학기초론이라고 부르는 것을 선호해서 수학 내에서는 수학기초론과 논리학이 같은 의미를가진 말로 받아들여진다. 한동안은 집합론도 이들과 같은 의미로인식되다가 논리학 내에서 증명론proof theory, 모델론model theory 등이 등장하고 컴퓨터과학이 발전하기 시작한 이후에는 계산이론theory of computation이 등장하면서 집합론은 논리학의 여러 분야 중한 분야로 받아들여지게 되었다. - P254
위대한 논리학자 타르스키
하지만 괴델에 못지않은 업적을 남긴 논리학자가 한 명 더 있었으니 바로 알프레트 타르스키 1901-1983 다. 그에 대해서는 앞서 바나흐타르스키 패러독스를 이야기할 때 소개했는데, 여기서는 그가 논리학에서 이룩한 업적에 대해 조금더 이야기해보자. - P255
그의 지도교수는 자연연역체계natural deduction system 이론의 중심에 있던얀 루카시에비치 Jan Lukasiewicz, 1878~1956다. - P255
그는 지도교수 루카시에비치의 조수로 근무했지만 월급이 너무 적어 고등학교에서 수학을 가르치며 살았는데, 그곳에서 부인마리아를 만난다. - P255
그는 애국심이 강한 사람이었다고 한다. 1939년에 하버드대학교의 초청으로 강의하러 갔을 때, 독일의 나치 군대가 폴란드를 침공한다. - P256
그가 1933년에 발표한 ‘정의불가능 정리 Undefinability Theorem‘는수학기초론에서 또 다른 중요한 정리이자 제약을 가져오게 된결과다. 그 정리는 간단히 말해서 "산술적 진리는 산술 내에서는 정의될 수 없다"라는 내용을 담고 있다. - P256
20년 전쯤에 나는 우연히 타르스키가 1936년에 쓴 논리학 책『연역 과학의 논리 및 방법론 입문 Introduction to Logic and Methodology of Deductive Sciences』(1995, Dover Ed.)을 샀다. - P256
현대의 수리논리학(수학기초론)에는 집합론과 더불어 중요한축을 차지하고 있는 모델론(모형이론이라고도 한다)이라는 분야가있는데, 1930년대에 타르스키가 이 이론을 연구하기 시작했다.
모델론은 추상대수학이나 집합론 등의 모형을 이루는 구조를 연구하는 분야다. - P257
모델론과 대비되는 분야가 증명론인데, 증명론과 모델론은 각각 논리적 언어로서 통사론syntactics과 의미론semantics에 해당한다고 할 수 있다. - P257
즉, 군group,
체 field, 그래프 graph 등 현대 수학에서 사용하는 수학적 구조물이 모두 다 모델이다. 모델론에서는 이런 것들을 통합적으로 이해하려고 노력한다. - P257
ZF 공리계와 선택공리
현재 집합론(수학기초론)에서 주로 채택하는 공리계axiomatic system는 체르멜로 · 프렝켈 공리계Zermelo-Fraenkel system이고, 약자로ZF 공리계라고 부른다. 원래 체르멜로·프렝켈 공리계에는 선택공리가 포함되어 있었는데, 이 공리가 워낙 중요한 논란거리인데다가 아주 독립적인 공리여서 보통은 선택공리를 포함한 공리계를 ZFC 공리계라 부르고, 포함하지 않는 공리계를 ZF 공리계라고 부른다. - P258
당시 수학의 중심지 괴팅겐대학교에는 이미 새로운 집합론에 관한 연구가 대세였다. 그 대학에서 강사를 하던 체르멜로도서서히 집합론의 세계로 빠져든다. 당시 최고의 대학에서, 다들살아남고자 치열하게 경쟁하는 상황에서 전공 분야를 바꾸어가며 연구한 것만 보아도 그가 보통 천재가 아니라는 것을 알 수 있다. - P259
모든 집합은 정렬순서를 갖는다.
Every set has a well-ordering/Every set can be well-ordered. - P260
정렬순서 정리가 유명해진 이유는 그 결과가 직관적으로 그럴법하지 않은 데다 그 증명에 선택공리가 쓰이는 바람에 선택공리를 받아들여야 할지에 대한 논란이 크게 일어났기 때문이다. (중략). 결국 선택공리는 20세기 논리학(수학기초론)에서 가장 뜨거운 주제가 되어버렸다. - P260
선택공리에 대해서는 잠시 뒤에 다시 이어서 이야기하기로 하고, 이제 정렬순서 정리에 관해 설명해보자. 두 가지 개념, 순서관계order relation‘와 ‘정렬순서‘의 의미를 알면 된다. - P261
그런데 순서를 정하는 방법에는 여러 가지가 있을 수 있으므로, 순서를 정하는방법을 정하는 것을 "순서관계를 준다"라고 표현한다. - P261
이제 정렬순서에 대해 알아보자. 어떤 순서집합 X에 대하여, X의 모든 공집합이 아닌 부분집합nonempty subset이 가장 작은 원소the smallest element를 가지면, 이 집합의 순서관계를 정렬순서라고 부른다. - P262
이제 다시 체르멜로의 정렬순서 정리로 돌아가보자. 만일 이정리가 맞는다면 실수 집합 R도 어떤 정렬순서를 가져야 하는데,
그런 순서관계를 찾기도 어렵고 그런 정렬순서가 존재할 것 같지도 않다. 그래서 이 정리가 맞는다고 증명되자 수학자들이 그렇게 놀란 것이다. - P262
사실은 나중에 밝혀지지만 선택공리는 (ZF 공리계 내에서) 체르멜로의 정렬순서 정리와 동치이다. 수십 년에 걸쳐 많은 수학자가 선택공리와 동치인 명제 수십 개를 발견한다. 그런 명제 중에는 초른의 보조정리Zorn‘s Lemma와 같이 수학의 여러 방면에 매우 유용한 정리도 있다. - P263
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