근대에 이르러 학문 간의 경계가 생기기 전까지 오랜 세월 동안 여러 학문은 한 몸이었다. 고대 그리스의 학자들은 요즘 개념으로 치면 철학자이자 수학자이자 논리학자이자 과학자였다. - P71
아리스토텔레스는 당대 최고의 박식가로 수학, 논리학, 철학 외에도 물리학, 생물학, 문학, 윤리학 등 다방면의 전문가였고, 여러 분야에 많은 저술을 남겼다.*
*제목이 알려진 아리스토텔레스의 저서 중에서 약 1/3정도만이 현재까지 전해지고 있다. 그의 문장은 매우 유려했다고 한다. - P72
아리스토텔레스가 학문적으로 후대에 가장 중대한 영향을 미친 분야는 바로 ‘과학철학‘이다. 그는 자연현상과 법칙을 신이나 종교적 환상에 의존하지 않고 순수한 이성과 관찰을 통해 연구해야 한다는 정신을 후대에 남겼다. - P73
아리스토텔레스로부터 시작된 자연철학natural philosophy 이라는 용어는 자연을 탐구하는 실험적 연구를 의미했다. 이 용어는 19세기 초 과학science 이라는 말이 등장하기 전까지는 수학, 물리학, 생물학 등을 포괄하는 의미로 사용되었으며, 19세기 중반 이후 한동안은 물리학을 의미하는 말로 쓰였다. - P74
아리스토텔레스의 학문적 업적이 후대의 유럽에 온전히 전해지는 데는 이슬람 세계의 학자들이 큰 역할을 했다. - P75
바그다드의 학자들도 그리스 수학자들의 책을 번역하는 데 크게 공헌했다. 이 번역 사업에는 기독교인(대부분 그리스인이 주도적인 역할을 했다고 한다. 그들은 아리스토텔레스, 유클리드, 프톨레마이오스, 파포스Pappos, 디오판토스Diophantos 등의 저서를 아랍어로 번역했다. - P77
위대한 수학자 알콰리즈미al-Khwarizmi, 780?~850?는 ‘지혜의 집‘에서 연구 활동을 한 페르시아인(지금 우즈베키스탄의 카레즈미가 고향으로 여러 권의 수학책을 저술했다. 알콰리즈미의 저서는 중세에 유럽으로 수입되어 그의 이름은 유럽에서도 유명했다. - P77
아리스토텔레스에 못지않게 후대에 큰 영향을 미친 수학자로 유클리드(BC300년 전후 활동)*를 꼽을 수 있다.
* 유클리드는 그의 영어 이름이다. 그리스어 이름인 에우클레이데스Eukleides를 쓰는 것이 좀 더 일관성이 있겠지만, 대다수 독자에게는 영어식 이름이 더 익숙할 것이므로 그냥 영어 이름을 쓴다. - P78
유클리드의 일생에 대해서는 잘 알려지지 않았지만, 그가 저술한 열세 권으로 이루어진 『원론Stocheia』은 무척이나 유명하다. - P79
기하학과 정수론을 다룬 이 책은 그 내용도 좋지만,
공리들로부터 여러 가지 정리를 이끌어 내는 이 책의 형식이 수학책의 표준이 되면서 그 이후 오랜 세월 동안 수많은 수학책이 이 형식을 따랐다. - P79
그리스의 수학을 한마디로 표현한다면 ‘공리적 논중 수학‘이라고 할 수 있다. 이것을 가장 잘 나타내는 책이 『원론』이다. - P80
이제부터 논리학의 기본적인 내용을 간단히 소개하고자 한다.
(중략)
논리학은 추론과 논증의 과정과 방법론을 연구하는 학문이다. - P82
명제의 참, 거짓을 따지는 고전적인 명제논리학(혹은 문장논리학)으로부터 프레게Gottlob Frege 등이 기호의 사용과 더불어 새로운 영역을 개척했고, 이를 술어논리학predicate logic이라고부른다. - P82
수학적 논리에서는 ‘모든(또는 임의의)‘과 ‘어떤‘이라는 말이자주 등장하는데, 이때 모든은 주로 "모든 x에 대하여"와 같은 형태로 등장하고, 어떤은 주로 "조건(성질) C를 만족하는 어떤가 존재한다"와 같은 형태로 등장한다. - P86
학생들에게 명제에 대해 가르치다 보면 학생들은 명제의 부negation과 명제의 대우명제 contrapositive를 이상하리만치 어려워한다. - P86
우선 명제의 부정을 알아보자. 명제 "P이다"의 부정은 "P가 아니다"이다. 이때 ‘모든‘이 들어가는 명제의 부정에는 ‘어떤‘이들어가고, 역으로 ‘어떤‘이 들어가는 명제의 부정에는 ‘모든‘이 들어간다. - P87
명제 "x²=4이면 x>=0이다"의 부정이 무엇인가 하는 질문에대해 대답을 "x²=4이면 x =< 0이다"라고 썼다면 그것은 틀렸다. - P87
|