수학이 근대 문화의 중요한 요소일 뿐 아니라 그 문화를 형성하는 데에 주요한 힘이었다는 주장을 펼치면 많은 사람들이 믿을 수 없다거나 아니면 너무 과장이 지나친 것 아니냐는 반응을 보인다. - P15
이와 같은 결심을 하는 과정에서, 어느 정도 교양이 있는 사람이라면 다음과 같이수학에 무지하지만 권위 있는 사람들의 도움을 받아 더더욱 그런 결심을 굳히기도 한다.
성 아우구스티누스는 다음과 같이 말했다. "신실한 기독교인이라면 공허한 거짓 예언을 하는 자와 수학자 모두를 경계해야 한다. 수학자들은 정신을 어둡게 하고 인간을 지옥의 울타리에 가두어놓는 계약을 악마들과 체결한 위험스러운 인물들이다." - P15
그럼에도 불구하고 수학을 몰라도 된다는 문외한들의 결정은 분명 잘못된 것이다. 수학은 일련의 기술에 그치는 것이 아니다. 아닌 게 아니라 이 기술들은 수학에서 가장 중요하지 않은 부분에 불과한 것으로 물감을 그냥 혼합한 것을 그림이라 말하지 않듯 이또한 수학이라 말할 수 없다. 그러한 기술들은 수학의 본질에서 동기와추리, 아름다움 그리고 의미 등을 모두 박탈하고 나서 남은 찌꺼기에 불과하다. - P16
이러한 수학의 특징은 수학과 과학에 관하여 17세기 한 유명한 작가에 의하여 다소 다르게 표현된 바 있다. "수학자들은 연인과 같다. 수학자에게 최소한의 원리만을 부여하자. 그러면 그는 가지고 있는 원리로부터 당신이 그에게부여해야만 하는 결과를 도출해내고, 이 결과로부터 또 다른 결과를 도출해낸다." - P16
사람의 창조적 능력이 수학에서 어느 정도 발휘될 수 있는가는 오직 창조라는 그 자체의 시험에 의해서만 결정될 수 있다. 이러한 창조 중 몇 가지는 이후의 논의에서 등장하게 되므로 여기서는 수학의 분야가 광범위하게 분류하더라도 약 80가지나 된다고 진술하는 것만으로도 충분할 것이다. - P17
현대에 들어와 또 다른 기본적인 수학의 이용으로 자연현상을 합리적으로 조직화하는 것을 들 수 있다. 개념, 방법, 수학의 결론들은 자연과학의 토대이다. - P17
지적인 호기심과 순수한 사고에 대한 열정이 많은 수학자들을 수의성질과 기하학적 도형의 성질에 대한 연구로 이끌어 매우 독창적인 업적을 낳게 하였다. - P18
그들은 수학을 추상적이고 연역적인 사고의 공리 체계로 바꾸어놓았다. 수학의 주제에 가장 위대한 기여를 한 몇 가지들, 즉 순수하게 지적인 도전에 대한 반응을 이루었던것 중 우리의 시야에 들어오는 것만 언급한다 해도 사영기하학, 수(數)이론, 무한대 이론, 비유클리드 기하학 등이 있다. - P18
종종 수학을 무시하는 구실이 되었던 것으로 수학자들은 요점 없는 사색이나 탐닉하기를 좋아한다는 등 또는 어리석고 아무 짝에도 쓸모없는 몽상가라는 공격이 그것이다. 이러한 공격을 분쇄할 수 있는 대답은 쉽게 얻을 수 있다. 과학이나 공학적 필요에 의하여 시작된것은 말할 필요도 없고, 심지어 순수하게 추상적인 연구도 엄청나게 유용한 것으로 밝혀졌기 때문이다. - P19
이와는 달리 몇몇 ‘사회 지향적인‘ 작가들이 다소 과도하게 주장하는 것처럼, 수학자들이 실용적인 고려, 즉 다리나 라디오, 비행기를 건설하고자 하는 욕망에 의하여 전적으로 자극을 받는다고 주장하는 것은 잘못이다. 수학 때문에 이렇게 편리한 것들이 가능하게 된 것은 사실이지만, 위대한 수학자들은 자신들의 생각을 추구하는 동안 그러한 실용성에는 거의 눈길조차 두지 않았다. - P19
비록 그 누군가 +,- 기호를 도입한 창고 점원의 목적 의식적 행동을 보고 ‘수학의 역사상 전환점은 보통사람들이 남긴 사회적 유산에서 비롯된다‘고 확신하였지만, 피타고라스와 플라톤의 이데아를 향한 수학적 명상은 분명 그 점원의 행동보다는 중요한 공헌을 하였다. - P17
심지어 수학을 천직으로 여겼던 창조적인 천재들조차도 직업적인 전문 수학자들과 과학자들을 애타게 했던 문제들을 추구하였다. 그럼에도 불구하고 이러한 ‘아마추어‘들과 수학자들은 일반적으로 자신들의 작업이 얼마나 유용성 있는가에 대해서는 별 관심을 가지지 않았다. - P20
