숨어 있는 보물
한 변의 길이가 2인 정사각형 안에 5개의 점을 찍을 때,
거리가 1.42보다 작은 두 점의 쌍이 항상 존재하는가? - P189
5개의 점을 찍는 경우의 수는 무한히많기 때문에 일일이 다 확인해 볼 수 없습니다. 이떻게 찾아가야 할지 도저히 감이 안 잡힙니다. - P190
우리가 탐험하고 있는 이 숲의 이름은 비둘기의 숲입니다. 제가 이러한 이름을 붙인 것은 이 숲을 공략하는 핵심 전략이 비둘기집 원리이기 때문입니다.
비둘기집 원리
n개의 비둘기 집에 n마리보다 많은 비둘기가 들어가려고 하면,
적어도 하나의 비둘기 집에는 2마리 이상의 비둘기가 들어가야 한다. - P190
비둘기집 원리와 관련된 또 다른 유명한 문제가 있습니다.
비둘기 숲속의 생일 문제
미국 의회의 의원 중 생일이 겹치는 사람이 적어도 한 쌍 존재하는가?
의원은 총 535명이다. - P193
하지만 의원의 수가비둘기 집의 수보다 많기 때문에 적어도 하나의 비둘기 집 (날짜)에2명의 의원이 들어가야 합니다. 때문에 미국 의원 중에는 생일이 겹치는 2명이 항상 존재합니다. - P193
잠시 비둘기의 숲을 떠나 확률의 숲으로 여행을 가볼게요.
확률의 숲속 생일 문제
대한민국 국회의원 중 생일이 겹치는 사람이 적어도 한 쌍 존재할 확률은 얼마인가?
국회의원은 총 300명이다. - P193
결과는 놀랍습니다. 많은 사람들이 100명에서 200명 정도로 꽤 많이 필요하다고 생각하지만, 실제로는 고작 23명만 모이면 됩니다. 위의 공식에 n에 23 을 대입하면, 확률이 50.7퍼센트가 나옵니다. 대부분 한 반에 25 명 정도의 학생이 있으니, 생일이 겹치는 친구가 있는 경우가 그렇지 않았던 적보다 더 많았을 것입니다. - P195
이 수학적 결과와 기억의 괴리감은 심리적인 이유로 설명할 수 있습니다. 만약 나의 생일과 타인의 생일이 같다면, 그 사실은 오랫동안 기억에 남습니다. - P195
하지만 타인의 생일과 또 다른 타인의 생일이 같다는 사실은 기억 속에서 빠르게 없어집니다. - P196
그렇다면 300명의 국회의원 중 생일이 겹치는 사람이 있을확률은 얼마일까요? 이 확률은 상상을 초월할 정도로 큽니다.
99.99999...94퍼센트입니다 (소수점 뒤로 9를 79개나 써야 하기 때문에 중간에 생략했습니다). - P196
숨어있는 보물
한 변의 길이가 2인 정사각형 안에 5개의 점을 찍을 때, 거리가 1.42보다 작은 두 점의 한 쌍이 항상 존재하는가?
(중략)
문제의 반례를 찾기 위해서는 5개의 점을 서로 최대한 멀리 떨어뜨려야 합니다. 만약 5개가 아니라 4개의 점을 서로 최대한 멀리 떨어뜨려서 찍으려면 어떻게 찍어야 할까요? - P197
정가각형을 4등분하고 각각의 구역이 이 문제위 비둘기 집이라고 하겠습니다. 그리고 5개의 점은 비둘기입니다. 비둘기가 비둘기 집보다 많으므로 비둘기집 원리에 의해 적어도 하나의 구역에는 2개이상의 점이 존재합니다. - P198
보물의 해답
한 변이 1인 정사각형을 4등분하면 비둘기집 원리에 의해 적어도 하나의 구역에는 2개 이상의 점이 존재한다.
이 두 점의 거리는 root(2)보다 클 수 없는데, root(2)가 1.42보다 작으므로 문제에서 요구하는 두 점은 항상 존재한다. - P200
두 번째 보물
주어진 5개의 격자점 중에서 두 점의 중점이다시 격자점이 되는 두 점을 고를 수 있는가?
문제의 말이 어렵기 때문에 조금 더 자세히 설명하겠습니다. 격자점은 각 좌표가 모두 정수인 점을 말합니다. 중점이란 두 점을 이은 선분의 정중앙에 있는 점을 말합니다.
(중략)
참고로 이 문제의 답은 부록에 있습니다. - P203
역동적인 액체를 떠다니는 계핏가루의 움직임을 관찰하다가 한 가지 흥미로운 사실을 발견했습니다. 제가 시도한 모든 방법에는 휘젓기 전과 휘저은 후의 위치가 동일한 계핏가루가 항상 존재했던 것입니다(그림에서 파란색 점), 이와 같이 커피를 휘젓기 전과 휘저은 후의 위치가동일한 점을 고정점이라고 합니다. - P206
고정점
변환이 취해지기 전과 취해진 후의 위치가 동일한 점 - P206
커피의 숲속 숨어 있는 보물
커피를 휘젓는 과정은 항상 고정점을 가지는가? - P207
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