그러나 순수한 사고에서 비롯된 미학과 철학적 관심에 대한 반응들이 수학의 특징을 형성하는 데 결정적 역할을 하였으며, 더 나아가 그리스의 기하학과 현대 비유클리드 기하학 창조에 있어 아무도 넘볼 수 없는 공헌을 이룩하였다. 한편, 수학자들이 순수 사고의 정점에 도달할 수 있었던 것은 스스로의 힘이라기보다는 사회적 영향력이 더 큰 역할을 하였다. - P20
수학의 또 다른 중요한 특징은 상징적 언어이다. - P20
이러한 치밀함이 사고의 효율성을 가능하게 한 것이다. 제롬(Jerome Klapka Jerome, 1859~1927)이 비록수학적 목적은 아닐지라도, 대수적 기호에 의존할 필요성이 있다고 한것은 이러한 장치에 내재하고 있는 유용성과 명료성을 충분히 잘 드러내준다. - P21
수학적 언어는 정밀하다. 너무나 정밀하여 그 형식에 익숙하지 않은 사람들에게는 종종 혼란스럽기까지 하다. 만일 수학자가 ‘나는 오늘한 사람을 보지 못했다. (I did not see one person today.)‘ 라고 말한다면, 그는 아무도 보지 못할 수도 있고, 많은 사람을 보지 못할 수도 있는 것이다. 보통은 자신이 아무도 보지 못했다는 것을 뜻한다. - P22
수학적 양식은 간결함과 형식적 완벽함을 목표로 한다. 때로 그 양식은 너무나 성공적이어서 그 정밀함이 보장하고자 하는 명확함늘 오히려 희생하기도 한다. - P23
그러나 한편 수학적 문헌을 읽는 사람들이 때로 소위 잉크와 종이를 가진 수전노들에 의해서 자신의 인내심을 시험해야 한다는 것도 부인할 수 없을 것이다. - P23
수학은 지식의 총체이다. 그러나 여기에 반드시 진리가 포함되어있다고 말할 수는 없다. 다시 말하여 성경을 신으로부터 받은 최종적인계시로 믿는 종교학자의 신념과 같이 수학도 공격할 수 없는 지식들의집합이라고 보는 너무나 뿌리깊은 신념이야말로 대중에게 널리 퍼져있는 오류이다. - P24
20세기의 수학적 지식을 진리와 구별하려면, 수학과 과학을 구별해야 한다. 왜냐하면 과학은 물리적 세계에 대한 진리를 추구하기 때문이다. 아닌 게 아니라 수학은 과학의 등대였으며, 과학이 현문명에서 차지하고 있는 위치에 도달하도록 끊임없이 도움을 주어왔다. - P24
. 인간의 물리적 · 도덕적·사회적 삶에 결정적인 영향을 미치고자 하며, 우리 자신의 존재자체에 의하여 발생하는 문제들을 해결하고자 하고, 자연을 이해하고통제하려고 하며, 이미 획득된 지식의 가장 심오하고도 궁극적인 함의를 탐구하고 정립하고자 노력하는 것도 바로 이 정신이다. - P25
사실 뉴턴이 최절정기 때 가졌던 지식 정도를 지닌 사람은 오늘날에는 수학자라 할 수 없을 것이다. 왜냐하면 통념과는 반대로, 수학은 계산에서 시작하지만 그것으로 끝나는 것이 아니라 생각되기 때문이다. 오늘날 수학은 너무나 엄청난 몫을 차지하고 있어서 어떠한 수학자도 그 전체를 통달하고 있다고 주장할 수 없게 된 것이다. - P26
사실, 수학의 너무나 많은부분이 문명과 문화의 일부분이었기 때문에 많은 역사가들은 그 시대의 다른 주요한 작품들의 특징을 당시의 수학에 비추어서 발견할 수가 있다. - P26
수학적 창조가 없다는 것이 한 문명의 문화적 지표가 되는 것 또한 사실이다. - P26
우리의 역사가, 경제학자, 철학자, 작가, 시인, 화가, 그리고 정치가들의 업적을 과소평가하지 않으면서, 다른 문명들도 그 능력과 성취에서 필적할 만한 사람들을 배출하였다고 말할수 있다. 그러나 비록 유클리드나 아르키메데스가 월등한 사상가이지만, 그리고 우리의 수학자들이 뉴턴이 말한 바와 같이 그러한 위대한거인들의 어깨 위에 서 있기 때문에 더 멀리 성취할 수 있었을지라도,
수학이 그 범위와 범상치 않은 응용력을 얻게 된 것은 바로 우리 시대에 들어서였다. - P28
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